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类型一 利用分式方程的增根
【方法点拨】 分式方程的增根就是使最简公分母等于零的未知数的值.因此已知分式方程的增根求字母的值的一般步骤：①化分式方程为整式方程；②令最简公分母为0，确定出增根的值；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
1.[2023·金牛区模拟]若关于x的分式方程＝－2有增根，则a的值是( A )
A.－2 B.－1
C.0 D.1
2.[2023春·兴庆区期末]已知关于x的分式方程＝－1有增根，则k＝( A )
A.－12 B.6
C.2 D.24
3.[2023·顺平县模拟]关于x的分式方程＋＝1有增根，则(－1)m＝( A )
A.－1 B.1
C.2 D.5
4.[2023·龙江县三模]若关于x的分式方程＋＝2a无解，则a的值为( D )
A.0 B.1
C.－1或0 D.0或1
5.若关于x的方程＝＋1无解，则a的值为3或4.
类型二 利用分式方程的特殊解
【方法点拨】 已知分式方程的解(或解的范围)，可求出待定字母的值(或取值范围)，方法是：①化分式方程为整式方程，并用待定字母的值表示出方程的解；②根据已知条件中方程的解(或解的范围)重新构造含待定字母的方程(或不等式)；③解方程(或不等式)，求出待定字母的值(或取值范围)；④检验：排除解集内使分母等于零的值.
6.[齐齐哈尔中考]若关于x的分式方程＝＋5的解为正数，则m的取值范围为( D )
A.m＜－10
B.m≤－10
C.m≥－10且m≠－6
D.m＞－10且m≠－6
7.若关于x的分式方程－1＝的解是正数，则m的取值范围是( A )
A.m<4且m≠3 B.m<4
C.m≤4且m≠3 D.m>5且m≠6
8.已知，关于x的分式方程－＝1.
(1)当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
(2)当a＝1时，求b为何值时分式方程－＝1无解；
(3)若a＝3b，且a，b为正整数，当分式方程－＝1的解为整数时，求b的值.
解：(1)把a＝2，b＝1代入原分式方程中，得－＝1，方程两边同时乘以(2x＋3)(x－5)，得
2(x－5)－(1－x)(2x＋3)＝(2x＋3)(x－5)，
解得x＝－，检验：把x＝－代入(2x＋3)(x－5)≠0，∴原分式方程的解为x＝－；
(2)把a＝1代入原分式方程中，得
－＝1，方程两边同时乘以(2x＋3)(x－5)，得
(x－5)－(b－x)(2x＋3)＝(2x＋3)(x－5)，
去括号，得
x－5＋2x2＋3x－2bx－3b＝2x2－7x－15，
移项、合并同类项，得(11－2b)x＝3b－10，
①当11－2b＝0时，即b＝，原分式方程无解；
②当11－2b≠0时，得x＝，
Ⅰ.x＝－时，原分式方程无解，
即＝－时，此时b不存在；
Ⅱ.x＝5时，原分式方程无解，
即＝5时，此时b＝5；
综上所述，b＝或b＝5时，
分式方程－＝1无解；
(3)把a＝3b代入分式方程－＝1中，
得＋＝1，
方程两边同时乘以(2x＋3)(x－5)，
得3b(x－5)＋(x－b)(2x＋3)＝(2x＋3)(x－5)，
整理得(10＋b)x＝18b－15，
解得x＝＝＝18－，
∵b为正整数，x为整数，
∴10＋b必为195的因数，10＋b≥11.
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1，3，5，13，15，39，65，195.
∵1，3，5都小于11，
∴(10＋b)可以取13，15，39，65，195这五个数，
对应的方程的解x＝3，5，13，15，17，
又∵x＝5为分式方程的增根，故应舍去，
对应的b只可以取3，29，55，185，
∴满足条件的b可取3，29，55，185这四个数.类型一 利用分式方程的增根
【方法点拨】 分式方程的增根就是使最简公分母等于零的未知数的值.因此已知分式方程的增根求字母的值的一般步骤：①化分式方程为整式方程；②令最简公分母为0，确定出增根的值；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
1.[2023·金牛区模拟]若关于x的分式方程＝－2有增根，则a的值是( )
A.－2 B.－1
C.0 D.1
2.[2023春·兴庆区期末]已知关于x的分式方程＝－1有增根，则k＝( )
A.－12 B.6
C.2 D.24
3.[2023·顺平县模拟]关于x的分式方程＋＝1有增根，则(－1)m＝( )
A.－1 B.1
C.2 D.5
4.[2023·龙江县三模]若关于x的分式方程＋＝2a无解，则a的值为( )
A.0 B.1
C.－1或0 D.0或1
5.若关于x的方程＝＋1无解，则a的值为 .
类型二 利用分式方程的特殊解
【方法点拨】 已知分式方程的解(或解的范围)，可求出待定字母的值(或取值范围)，方法是：①化分式方程为整式方程，并用待定字母的值表示出方程的解；②根据已知条件中方程的解(或解的范围)重新构造含待定字母的方程(或不等式)；③解方程(或不等式)，求出待定字母的值(或取值范围)；④检验：排除解集内使分母等于零的值.
6.[齐齐哈尔中考]若关于x的分式方程＝＋5的解为正数，则m的取值范围为( )
A.m＜－10
B.m≤－10
C.m≥－10且m≠－6
D.m＞－10且m≠－6
7.若关于x的分式方程－1＝的解是正数，则m的取值范围是( )
A.m<4且m≠3 B.m<4
C.m≤4且m≠3 D.m>5且m≠6
8.已知，关于x的分式方程－＝1.
(1)当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
(2)当a＝1时，求b为何值时分式方程－＝1无解；
(3)若a＝3b，且a，b为正整数，当分式方程－＝1的解为整数时，求b的值.

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