资源简介 第一章 三角形的证明一、选择题(共12小题,每题3分,共36分)1.[2023秋·克拉玛依期末]已知等腰三角形的两边长分别为4 cm,8 cm,则该等腰三角形的周长是( )A.12 cm B.16 cmC.16 cm或20 cm D.20 cm2.以下列各组数为边的三角形中,是直角三角形的有( )①3,4,5 ②,, ③32,42,52 ④0.03,0.04,0.05A.1组 B.2组C.3组 D.4组3.[2022·荆门]数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离, 在A的同岸选取点C,测得AC=30,∠A=45°,∠C=90°,如图所示,据此可求得A,B之间的距离为( )第3题图A.20 B.60C.30 D.304.[2023·岳阳]已知AB∥CD,点E在直线AB上,点F,G在直线CD上,EG⊥EF于点E,∠AEF=40°,则∠EGF的度数是( )第4题图A.40° B.45°C.50° D.60°5.如图,在一张由边长为1的小正方形组成的方格稿纸上,有A,B,C,D,E,F,G七个点,则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )第5题图A.点A,点B,点C B.点A,点D,点GC.点B,点E,点F D.点B,点G,点E6.[2024·眉山]如图,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于点E,F,过点E,F作直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长为( )第6题图A.7 B.8C.10 D.127.[2022·贵阳]如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是( )第7题图A.5 B.5C.5 D.58.[2022·营口]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D,则下列推断错误的是( )第8题图A.BD=BC B.AD=BDC.∠ADB=108° D.CD=AD9.在△ABC内的一点P到三边的距离相等,则点P一定是△ABC( )A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点C.三条高的交点 D.三条中线的交点10.如图,在等边△ABC中,点D,E分别是BC,AC上的点,且BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠1+∠2的度数是( )第10题图A.45° B.55°C.60° D.75°11.[2023·安吉县一模]如图,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°,BD,CE交于点F,连接AF,下列结论:①BD=CE ②BF⊥CF ③AF平分∠CAD ④∠AFE=45°.其中正确结论的个数有( )第11题图A.1个 B.2个C.3个 D.4个12.[西藏中考]如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=6,点P是线段AC上一动点,点M在线段AB上,当AM=AB时,PB+PM的最小值为( )第12题图A.3 B.2C.2 +2 D.3 +3二、填空题(共6小题,每题3分,共18分)13.在等腰△ABC中,AB=AC=10 cm,BC=12 cm,则BC边上的高是 cm.14.如图是某超市自动扶梯的示意图,大厅两层之间的距离h=6.5 m,自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v=0.5 m/s,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 s.第14题图15.[2023·长沙]如图,已知∠ABC=50°,点D在BA上,以点B为圆心,BD长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,则∠BDE的度数是 度.第15题图16.[2023·攀枝花]如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC= .第16题图17.[2024·陕西]如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为 .第17题图18.如图,在△ABC中,BC=10,AC-AB=6,AD是∠BAC的角平分线,CD⊥AD,则△BCD的面积最大值为 .第18题图三、解答题(共6小题,共46分)19.(6分)[2023·枣庄]图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点A和点B在小正方形的顶点上.(1)在图1中画出△ABC,使△ABC为直角三角形(点C在小正方形的顶点上,画出一个即可);(2)在图2中画出△ABD,使△ABD为等腰三角形(点D在小正方形的顶点上,画出一个即可).第19题图20.(6分)[2023·淄博]如图,△ABC是等腰三角形,点D,E分别在腰AC,AB上,且BE=CD,连接BD,CE.求证:BD=CE.第20题图21.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F.求证:BE垂直平分CD.第21题图22.(8分)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.(1)求∠BDC的度数;(2)连接AD,作DE⊥AB于点E,DE=2,AC=4,求△ADC的面积.第22题图23.(8分)【教材呈现】数学课上,赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的做法,如图,在△ABC中:(1)【问题1】下列操作中,作∠ABC的平分线的正确顺序是 ;(填序号)①分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作圆弧,在∠ABC内,两弧交于点P②以点B为圆心,适当长为半径作圆弧,交AB于点M,交BC于点N③画射线BP,交AC于点D(2)【问题2】连接MP,NP,通过证明△BMP≌△BNP,得到∠ABD=∠CBD,从而得到BD是∠ABC的平分线,其中证明△BMP≌△BNP的依据是 ;(填序号)①SAS ②ASA ③AAS ④SSS(3)【问题3】若AB=16,BC=14,S△ABC=75,过点D作DE⊥AB于点E,求DE的长.第23题图24.(10分)[2022·鄂尔多斯]在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD是△ABC的角平分线.第24题图(1)如图1,点E,F分别是线段BD,AD上的点,且DE=DF,AE与CF的延长线交于点M,则AE与CF的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)如图2,点E,F分别在DB和DA的延长线上,且DE=DF,EA的延长线交CF于点M.①(1)中的结论还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;②连接DM,求∠EMD的度数;③若DM=6 ,ED=12,求EM的长.第一章 三角形的证明一、选择题(共12小题,每题3分,共36分)1.[2023秋·克拉玛依期末]已知等腰三角形的两边长分别为4 cm,8 cm,则该等腰三角形的周长是( D )A.12 cm B.16 cmC.16 cm或20 cm D.20 cm2.以下列各组数为边的三角形中,是直角三角形的有( B )①3,4,5 ②,, ③32,42,52 ④0.03,0.04,0.05A.1组 B.2组C.3组 D.4组3.[2022·荆门]数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离, 在A的同岸选取点C,测得AC=30,∠A=45°,∠C=90°,如图所示,据此可求得A,B之间的距离为( C )第3题图A.20 B.60C.30 D.304.[2023·岳阳]已知AB∥CD,点E在直线AB上,点F,G在直线CD上,EG⊥EF于点E,∠AEF=40°,则∠EGF的度数是( C )第4题图A.40° B.45°C.50° D.60°5.如图,在一张由边长为1的小正方形组成的方格稿纸上,有A,B,C,D,E,F,G七个点,则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( C )第5题图A.点A,点B,点C B.点A,点D,点GC.点B,点E,点F D.点B,点G,点E6.[2024·眉山]如图,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于点E,F,过点E,F作直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长为( C )第6题图A.7 B.8C.10 D.127.[2022·贵阳]如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是( A )第7题图A.5 B.5C.5 D.58.[2022·营口]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D,则下列推断错误的是( D )第8题图A.BD=BC B.AD=BDC.∠ADB=108° D.CD=AD9.在△ABC内的一点P到三边的距离相等,则点P一定是△ABC( A )A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点C.三条高的交点 D.三条中线的交点10.如图,在等边△ABC中,点D,E分别是BC,AC上的点,且BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠1+∠2的度数是( C )第10题图A.45° B.55°C.60° D.75°11.[2023·安吉县一模]如图,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°,BD,CE交于点F,连接AF,下列结论:①BD=CE ②BF⊥CF ③AF平分∠CAD ④∠AFE=45°.其中正确结论的个数有( C )第11题图A.1个 B.2个C.3个 D.4个12.[西藏中考]如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=6,点P是线段AC上一动点,点M在线段AB上,当AM=AB时,PB+PM的最小值为( B )第12题图A.3 B.2C.2 +2 D.3 +3二、填空题(共6小题,每题3分,共18分)13.在等腰△ABC中,AB=AC=10 cm,BC=12 cm,则BC边上的高是8cm.14.如图是某超市自动扶梯的示意图,大厅两层之间的距离h=6.5 m,自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v=0.5 m/s,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26s.第14题图15.[2023·长沙]如图,已知∠ABC=50°,点D在BA上,以点B为圆心,BD长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,则∠BDE的度数是65度.第15题图16.[2023·攀枝花]如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC=10°.第16题图17.[2024·陕西]如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为60.第17题图18.如图,在△ABC中,BC=10,AC-AB=6,AD是∠BAC的角平分线,CD⊥AD,则△BCD的面积最大值为15.第18题图三、解答题(共6小题,共46分)19.(6分)[2023·枣庄]图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点A和点B在小正方形的顶点上.(1)在图1中画出△ABC,使△ABC为直角三角形(点C在小正方形的顶点上,画出一个即可);(2)在图2中画出△ABD,使△ABD为等腰三角形(点D在小正方形的顶点上,画出一个即可).第19题图解:(1)如图1、2、3、4,画一个即可:第19题图(2)如图5、6、7、8,画一个即可:第19题图20.(6分)[2023·淄博]如图,△ABC是等腰三角形,点D,E分别在腰AC,AB上,且BE=CD,连接BD,CE.求证:BD=CE.第20题图证明:∵△ABC是等腰三角形,∴∠EBC=∠DCB,在△EBC与△DCB中,∴△EBC≌△DCB(SAS),∴BD=CE.21.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F.求证:BE垂直平分CD.第21题图证明:∵ED⊥AB,∴∠EDB=∠ECB=90°.在Rt△CEB和Rt△DEB中,∴Rt△CEB≌Rt△DEB(HL),∴DE=CE.又∵BD=BC,∴BE垂直平分CD.22.(8分)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.(1)求∠BDC的度数;(2)连接AD,作DE⊥AB于点E,DE=2,AC=4,求△ADC的面积.第22题图解:(1)∵BD平分∠ABC,∠ABC=60°,∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°,∵CD平分∠ACB,∠ACB=40°,∴∠DCB=∠ACB=×40°=20°,∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-30°-20°=130°;(2)如图,作DF⊥AC于点F,DH⊥BC于点H,∵BD平分∠ABC,第22题图DE⊥AB,DH⊥BC,∴DH=DE=2.∵CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC,∴DF=DH=2,∴S△ADC=DF·AC=×2×4=4.23.(8分)【教材呈现】数学课上,赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的做法,如图,在△ABC中:(1)【问题1】下列操作中,作∠ABC的平分线的正确顺序是________;(填序号)①分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作圆弧,在∠ABC内,两弧交于点P②以点B为圆心,适当长为半径作圆弧,交AB于点M,交BC于点N③画射线BP,交AC于点D(2)【问题2】连接MP,NP,通过证明△BMP≌△BNP,得到∠ABD=∠CBD,从而得到BD是∠ABC的平分线,其中证明△BMP≌△BNP的依据是________;(填序号)①SAS ②ASA ③AAS ④SSS(3)【问题3】若AB=16,BC=14,S△ABC=75,过点D作DE⊥AB于点E,求DE的长.第23题图解:(1)作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③,故答案为:②①③;(2)在△MBP和△NBP中,∴△MBP≌△NBP(SSS),∴∠ABD=∠CBD,故答案为:④;第23题图(3)过点D作DF⊥BC于点F,∵∠ABD=∠CBD,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF,∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=AB·DE+BC·DF=DE·(AB+BC),即75=DE(16+14),∴DE=5.24.(10分)[2022·鄂尔多斯]在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD是△ABC的角平分线.第24题图(1)如图1,点E,F分别是线段BD,AD上的点,且DE=DF,AE与CF的延长线交于点M,则AE与CF的数量关系是________,位置关系是________;(2)如图2,点E,F分别在DB和DA的延长线上,且DE=DF,EA的延长线交CF于点M.①(1)中的结论还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;②连接DM,求∠EMD的度数;③若DM=6 ,ED=12,求EM的长.解:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,AD是△ABC的角平分线,∴AD=BD=CD,AD⊥BC,∴∠ADE=∠CDF=90°,又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF(SAS),∴AE=CF,∠DAE=∠DCF,∵∠DAE+∠DEA=90°,∴∠DCF+∠DEA=90°,∴∠EMC=90°,∴AE⊥CF.故答案为:AE=CF,AE⊥CF;(2)①(1)中的结论还成立,理由:同(1)可证△ADE≌△CDF(SAS),∴AE=CF,∠E=∠F,∵∠F+∠ECF=90°,∴∠E+∠ECF=90°,∴∠EMC=90°,∴AE⊥CF;②过点D作DG⊥AE于点G,DH⊥CF于点H,第24题图∵∠E=∠F,∠DGE=∠DHF=90°,DE=DF,∴△DEG≌△DFH(AAS),∴DG=DH,又∵DG⊥AE,DH⊥CF,∴DM平分∠EMC,又∵∠EMC=90°,∴∠EMD=∠EMC=45°;③∵∠EMD=45°,∠DGM=90°,∴∠DMG=∠GDM,∴DG=GM,又∵DM=6 ,∴DG=GM=6,∵DE=12,∴EG===6 ,∴EM=GM+EG=6+6 . 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