资源简介

1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( D )
A.中线
B.底边上的中线
C.中线所在的直线
D.底边上的中线所在的直线
2.如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为( B )
第2题图
A.30° B.32°
C.40° D.48°
3.[2023春·长春期末]等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D )
A.60° B.120°
C.60°或150° D.60°或120°
4.等腰三角形的一个内角为80°，则此三角形其余两个内角的度数分别为( D )
A.50°，50° B.80°，20°
C.80°，50° D.50°，50°或80°，20°
5.[2023·鄂尔多斯三模]腰长为5，一边上的高为4的等腰三角形的底边长为( B )
A.6或4 B.6或4 或2
C.4 或2 D.6或2
6.[2023秋·襄阳期末]若等腰三角形的两内角度数比为1∶4，则它的顶角为( B )
A.36度或144度 B.20度或120度
C.120度 D.20度
7.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的角平分线，∠B＝70°，则∠ACD＝35°.
第7题图
8.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，过AC上点E作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE＝140°，则∠DEF＝65°.
第8题图
9.[易错易混]若等腰三角形的底边长是6 cm，一腰上的中线把它的周长分成差是2 cm的两部分，则腰长是4或8cm.
10.[2024春·雁塔区期中]定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形的周长为13 cm，AB＝5 cm，则它的“优美比”k为或.
11.[2023春·佛山期中]如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D，在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E……按此方法继续下去，第2 023个等腰三角形的底角度数是()2_022×80°.
第11题图
12.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AD∥BC，求∠DAE的度数.
解：∵AB＝AC，
第12题图
∴∠ABC＝∠ACB，
在△ABC中，
∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ABC＝65°.
13.[2024春·嘉定区期末]如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且AD＝AE.试说明BE＝CD的理由.
第13题图
解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵AD＝AE，AH⊥BC，
∴DH＝EH，
第13题图
∴BH＋EH＝CH＋DH，
∴BE＝CD.
14.已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点.
(1)直线BF垂直直线CE于点F，交CD于点G(如图1)，求证：AE＝CG；
(2)直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M(如图2)，找出图中与BE相等的线段，并证明.
第14题图
解：(1)证明：∵点D是AB的中点，
AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠CAE＝∠BCG.
∵BF⊥CE，
∴∠CBG＋∠BCF＝90°.
又∵∠ACE＋∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB(ASA)，
∴AE＝CG；
(2)BE＝CM.
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA＋∠MCH＝90°，
∠BEC＋∠MCH＝90°，
∴∠CMA＝∠BEC.
又∵∠ACM＝∠CBE＝45°，
在△BCE和△CAM中，
∴△BCE≌△CAM(AAS)，
∴BE＝CM.
15.【问题背景】(1)如图1，点P是线段AB，CD的中点，求证：AC∥BD；
【变式迁移】(2)如图2，在等腰△ABC中，BD是底边AC上的高线，E为△ABD内一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接AF，若BE⊥AF，请判断AF，BE，BC三边数量关系并说明理由；
【拓展应用】(3)如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，点E在线段BD上(点E不与点B，点D重合)，过点A作AF⊥CE，连接FD，若AF＝12，CF＝4，求FD的长.
第15题图
解：(1)证明：∵点P是线段AB，CD的中点，
∴AP＝PB，DP＝CP，
在△ACP与△BDP中，
∴△PAC≌△PBD(SAS)，
∴∠A＝∠B，
∴AC∥BD；
(2)AF2＋BE2＝BC2，理由：
连接CE，如图1，
第15题图
∵△ABC是等腰三角形，BD是底边AC上的高线，
∴AD＝DC，
在△ADF与△CDE中，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴∠FAD＝∠ECD，AF＝CE，
∴AF∥CE，
∵BE⊥AF，
∴BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
∴EC2＋BE2＝BC2，
∴AF2＋BE2＝BC2；
(3)延长FD到T，使得DT＝DF，连接BT，延长CE交BT于点J，如图2，
第15题图
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADF与△BDT中，
∴△ADF≌△BDT(SAS)，
∴AF＝BT＝12，∠T＝∠AFD，
∴AF∥BT，
∵AF⊥CE，
∴CJ⊥BT，
∴∠AFC＝∠CJB＝∠ACB＝90°，
∵∠ACF＋∠BCJ＝90°，
∠BCJ＋∠CBJ＝90°，
∴∠ACF＝∠CBJ，
∵AC＝CB，
∴△AFC≌△CJB(AAS)，
∴CF＝BJ＝4，AF＝CJ＝12，
∴CJ＝BT＝12，
∴FJ＝JT＝12－4＝8，
∵∠FJT＝90°，
∴FT＝FJ＝8 ，
∴FD＝FT＝4 .1.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为( )
第1题图
A.2 B.3
C.4 D.5
2.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是( )
第2题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝4，则BC的长为( )
第3题图
A.5 B.9
C.＋3 D.＋4
4.用反证法证明“若a＋b≥0，则a，b至少有一个不小于0”时，第一步应假设( )
A.a，b都小于0
B.a，b不都小于0
C.a，b都不小于0
D.a，b都大于0
5.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.a＝3，b＝3，c＝4
B.a∶b∶c＝2∶3∶4
C.∠B＝50°，∠C＝80°
D.∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2
6.如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，交AC于点M，点D是BC边上的一点，连接AD，使AD＝DC，且∠BAD＝110°，则∠BMC＝( )
第6题图
A.30° B.155°
C.145° D.135°
7.如图，在△ABC中，AB＝3 cm，AC＝4 cm，BC＝5 cm，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为( )
第7题图
A.3 B.4
C.5 D.6
8.若△ABC的边AB＝6 cm，周长为16 cm，当边BC＝ cm时，△ABC为等腰三角形.
9.[分类讨论思想]如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 .
第9题图
10.如图，△ABC中，AB＝4，BC＝，AC＝5 ，点P为AC边上的动点，当△ABP是等腰三角形时，AP的长为 .
第10题图
11.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)求证：∠ACD＝∠B；
(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：△CEF是等腰三角形.
12.[2023秋·永寿县期中]如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝36°，∠EDF＝40°，BD＝BE，求证：△CDF是等腰三角形.
13.[推理能力]如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，速度为1 cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，速度为2 cm/s，若它们同时出发，设出发的时间为t秒.
(1)求出发2秒后，PQ的长；
(2)点Q在CA边上运动时，当△BCQ为等腰三角形时，求点Q的运动时间.
第13题图
14.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，
第14题图
(1)提出问题：
①请用无刻度的直尺和圆规过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E；(保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
②试猜想ED与AD的数量关系，并证明你的猜想；
(2)解决问题：
①AB＋AC 2AD(填“>”“＝”或“<”)；
②若AB＝3，AC＝5，则AD长度的取值范围为 ；
(3)拓展应用：
如图2，CE，CB分别是△ABC和△ADC的中线，AB＝AC，直接写出CD与CE的数量关系.1.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为( B )
第1题图
A.2 B.3
C.4 D.5
2.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是( C )
第2题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝4，则BC的长为( D )
第3题图
A.5 B.9
C.＋3 D.＋4
4.用反证法证明“若a＋b≥0，则a，b至少有一个不小于0”时，第一步应假设( A )
A.a，b都小于0
B.a，b不都小于0
C.a，b都不小于0
D.a，b都大于0
5.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( B )
A.a＝3，b＝3，c＝4
B.a∶b∶c＝2∶3∶4
C.∠B＝50°，∠C＝80°
D.∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2
6.如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，交AC于点M，点D是BC边上的一点，连接AD，使AD＝DC，且∠BAD＝110°，则∠BMC＝( C )
第6题图
A.30° B.155°
C.145° D.135°
7.如图，在△ABC中，AB＝3 cm，AC＝4 cm，BC＝5 cm，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为( D )
第7题图
A.3 B.4
C.5 D.6
8.若△ABC的边AB＝6 cm，周长为16 cm，当边BC＝4或5或6cm时，△ABC为等腰三角形.
9.[分类讨论思想]如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°.
第9题图
10.如图，△ABC中，AB＝4，BC＝，AC＝5 ，点P为AC边上的动点，当△ABP是等腰三角形时，AP的长为4或2或4.
第10题图
11.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)求证：∠ACD＝∠B；
(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：△CEF是等腰三角形.
证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
第11题图
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
(2)在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形.
12.[2023秋·永寿县期中]如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝36°，∠EDF＝40°，BD＝BE，求证：△CDF是等腰三角形.
证明：在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝36°，
第12题图
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－100°－36°＝44°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED，
∵∠B＝36°，
∴∠BDE＝∠BED＝＝72°，
∵∠EDF＝40°，
∴∠CDF＝180°－∠BDE－∠EDF＝180°－72°－40°＝68°，
∴∠CFD＝180°－∠C－∠CDF＝180°－44°－68°＝68°，
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF，
∴△CDF是等腰三角形.
13.[推理能力]如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，速度为1 cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，速度为2 cm/s，若它们同时出发，设出发的时间为t秒.
(1)求出发2秒后，PQ的长；
(2)点Q在CA边上运动时，当△BCQ为等腰三角形时，求点Q的运动时间.
第13题图
解：(1)BQ＝2×2＝4(cm)，
BP＝AB－AP＝8－2×1＝6(cm)，
∵∠B＝90°，
∴PQ＝＝2 (cm)；
(2)∵AB＝8 cm，BC＝6 cm，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝10(cm).
分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
图1
第13题图
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，
∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5 cm，
∴BC＋CQ＝11(cm)，
∴t＝11÷2＝5.5(s)；
②当CQ＝BC时，如图2所示：
图2
第13题图
则BC＋CQ＝12(cm)，
∴t＝12÷2＝6(s)；
③当BC＝BQ时，如图3所示：
图3
第13题图
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8(cm)，
∴CE＝＝3.6(cm)，
∴CQ＝2CE＝7.2(cm)，
∴BC＋CQ＝13.2(cm)，
∴t＝13.2÷2＝6.6(s).
综上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.
14.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，
第14题图
(1)提出问题：
①请用无刻度的直尺和圆规过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E；(保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
②试猜想ED与AD的数量关系，并证明你的猜想；
(2)解决问题：
①AB＋AC________2AD(填“>”“＝”或“<”)；
②若AB＝3，AC＝5，则AD长度的取值范围为________；
(3)拓展应用：
如图2，CE，CB分别是△ABC和△ADC的中线，AB＝AC，直接写出CD与CE的数量关系.
解：(1)①利用尺规作图，作∠BCE＝∠ABC，
第14题图
则CE∥AB，
点E即为所求；
②证明：ED与AD的数量关系为ED＝AD.理由：
由作图可知，∠DCE＝∠DBA，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
在△ADB与△EDC中，
∴△ADB≌△EDC(ASA)，
∴DE＝AD；
(2)①∵△ADB≌△EDC，
∴AB＝EC，DE＝AD.
在△ACE中，AC＋EC>AE，
∴AC＋AB>2AD，
故答案为：>；
②在△ACE中，AC＋AB>AE>，
∵AB＝3，AC＝5，
∴5－3∴2<2AD<8，
即1故答案为：1(3)证明：CD＝2CE.理由：
过点B作BM∥AC，交CE的延长线于点M，
第14题图
∵BM∥AC，
∴∠CAE＝∠MBE，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AEC与△BEM中，
∴△AEC≌△BEM(ASA)，
∴AC＝BM，CE＝EM＝CM，
∵AB＝AC，AB＝BD，
∴∠ABC＝∠ACB，BD＝BM，
∵∠CBD＝∠BAC＋∠ACB，
∠CBM＝∠MBA＋∠ABC，
∴∠CBM＝∠CBD，
在△CBM与△CBD中，
∴△CBM≌△CBD(SAS)，
∴CD＝CM.
∴CD＝2CE.1.[2024春·南宁期中]如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于( )
A.15° B.20°
C.25° D.30°
第1题图
2.如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，点E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于( )
A.10° B.15°
C.20° D.25°
第2题图
3.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )
第3题图
A.(1，1) B.(1，)
C.(，1) D.(，)
4.[2024秋·朝阳期中]如图，D，E是等边△ABC的BC边和AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于P点，则∠APE的度数是( )
第4题图
A.45° B.55°
C.60° D.75°
5.[2024秋·横州市期中]一个等边三角形的边长为7 cm，则其周长为 _ .
6.三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝80°，则∠1＋∠2＝ .
第6题图
7.如图，P是等边△ABC的边BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，点E，F为垂足，则∠EPF＝ .
第7题图
8.如图，以正方形ABCD的边AB向内作等边△ABE，则∠AED＝ .
第8题图
9.[营口中考]如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE＋EF的最小值为 .
第9题图
10.[2023·南岗区二模]△ABC是等边三角形，点D与点A在BC的同侧，连接DB，CD，△DBC是等腰直角三角形，则∠ADB的度数为 .
11.[2024·廉江市二模]如图，D为线段BC上的一点，△ABC，△ADE都是等边三角形，连接CE.若AB＝6，BD＝2DC，求CE的长.
12.如图，在等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE，求证：△ACD≌△BCE.
13.如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，点D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，求：
(1)BE的长；
(2)∠DBE和∠DEB的度数.
14.如图，A，B，C三点在一条直线上，△DAB和△EBC都是等边三角形，连接AE和DC，交点为点O.
(1)AE＝DC吗？请说明理由；
(2)猜想∠EOC的度数，无需说明理由.
15.[2023秋·灵宝市期末](1)问题发现：如图1，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上，连接AE.
第15题图
①∠AEC的度数为 ；
②线段AE，BD之间的数量关系为 ；
(2)拓展探究：如图2，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM，AE，BM之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，点B，D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB＋∠ECB的度数.1.下列对△ABC的判断，错误的是( D )
A.若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形
B.若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶7，则△ABC是直角三角形
C.若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形
D.若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝2 cm，则AB的长是( D )
A.2 cm B.4 cm
C.6 cm D. cm
3.若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的是( C )
A.这个三角形是钝角三角形
B.这个三角形是直角三角形
C.这个三角形是等边三角形
D.不存在这样的三角形
4.如图，把一个含30°角的直角三角板ABC放在一个直尺上，直角边AC，BC，斜边AB与直尺的两边分别交于点N，D，E和M.已知△BDE是等边三角形，∠A＝30°，若AN＝6，则MN的长为( D )
第4题图
A.3 B.2
C.3 D.2
5.如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为点D，CD＝1，则AB的长为( D )
第5题图
A.2 B.2
C.＋1 D.＋1
6.有下列说法：
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
②三边长为，，3的三角形为直角三角形
③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10
④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形
其中正确的个数是( B )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
7.在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为( D )
第8题图
A.6或2 B.6或4
C.2 或4 D.6或2 或4
8.[2023·安溪县一模]如图，现有一块三角板ABC，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，将该三角板沿BC边翻转得到△A′BC，再将△A′BC沿边A′C翻转得到△A′B′C，则A与B′两点之间的距离为( C )
A.8 B.16
C.8 D.16
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AB＝6 cm，则CD＝3_cm.
第9题图
10.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝16，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝7.
第10题图
11.如图，在△ABC中，点D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝10.
第11题图
12.如图所示，△ABC为等边三角形，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
第12题图
∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
又∵∠ABD＝∠ACE，
BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形.
13.[2024春·中山市期中]明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯(如图1)，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝180 cm，AD＝160 cm，AC与AB的张角∠BAC记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是30°≤α≤60°，BC为固定张角α大小的锁链.
(1)求锁链BC长度的最大值；
(2)若α＝60°，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离.(结果保留根号)
第13题图
解：(1)由题意，得当∠BAC＝α＝60°时，锁链BC的长度最大，
∵AB＝AC＝180 cm，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝180 cm，
∴锁链BC长度的最大值为180 cm；
(2)过点D作DE⊥BC，垂足为E，
第13题图
∵∠BAC＝α＝60°，AB＝AC＝180 cm，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，∠BDE＝30°，
∵AD＝160 cm，
∴BD＝AB＋AD＝340 cm，
在Rt△BDE中，BE＝BD＝170(cm)，
∴DE＝＝170 (cm).
∴此时桑梯顶端D到地面的距离为170 cm.
14.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点E是AC延长线上一点，且CE＝CD，AD＝DE.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)如果把AD改为△ABC的中线或高(其他条件不变)，请判断(1)中结论是否依然成立？(不要求证明)
解：(1)证明：∵CD＝CE，
第14题图
∴∠E＝∠CDE，
∴∠ACB＝2∠E.
∵AD＝DE，∴∠E＝∠DAC.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠E，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴BA＝BC.
∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形；
(2)当AD为△ABC的中线或高时，结论依然成立.
15.[推理能力]在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒.
(1)如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，当PQ∥AC时，求t的值；
(2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形.
第15题图
解：(1)∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∵∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意，得AP＝t，则BP＝9－t，
∴9－t＝6，
解得t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
(2)①当点Q在边BC上时，如图1，
图1
第15题图
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，如图2，
图2
第15题图
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意，得AP＝t，BC＋CQ＝2t，
∴AQ＝BC＋AC－(BC＋CQ)＝9＋9－2t＝18－2t，
即18－2t＝t，解得t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形.1.下列对△ABC的判断，错误的是( )
A.若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形
B.若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶7，则△ABC是直角三角形
C.若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形
D.若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝2 cm，则AB的长是( )
A.2 cm B.4 cm
C.6 cm D. cm
3.若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的是( )
A.这个三角形是钝角三角形
B.这个三角形是直角三角形
C.这个三角形是等边三角形
D.不存在这样的三角形
4.如图，把一个含30°角的直角三角板ABC放在一个直尺上，直角边AC，BC，斜边AB与直尺的两边分别交于点N，D，E和M.已知△BDE是等边三角形，∠A＝30°，若AN＝6，则MN的长为( )
第4题图
A.3 B.2
C.3 D.2
5.如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为点D，CD＝1，则AB的长为( )
第5题图
A.2 B.2
C.＋1 D.＋1
6.有下列说法：
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
②三边长为，，3的三角形为直角三角形
③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10
④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形
其中正确的个数是( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
7.在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为( )
第8题图
A.6或2 B.6或4
C.2 或4 D.6或2 或4
8.[2023·安溪县一模]如图，现有一块三角板ABC，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，将该三角板沿BC边翻转得到△A′BC，再将△A′BC沿边A′C翻转得到△A′B′C，则A与B′两点之间的距离为( )
A.8 B.16
C.8 D.16
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AB＝6 cm，则CD＝ _ .
第9题图
10.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝16，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝ .
第10题图
11.如图，在△ABC中，点D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝ .
第11题图
12.如图所示，△ABC为等边三角形，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，求证：△ADE是等边三角形.
13.[2024春·中山市期中]明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯(如图1)，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝180 cm，AD＝160 cm，AC与AB的张角∠BAC记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是30°≤α≤60°，BC为固定张角α大小的锁链.
(1)求锁链BC长度的最大值；
(2)若α＝60°，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离.(结果保留根号)
第13题图
14.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点E是AC延长线上一点，且CE＝CD，AD＝DE.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)如果把AD改为△ABC的中线或高(其他条件不变)，请判断(1)中结论是否依然成立？(不要求证明)
15.[推理能力]在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒.
(1)如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，当PQ∥AC时，求t的值；
(2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形.
第15题图1.[2024春·南宁期中]如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于( A )
A.15° B.20°
C.25° D.30°
第1题图
2.如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，点E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于( C )
A.10° B.15°
C.20° D.25°
第2题图
3.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( B )
第3题图
A.(1，1) B.(1，)
C.(，1) D.(，)
4.[2024秋·朝阳期中]如图，D，E是等边△ABC的BC边和AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于P点，则∠APE的度数是( C )
第4题图
A.45° B.55°
C.60° D.75°
5.[2024秋·横州市期中]一个等边三角形的边长为7 cm，则其周长为21_cm.
6.三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝80°，则∠1＋∠2＝100°.
第6题图
7.如图，P是等边△ABC的边BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，点E，F为垂足，则∠EPF＝120°.
第7题图
8.如图，以正方形ABCD的边AB向内作等边△ABE，则∠AED＝75°.
第8题图
9.[营口中考]如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE＋EF的最小值为3.
第9题图
10.[2023·南岗区二模]△ABC是等边三角形，点D与点A在BC的同侧，连接DB，CD，△DBC是等腰直角三角形，则∠ADB的度数为75°或135°或30°.
11.[2024·廉江市二模]如图，D为线段BC上的一点，△ABC，△ADE都是等边三角形，连接CE.若AB＝6，BD＝2DC，求CE的长.
解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
第11题图
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD＝CE，
∵AB＝6，BD＝2DC，
∴BD＝BC＝AB＝4，
∴CE＝4.
12.如图，在等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE，求证：△ACD≌△BCE.
证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形，
第12题图
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB－∠DCO＝∠DCE－∠DCO，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS).
13.如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，点D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，求：
(1)BE的长；
(2)∠DBE和∠DEB的度数.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
第13题图
∴AB＝AC＝BC.
∵AB＝10，
∴AC＝BC＝10.
∵D是AC的中点，
∴CD＝5，
∴CE＝CD＝5，
∴BE＝BC＋CE＝10＋5＝15；
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝×60°＝30°.
∵CE＝CD，∴∠DEB＝∠CDE.
∵∠ACB＝∠DEB＋∠CDE，
∴2∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°.
综上所述，∠DBE＝∠DEB＝30°.
14.如图，A，B，C三点在一条直线上，△DAB和△EBC都是等边三角形，连接AE和DC，交点为点O.
(1)AE＝DC吗？请说明理由；
(2)猜想∠EOC的度数，无需说明理由.
解：(1)AE＝DC.理由：∵△DAB和△EBC都是等边三角形，
第14题图
∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABD＋∠DBE＝∠EBC＋∠DBE，
即∠ABE＝∠DBC.
在△ABE和△DBC中，
第14题图
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴AE＝CD；
(2)∠EOC＝60°.理由：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠EAB＝∠CDB.
∵∠DHO＝∠AHB，
∴∠DOA＝∠ABD＝60°.
∴∠EOC＝∠DOA＝60°.
15.[2023秋·灵宝市期末](1)问题发现：如图1，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上，连接AE.
第15题图
①∠AEC的度数为________；
②线段AE，BD之间的数量关系为________；
(2)拓展探究：如图2，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM，AE，BM之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，点B，D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB＋∠ECB的度数.
解：(1)①∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴CE＝CD，CA＝CB，∠ECD＝∠ACB＝60°，
∴∠BDC＝180°－∠EDC＝120°，
∴∠ECD－∠ACD＝∠ACB－∠ACD，即∠ECA＝∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
∴△ECA≌△DCB(SAS)，
∴∠AEC＝∠BDC＝120°，
故答案为：120°；
②∵△ECA≌△DCB，
∴AE＝BD，
故答案为：AE＝BD；
(2)CM＋AE＝BM，理由：
∵△ABC和△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠CDE＝45°，AC＝BC，EC＝DC，∠ACB－∠BCD＝∠DCE－∠ACE，
∴∠CDB＝180°∠CDE＝135°，∠ACE＝∠BCD，
在△ECA和△DCB中，
∴△ECA≌△DCB(SAS)，
∴∠CEA＝∠CDB＝135°，AE＝BD，
∵∠CEB＝45°，
∴∠AEB＝∠CEA－∠CEB＝90°，
∵△DCE是等腰直角三角形，CM为△EDC中DE边上的高，
∴CM＝EM＝MD，
∴BM＝MD＋DB＝CM＋AE；
(3)∵△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，
∴∠CDE＝72°，AC＝BC，EC＝DC，∠ACB－∠BCD＝∠DCE－∠ACE，
∴∠CDB＝108°，∠BCD＝∠ACE，
在△ECA和△DCB中，
∴△ECA≌△DCB(SAS)，
∴∠CEA＝∠CDB＝108°，
∴∠EAC＋∠ECA＝72°，
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∴∠EAB＋∠ECB＝∠EAC＋∠CAB＋∠ECA＋∠ACB＝72°＋72°＋36°＝180°.1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )
A.中线
B.底边上的中线
C.中线所在的直线
D.底边上的中线所在的直线
2.如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为( )
第2题图
A.30° B.32°
C.40° D.48°
3.[2023春·长春期末]等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )
A.60° B.120°
C.60°或150° D.60°或120°
4.等腰三角形的一个内角为80°，则此三角形其余两个内角的度数分别为( )
A.50°，50° B.80°，20°
C.80°，50° D.50°，50°或80°，20°
5.[2023·鄂尔多斯三模]腰长为5，一边上的高为4的等腰三角形的底边长为( )
A.6或4 B.6或4 或2
C.4 或2 D.6或2
6.[2023秋·襄阳期末]若等腰三角形的两内角度数比为1∶4，则它的顶角为( )
A.36度或144度 B.20度或120度
C.120度 D.20度
7.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的角平分线，∠B＝70°，则∠ACD＝ .
第7题图
8.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，过AC上点E作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE＝140°，则∠DEF＝ .
第8题图
9.[易错易混]若等腰三角形的底边长是6 cm，一腰上的中线把它的周长分成差是2 cm的两部分，则腰长是 cm.
10.[2024春·雁塔区期中]定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形的周长为13 cm，AB＝5 cm，则它的“优美比”k为 .
11.[2023春·佛山期中]如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D，在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E……按此方法继续下去，第2 023个等腰三角形的底角度数是 _ .
第11题图
12.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AD∥BC，求∠DAE的度数.
13.[2024春·嘉定区期末]如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且AD＝AE.试说明BE＝CD的理由.
第13题图
14.已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点.
(1)直线BF垂直直线CE于点F，交CD于点G(如图1)，求证：AE＝CG；
(2)直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M(如图2)，找出图中与BE相等的线段，并证明.
第14题图
15.【问题背景】(1)如图1，点P是线段AB，CD的中点，求证：AC∥BD；
【变式迁移】(2)如图2，在等腰△ABC中，BD是底边AC上的高线，E为△ABD内一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接AF，若BE⊥AF，请判断AF，BE，BC三边数量关系并说明理由；
【拓展应用】(3)如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，点E在线段BD上(点E不与点B，点D重合)，过点A作AF⊥CE，连接FD，若AF＝12，CF＝4，求FD的长.
第15题图

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