资源简介

类型一 角平分线＋垂直一边
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为( B )
第1题图
A.2 B.4
C.6 D.8
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线.若CD＝，则BD的长为( C )
第2题图
A. B.3
C.2 D.3
3.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12，则DE的长为( B )
第3题图
A.4 B.5
C.10 D.28
类型二 角平分线＋垂线
4.如图，△ABC的面积为16 cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积为( B )
第4题图
A.7 cm2 B.8 cm2
C.9 cm2 D.10 cm2
5.如图，点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝10，BC＝6，则CD的长度为( B )
第5题图
A.4 B.4
C.5 D.3
类型三 角平分线＋平行线
6.如图，∠AOB＝60°，OA＝4 cm，利用直尺和圆规按如下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交射线OB于点N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧交于点C，画射线OC；③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交射线OC于点D，画直线AD.则线段OD的长为4cm.
第6题图
7.[2023秋·海安市期末]如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N.若AB＝5，AC＝7.
(1)求∠BOC的度数；
(2)求△AMN的周长.
第7题图
解：(1)∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝90°－∠A，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝90°＋∠A＝90°＋40°＝130°；
(2)∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴MO＝BM，
同理，得NO＝NC，
∴AM＋MN＋AN＝AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋BM＋AN＋NC＝AB＋AC，
∵AB＝5，AC＝7，
∴AB＋AC＝12，
∴△AMN的周长＝AB＋AC＝12.
类型四 角平分线＋角平分线
第8题图
8.如图，已知在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为30°.
9.[2024春·碑林区期末]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝15.点P是△ABC三个内角平分线的交点且PD⊥BC于点D，则线段PD的长是3.
第9题图
类型五 角平分线中的最值问题
10.[2024春·来宾期末]如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，OP＝12 cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为6cm.
第10题图
11.[2023秋·滕州市期中]如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝75°，AD，BE为高.点M，N分别为AB，AD上的动点，那么MN＋BN的最小值为1.
第11题图
类型六 角平分线＋对角互补
12.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，试说明：
(1)△CBE≌△CDF；
(2)AB＋DF＝AF.
第12题图
证明：(1)∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，∠CEB＝∠CFD.
∵∠ABC＋∠D＝180°，
∠ABC＋∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝∠D.
在△CBE与△CDF中，
∴△CBE≌△CDF(AAS)；
(2)在Rt△ACE与Rt△ACF中，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，
∴AE＝AF，
∴AB＋DF＝AB＋BE＝AE＝AF.
13.[2023春·平顶山期中]在“图形与几何”的学习中，我们遇到这样一个题目：“如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD，求证：∠B＋∠ADC＝180°.”结合学过的知识，可以分析如下：首先根据角平分线的性质构造相等线段，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决.请根据上述的思路，完成题目的证明.
第13题图
证明：分别过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥AD交AD的延长线于点N，
∵AC平分∠BAD，∴CM＝CN，
∵BC＝CD，
第13题图
∴Rt△BCM≌Rt△DCN(HL)，
∴∠B＝∠CDN，
∵∠CDN＋∠ADC＝180°，
∴∠B＋∠ADC＝180°.类型一 角平分线＋垂直一边
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为( )
第1题图
A.2 B.4
C.6 D.8
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线.若CD＝，则BD的长为( )
第2题图
A. B.3
C.2 D.3
3.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12，则DE的长为( )
第3题图
A.4 B.5
C.10 D.28
类型二 角平分线＋垂线
4.如图，△ABC的面积为16 cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积为( )
第4题图
A.7 cm2 B.8 cm2
C.9 cm2 D.10 cm2
5.如图，点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝10，BC＝6，则CD的长度为( )
第5题图
A.4 B.4
C.5 D.3
类型三 角平分线＋平行线
6.如图，∠AOB＝60°，OA＝4 cm，利用直尺和圆规按如下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交射线OB于点N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧交于点C，画射线OC；③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交射线OC于点D，画直线AD.则线段OD的长为 cm.
第6题图
7.[2023秋·海安市期末]如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N.若AB＝5，AC＝7.
(1)求∠BOC的度数；
(2)求△AMN的周长.
第7题图
类型四 角平分线＋角平分线
第8题图
8.如图，已知在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为 .
9.[2024春·碑林区期末]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝15.点P是△ABC三个内角平分线的交点且PD⊥BC于点D，则线段PD的长是 .
第9题图
类型五 角平分线中的最值问题
10.[2024春·来宾期末]如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，OP＝12 cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm.
第10题图
11.[2023秋·滕州市期中]如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝75°，AD，BE为高.点M，N分别为AB，AD上的动点，那么MN＋BN的最小值为 .
第11题图
类型六 角平分线＋对角互补
12.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，试说明：
(1)△CBE≌△CDF；
(2)AB＋DF＝AF.
第12题图
13.[2023春·平顶山期中]在“图形与几何”的学习中，我们遇到这样一个题目：“如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD，求证：∠B＋∠ADC＝180°.”结合学过的知识，可以分析如下：首先根据角平分线的性质构造相等线段，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决.请根据上述的思路，完成题目的证明.
第13题图

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