资源简介

1.[2023春·咸阳期中]如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF.要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是( )
第1题图
A.∠A＝∠B B.AC＝BE
C.AD＝BE D.AD＝BF
2.[2023春·雁山区期中]如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则Rt△ABC≌Rt△DCB的依据是( )
第2题图
A.HL B.ASA
C.AAS D.SAS
3.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是( )
第3题图
A.AC＝AD或BC＝BD
B.AC＝AD且BC＝BD
C.∠BAC＝∠BAD
D.以上都不对
4.如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝( )
第4题图
A.28° B.59°
C.60° D.62°
5.命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，可取下列哪组值作为反例说明( )
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝－1
C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝1
6.[2023秋·大同期末]如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝CE，B，C，D三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定△ABC≌△CDE的是( )
第6题图
A.AB＝CD B.AB＝DE
C.∠ACE＝90° D.∠A＋∠E＝90°
7.[2024秋·竞秀区期末]如图，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，且PD＝PE，DP，EP的延长线分别交OB，OA于点C，F.下列结论错误的是( )
第7题图
A.△ODP≌△OEP B.PD＝CP
C.∠DPO＝∠EPO D.OP平分∠AOB
8.如图，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD上的点，且∠EAF＝70°，下列结论中①DF＝BE ②△ADF≌△ABE ③FA平分∠DFE ④EF平分∠AEC ⑤BE＋DF＝EF.其中正确的结论是( )
第8题图
A.④⑤ B.①②
C.③⑤ D.①②③
9.对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc”，它的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)
10.[2024春·南阳期末]如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在AB上，作DE⊥AB交CB于点E，若CE＝DE＝3，BE＝5，则AC的长度为 .
第10题图
11.[2024春·大庆期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝BD，DE⊥AB于点D，若AC＝9 cm，则AE＋DE＝ _ .
第11题图
12.[2023秋·阳泉期末]如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝12 cm，AC＝6 cm.动点E从A点出发以3 cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB.若点E的运动时间为t(s)(t>0)，则当t＝ s时，△DEB与△BCA全等.
第12题图
13.[2024春·港北区期中]如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O.
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC是 三角形.
14.[2024秋·崆峒区期末]如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BCA＝90°，点D在CA上，点E在BC的延长线上，且BD＝AE.
(1)求证：△BCD≌△ACE；
(2)若∠BAE＝67°，求∠DBA的度数.
15.[2023春·枣庄期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
(1)若点B，C在直线DE的同侧(如图1所示)，且AD＝CE，求证：
①AB⊥AC；
②DE＝BD＋CE；
(2)若点B，C在直线DE的两侧(如图2所示)，且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.
第15题图1.[2023·黄冈]如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝( )
第1题图
A.55° B.45°
C.35° D.25°
2.[2023·江西]如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为( )
第2题图
A.35° B.45°
C.55° D.65°
3.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，将三角形纸片沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，则△BDE的周长为( )
第3题图
A.3 B.4
C.5 D.6
4.如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.a∶b∶c＝32∶42∶52
B.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
C.a＝，b＝，c＝
D.∠A＝15°，∠B＝75°
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，动点P在BC边上，则AP的长不可能是( )
A. B.
C. D.
第5题图
6.如图，在边长为1的小正方形网格中，点P为CD上任一点，PB2－PA2的值为( )
第6题图
A.6 B.8
C.10 D.12
7.如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°.若∠A＝32°，则∠BCD的度数是 .
第7题图
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 .
第8题图
9.[2024春·防城区期中]如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，AD＝CD，BC＝8，AF＝4，则BD的长为 .
第9题图
10.如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则AQ＋CP的最小值为 .
第10题图
11.[2023秋·晋江市期中]如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E.∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小.
12.如图，已知点D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形.
13.[2024春·泉州期末]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC上一点，AB＝BE，连接AE，BD是∠ABC的角平分线，交AE于点F，交AC于点D，连接DE.
(1)若∠C＝50°，求∠CAE的度数；
(2)求证：DE＝AD.
14.[推理能力]已知：在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC交BC于点E.
第14题图
(1)如图1，AD⊥BC于点D，若∠C＝60°，∠B＝30°，求∠DAE的度数；
(2)如图1，AD⊥BC于点D，若∠B＝α，∠C＝β，求∠DAE的度数；(用含α，β的式子表示)
(3)如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F是AE上的任意一点(不与点A，E重合)，过点F作FG⊥BC于点G，且∠B＝30°，∠C＝80°，请你运用(2)中的结论求出∠EFG的度数；
(4)在(3)的条件下，若点F在AE的延长线上(如图3)，其他条件不变，则∠EFG的度数会发生改变吗？说明理由.1.[2023春·咸阳期中]如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF.要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是( B )
第1题图
A.∠A＝∠B B.AC＝BE
C.AD＝BE D.AD＝BF
2.[2023春·雁山区期中]如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则Rt△ABC≌Rt△DCB的依据是( A )
第2题图
A.HL B.ASA
C.AAS D.SAS
3.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是( A )
第3题图
A.AC＝AD或BC＝BD
B.AC＝AD且BC＝BD
C.∠BAC＝∠BAD
D.以上都不对
4.如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝( B )
第4题图
A.28° B.59°
C.60° D.62°
5.命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，可取下列哪组值作为反例说明( D )
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝－1
C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝1
6.[2023秋·大同期末]如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝CE，B，C，D三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定△ABC≌△CDE的是( B )
第6题图
A.AB＝CD B.AB＝DE
C.∠ACE＝90° D.∠A＋∠E＝90°
7.[2024秋·竞秀区期末]如图，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，且PD＝PE，DP，EP的延长线分别交OB，OA于点C，F.下列结论错误的是( B )
第7题图
A.△ODP≌△OEP B.PD＝CP
C.∠DPO＝∠EPO D.OP平分∠AOB
8.如图，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD上的点，且∠EAF＝70°，下列结论中①DF＝BE ②△ADF≌△ABE ③FA平分∠DFE ④EF平分∠AEC ⑤BE＋DF＝EF.其中正确的结论是( C )
第8题图
A.④⑤ B.①②
C.③⑤ D.①②③
9.对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc”，它的逆命题是假命题.(填“真”或“假”)
10.[2024春·南阳期末]如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在AB上，作DE⊥AB交CB于点E，若CE＝DE＝3，BE＝5，则AC的长度为6.
第10题图
11.[2024春·大庆期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝BD，DE⊥AB于点D，若AC＝9 cm，则AE＋DE＝9_cm.
第11题图
12.[2023秋·阳泉期末]如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝12 cm，AC＝6 cm.动点E从A点出发以3 cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB.若点E的运动时间为t(s)(t>0)，则当t＝2或6或8 s时，△DEB与△BCA全等.
第12题图
13.[2024春·港北区期中]如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O.
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC是________三角形.
解：(1)证明：∵∠A＝∠D＝90°，
第13题图
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)；
(2)∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形，
故答案为：等腰.
14.[2024秋·崆峒区期末]如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BCA＝90°，点D在CA上，点E在BC的延长线上，且BD＝AE.
(1)求证：△BCD≌△ACE；
(2)若∠BAE＝67°，求∠DBA的度数.
解：(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BCA＝90°，
第14题图
∴AC＝BC，
在Rt△ACE和Rt△BCD中，
∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL)；
(2)∵△ABC为等腰直角三角形，∠BCA＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠BAE＝67°，
∴∠EAC＝∠BAE－∠CAB＝67°－45°＝22°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC＝∠DBC＝22°，
∴∠DBA＝∠CBA－∠DBC＝45°－22°＝23°，
因此∠DBA的度数为23°.
15.[2023春·枣庄期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
(1)若点B，C在直线DE的同侧(如图1所示)，且AD＝CE，求证：
①AB⊥AC；
②DE＝BD＋CE；
(2)若点B，C在直线DE的两侧(如图2所示)，且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.
第15题图
解：(1)证明：①∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，
∴∠DBA＝∠CAE，AE＝BD，
∵∠BAD＋∠DBA＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°，
∴AB⊥AC；
②∵AD＝CE，AE＝BD，
∴DE＝AD＋AE＝CE＋BD；
(2)结论：AB⊥AC.
理由：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，
∴∠DAB＝∠ECA.
∵∠CAE＋∠ECA＝90°，
∴∠CAE＋∠BAD＝90°，
即∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC.1.[2023·黄冈]如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝( C )
第1题图
A.55° B.45°
C.35° D.25°
2.[2023·江西]如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为( C )
第2题图
A.35° B.45°
C.55° D.65°
3.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，将三角形纸片沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，则△BDE的周长为( D )
第3题图
A.3 B.4
C.5 D.6
4.如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是( A )
A.a∶b∶c＝32∶42∶52
B.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
C.a＝，b＝，c＝
D.∠A＝15°，∠B＝75°
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，动点P在BC边上，则AP的长不可能是( D )
A. B.
C. D.
第5题图
6.如图，在边长为1的小正方形网格中，点P为CD上任一点，PB2－PA2的值为( D )
第6题图
A.6 B.8
C.10 D.12
7.如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°.若∠A＝32°，则∠BCD的度数是32°.
第7题图
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是14°.
第8题图
9.[2024春·防城区期中]如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，AD＝CD，BC＝8，AF＝4，则BD的长为2.
第9题图
10.如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则AQ＋CP的最小值为.
第10题图
11.[2023秋·晋江市期中]如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E.∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小.
解：∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°，
∵AE平分∠BAC，
第11题图
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝40°，
∵AD⊥BC，∠C＝70°，
∴∠DAC＝20°，
∴∠EAD＝40°－20°＝20°.
12.如图，已知点D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形.
证明：∵∠ACD＋∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，
第12题图
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B，
∴∠AOE＝∠B，
∵∠BAC＋∠B＝90°，
∴∠BAC＋∠AOE＝90°，
∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形.
13.[2024春·泉州期末]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC上一点，AB＝BE，连接AE，BD是∠ABC的角平分线，交AE于点F，交AC于点D，连接DE.
(1)若∠C＝50°，求∠CAE的度数；
(2)求证：DE＝AD.
解：(1)在Rt△ABC中，
∠BAC＝90°，
第13题图
∵∠C＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵AB＝BE，BD是∠ABC的角平分线，
∴BD⊥AE，∠ABD＝∠CBD＝∠ABE＝20°，
∴∠AFD＝90°，∠ADB＝90°－20°＝70°，
∴∠CAE＝90°－70°＝20°；
(2)证明：在△ABD和△EBD中，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD＝ED.
14.[推理能力]已知：在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC交BC于点E.
第14题图
(1)如图1，AD⊥BC于点D，若∠C＝60°，∠B＝30°，求∠DAE的度数；
(2)如图1，AD⊥BC于点D，若∠B＝α，∠C＝β，求∠DAE的度数；(用含α，β的式子表示)
(3)如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F是AE上的任意一点(不与点A，E重合)，过点F作FG⊥BC于点G，且∠B＝30°，∠C＝80°，请你运用(2)中的结论求出∠EFG的度数；
(4)在(3)的条件下，若点F在AE的延长线上(如图3)，其他条件不变，则∠EFG的度数会发生改变吗？说明理由.
解：(1)∵在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)＝90°－(∠B＋∠C)，
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°－∠C，
∴∠DAE＝∠CAE－∠DAC＝90°－(∠B＋∠C)－(90°－∠C)＝(∠C－∠B)，
当∠C＝60°，∠B＝30°时，
∠DAE＝×(60°－30°)＝15°；
(2)由(1)可知，∠DAE＝(∠C－∠B)，
∴当∠B＝α，∠C＝β时，
∠DAE＝(β－α)；
(3)∵∠DAE＝(∠C－∠B)，
∠B＝30°，∠C＝80°，
∴∠DAE＝×(80°－30°)＝25°，
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴FG∥AD，
∴∠EFG＝∠EAD＝25°；
(4)∠EFG的度数大小不发生改变.理由：
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴FG∥AD，
∴∠EFG＝∠EAD＝25°.

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