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期中综合测试卷
一、选择题(共12小题，每题4分，共48分)
1.[2022·湖南]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D )
2.[2023秋·青海期中]若实数a与b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中一定成立的是( B )
第2题图
A.a－1＜b－1 B.>
C.－a＞－b D.ac＜bc
3.[2024·兰州]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( B )
第3题图
A.100° B.115°
C.130° D.145°
4.[2023·衢州]如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是( B )
第4题图
A.∠BEA B.∠DEB
C.∠ECA D.∠ADO
5.[2022·青岛]如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是( C )
第5题图
A.(2，0) B.(－2，－3)
C.(－1，－3) D.(－3，－1)
6.[2022·河池]如果点P(m，1＋2m)在第三象限内，那么m的取值范围是( D )
A.－－
C.m<0 D.m<－
7.[2022·黄石]如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝2 cm，△ABD的周长为11 cm，则△ABC的周长为( C )
第7题图
A.13 cm B.14 cm C.15 cm D.16 cm
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF＝( C )
第8题图
A.55° B.60°
C.65° D.70°
9.[2023·大庆]端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为( A )
A.20% B.25%
C.75% D.80%
10.[2022·南通]根据图象，可得关于x的不等式kx>－x＋3的解集是( D )
第10题图
A.x<2 B.x>2
C.x<1 D.x>1
11.[2023春·南京期中]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是( A )
第11题图
A.＋1 B.2
C.＋2 D.＋1
12.[2022·贵港]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是( B )
第12题图
A.4 B.3
C.2 D.1
二、填空题(共6小题，每题4分，共24分)
13.[2023春·烟台期中]若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是65°或25°.
14.[2022·株洲]如图，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC＝30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝15度.
第14题图
15.[2023春·即墨区期中]如图，直线y＝x－4与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴上方作等腰直角三角形OAB，将△OAB沿y轴向下平移，当点B落在直线y＝x－4上时，△OAB平移的距离是6.
第15题图
16.[2023春·盘锦期中]某品牌电脑的成本价为2 400元，标价为3 150元，如果商店要以利润不低于5%的售价打折销售，最低可打八折出售.
17.[2024春·市中区期中]如图，在平面直角坐标系中，A(a，－5)，B(a＋3，－5)，且a>0，P为y轴上一动点.连接AB，将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段CD，则下列结论：①CD＝3；②∠OBA＋∠OCD＝∠BOC＋180°；③若△PCD的面积为6，则P点的坐标为(0，1)或(0，－7)；④若P点不在直线AB，CD上，△PCD面积为x，△PAB面积为y，四边形ABDC面积为z，则|x－y|＝z.其中正确的有①②③.
第17题图
18.[2024·杭州期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接DE，若AB＝3，AC＝5，则ED＝4，若延长线段ED交BC于点F，则CF＝4－.
第18题图
三、解答题(共7小题，共78分)
19.(10分)[2023春·姜堰区期末]解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的所有整数解.
解：
解不等式①，得x＜，
解不等式②，得x≥－2，
∴该不等式组的解集为－2≤x＜，
其解集在数轴上表示如图，
第19题图
∴该不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2.
20.(12分)[2023春·临汾期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2).
(1)将△ABC绕点O旋转180°，请画出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)将△ABC平移，使点A的对应点A2的坐标为(－5，－2)，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2，请画出平移后对应的△A2B2C2；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于点_________成中心对称.
第20题图
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求作；
第20题图
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求作；
第20题图
(3)如图，
第20题图
△A1B1C1与△A2B2C2关于点D(－1，－2)成中心对称，
故答案为：(－1，－2).
21.(10分)[2024·长沙]如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数.
第21题图
解：(1)证明：在△ABC与△ADE中，
所以△ABC≌△ADE(SAS)；
(2)∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝60°，
∴AC＝AE，∠CAE＝∠BAC＝60°，
∴△ACE是等边三角形.
∴∠ACE＝60°.
22.(10分)[2023·聊城]如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.
(1)求证：∠EAD＝∠EDA；
(2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积.
第22题图
解：(1)证明：∵∠B＝∠AED，
∴180°－∠B＝180°－∠AED，
即∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED，
∴∠BAE＝∠CED，
在△BAE和△CED中，
∴△BAE≌△CED(AAS)，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA；
(2)过点E作EF⊥AD于F，
第22题图
由(1)知EA＝ED，
∵∠AED＝∠C＝60°，
∴∠AEF＝∠DEF＝30°，
∵DE＝4，
∴DF＝DE＝2，
∴AD＝2DF＝4，EF＝＝＝2 ，
∴S△AED＝AD·EF＝×4×2 ＝4 .
23.(12分)[2023·巴东县模拟]某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益较好，计划继续采购进行销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如表：
第一次 第二次
A品牌运动服装数(件) 20 30
B品牌运动服装数(件) 30 40
累计采购款(元) 10 200 14 400
(1)问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
(2)根据销售数据分析，商家决定两种品牌运动服共采购150件，采购A品牌的件数不少于20件，采购B品牌的件数不低于A品牌件数的2倍，在采购总价不超过30 000元的情况下，最少能采购多少件B品牌运动服？
(3)在(1)(2)的条件下，若A品牌运动服售价为320元/件，B品牌运动服售价为230元/件，请你设计一个采购方案，使得所采购的运动服全部销售后获得利润最大，并说明理由.
解：(1)设A品牌运动服的进货单价是x元，B品牌运动服的进货单价是y元，
根据题意，得
解得
答：A品牌运动服的进货单价是240元，B品牌运动服的进货单价是180元；
(2)设商场采购B品牌运动服m件，则采购A品牌运动服(150－m)件，
根据题意，得
解得100≤m≤130，
∴m的最小值为100.
答：最少能采购100件B品牌运动服；
(3)当采购A品牌运动服50件，B品牌运动服100件时，所采购的运动服全部销售后获得利润最大，理由：
设采购的运动服全部销售后获得的利润为w元，则w＝(320－240)(150－m)＋(230－180)m，
即w＝－30m＋12 000，
∵－30＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵100≤m≤130，
∴当m＝100时，w取得最大值，最大值＝－30×100＋12 000＝9 000，
此时150－m＝150－100＝50，
∴当采购A品牌运动服50件，B品牌运动服100件时，所采购的运动服全部销售后获得利润最大.
24.(12分)[2023秋·宜昌期末]如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(－4，0).
(1)如图1，作直线AB，在x轴上有一点C(x，0)，若△ABC的面积为2，求点C的坐标；
(2)如图1，若在第一象限上存在一点G，G的坐标为(a，a)，满足4≤S△ABG≤8，求a的取值范围；
(3)如图2，点D(m，n)在线段AB上，且m，n满足＝3，点E在y轴负半轴上，连接DE交x轴于F点，记D，B，F三点构成的三角形面积为S1，记F，O，E三点构成的三角形面积为S2，若S1＝S2，求E点的坐标.
第24题图
解：(1)∵△ABC的面积为2，
∴××2＝2，
解得x1＝－2，x2＝－6，
则点C的坐标为(－2，0)或(－6，0)；
(2)如图1，点G在AB下方时，过G作GH⊥x轴于点H，
第24题图
∵G的坐标为(a，a)，且点G在第一象限内，
∴OH＝GH＝a(a>0)，
S△ABG＝S△AOB＋S四边形AOHG－S△BGH
＝×2×4＋(2＋a)a－(4＋a)a
＝－a＋4，
∵a>0，∴－a＋4<4，
此时没有符合题意的a的值存在；
如图2，点G在AB上方时，过G作GH⊥x轴于点H，
第24题图
∵G的坐标为(a，a)，且点G在第一象限内，
∴OH＝GH＝a(a>0)，
S△ABG＝S△BGH－S△AOB－S四边形AOHG
＝(4＋a)a－×2×4－(2＋a)a
＝a－4，
∵4≤S△ABG≤8，
∴4≤a－4≤8，
解得8≤a≤12，
∴a的取值范围为8≤a≤12；
(3)∵A(0，2)，B(－4，0)，
∴AO＝2，BO＝4，
∴S△AOB＝AO·BO＝×2×4＝4，
连接DO，过点D(m，n)作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，
第24题图
∵点D(m，n)在线段AB上，即m<0，n>0，
∴DM＝＝n，DN＝＝－m，
∵S△AOB＝S△BOD＋S△ADO＝BO·DM＋AO·DN＝×4n＋×2×(－m)＝2n－m，
∴2n－m＝4，即n＝m＋2，
∵|m－n|＝3，
∴＝3，
解得m1＝－2，m2＝10(舍去)，
∴D(－2，1)，
∵S1＝S2，
∴S△ABO＝S△ADE，
∴OA·OB＝AE·，
∴×2×4＝AE×2，
∴AE＝4，
∵A(0，2)，
∴E(0，－2).
25.(12分)[2023春·青岛期中]已知△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合).连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E.
第25题图
(1)如图1，当∠DAC＝90°时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当∠DAC是锐角时，求∠QEP的度数；
(3)如图3，当∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°时，点E恰好与点A重合，若AC＝6，求BQ的长.
解：(1)结论：BC⊥EQ.
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△CQB和△CPA中，
∴△CQB≌△CPA(SAS)，
∴∠CBQ＝∠CAP，
∵∠CAP＝90°，∴∠CBQ＝90°，
∴CB⊥EQ；
(2)∠QEP＝60°.
理由：如图2，
第25题图
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＋∠BCP＝∠BCP＋∠PCQ，
即∠ACP＝∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
∴△ACP≌△BCQ(SAS)，
∴∠APC＝∠Q，
∵∠BOP＝∠COQ，
∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；
(3)作CH⊥AD于点H，如图3，
第25题图
同(2)，可证△ACP≌△BCQ，
∴AP＝BQ.
∵∠DAC＝120°，
∴∠HAC＝60°，
又∵∠CHA＝90°，
∴∠HCA＝30°，
又∵∠ACP＝15°，
∴∠HCP＝45°，
∴△PCH为等腰直角三角形，
∵∠ACH＝30°，
∴AH＝AC＝3，CH＝3 .
在Rt△PHC中，PH＝CH＝3 ，
∴PA＝PH－AH＝3 －3，
∴BQ＝3 －3.期中综合测试卷
一、选择题(共12小题，每题4分，共48分)
1.[2022·湖南]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2.[2023秋·青海期中]若实数a与b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中一定成立的是( )
第2题图
A.a－1＜b－1 B.>
C.－a＞－b D.ac＜bc
3.[2024·兰州]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( )
第3题图
A.100° B.115°
C.130° D.145°
4.[2023·衢州]如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是( )
第4题图
A.∠BEA B.∠DEB
C.∠ECA D.∠ADO
5.[2022·青岛]如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是( )
第5题图
A.(2，0) B.(－2，－3)
C.(－1，－3) D.(－3，－1)
6.[2022·河池]如果点P(m，1＋2m)在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A.－－
C.m<0 D.m<－
7.[2022·黄石]如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝2 cm，△ABD的周长为11 cm，则△ABC的周长为( )
第7题图
A.13 cm B.14 cm C.15 cm D.16 cm
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF＝( )
第8题图
A.55° B.60°
C.65° D.70°
9.[2023·大庆]端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为( )
A.20% B.25%
C.75% D.80%
10.[2022·南通]根据图象，可得关于x的不等式kx>－x＋3的解集是( )
第10题图
A.x<2 B.x>2
C.x<1 D.x>1
11.[2023春·南京期中]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是( )
第11题图
A.＋1 B.2
C.＋2 D.＋1
12.[2022·贵港]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是( )
第12题图
A.4 B.3
C.2 D.1
二、填空题(共6小题，每题4分，共24分)
13.[2023春·烟台期中]若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是 .
14.[2022·株洲]如图，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC＝30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝ 度.
第14题图
15.[2023春·即墨区期中]如图，直线y＝x－4与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴上方作等腰直角三角形OAB，将△OAB沿y轴向下平移，当点B落在直线y＝x－4上时，△OAB平移的距离是 .
第15题图
16.[2023春·盘锦期中]某品牌电脑的成本价为2 400元，标价为3 150元，如果商店要以利润不低于5%的售价打折销售，最低可打 折出售.
17.[2024春·市中区期中]如图，在平面直角坐标系中，A(a，－5)，B(a＋3，－5)，且a>0，P为y轴上一动点.连接AB，将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段CD，则下列结论：①CD＝3；②∠OBA＋∠OCD＝∠BOC＋180°；③若△PCD的面积为6，则P点的坐标为(0，1)或(0，－7)；④若P点不在直线AB，CD上，△PCD面积为x，△PAB面积为y，四边形ABDC面积为z，则|x－y|＝z.其中正确的有 .
第17题图
18.[2024·杭州期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接DE，若AB＝3，AC＝5，则ED＝ ，若延长线段ED交BC于点F，则CF＝ .
第18题图
三、解答题(共7小题，共78分)
19.(10分)[2023春·姜堰区期末]解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的所有整数解.
20.(12分)[2023春·临汾期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2).
(1)将△ABC绕点O旋转180°，请画出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)将△ABC平移，使点A的对应点A2的坐标为(－5，－2)，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2，请画出平移后对应的△A2B2C2；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于点 _成中心对称.
第20题图
21.(10分)[2024·长沙]如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数.
第21题图
22.(10分)[2023·聊城]如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.
(1)求证：∠EAD＝∠EDA；
(2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积.
第22题图
23.(12分)[2023·巴东县模拟]某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益较好，计划继续采购进行销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如表：
第一次 第二次
A品牌运动服装数(件) 20 30
B品牌运动服装数(件) 30 40
累计采购款(元) 10 200 14 400
(1)问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
(2)根据销售数据分析，商家决定两种品牌运动服共采购150件，采购A品牌的件数不少于20件，采购B品牌的件数不低于A品牌件数的2倍，在采购总价不超过30 000元的情况下，最少能采购多少件B品牌运动服？
(3)在(1)(2)的条件下，若A品牌运动服售价为320元/件，B品牌运动服售价为230元/件，请你设计一个采购方案，使得所采购的运动服全部销售后获得利润最大，并说明理由.
24.(12分)[2023秋·宜昌期末]如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(－4，0).
(1)如图1，作直线AB，在x轴上有一点C(x，0)，若△ABC的面积为2，求点C的坐标；
(2)如图1，若在第一象限上存在一点G，G的坐标为(a，a)，满足4≤S△ABG≤8，求a的取值范围；
(3)如图2，点D(m，n)在线段AB上，且m，n满足＝3，点E在y轴负半轴上，连接DE交x轴于F点，记D，B，F三点构成的三角形面积为S1，记F，O，E三点构成的三角形面积为S2，若S1＝S2，求E点的坐标.
第24题图
25.(12分)[2023春·青岛期中]已知△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合).连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E.
第25题图
(1)如图1，当∠DAC＝90°时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当∠DAC是锐角时，求∠QEP的度数；
(3)如图3，当∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°时，点E恰好与点A重合，若AC＝6，求BQ的长.

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