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河北省保定市保定中学2024 2025学年高一下学期三月考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1或2 B．或0 C．1 D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．若、都有恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（ ）
A．9 B．6 C． D．5
8．设为正实数，若，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值为2
B．已知正实数满足，则的最大值为
C．已知正实数满足，则的最小值为8
D．设为实数，若，则的最大值为
11．已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知全集，集合或，则 .
13．已知，，，则的取值范围为 .
14．若不等式对一切正实数，，恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立．
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若有且只有一个为真，求实数的取值范围．
16．如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？
17．已知关于的不等式的解集为，其中．
(1)若，求的值；
(2)求不等式的解集.
18．已知关于的不等式的解集为，集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
19．已知集合，．
(1)若集合，求此时实数的值；
(2)已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题设，可得或，
当时，，满足题设；
当时，，不符合集合元素的互异性；
所以.
故选C.
2．【答案】C
【详解】量词命题的否定规则为：改量词，否结论，
所以“，”的否定是，.
故选C.
3．【答案】D
【详解】集合；
，.
.
则实数的取值范围是.
故选D.
4．【答案】C
【详解】对A：若，，则有，，
此时，故A错误；
对B：若，，则有，，
此时，故B错误；
对C：，
由，故，，，故，
即，故C正确；
对D：若，，则，，
此时，故D错误.
故选C.
5．【答案】D
【详解】当时，恒成立，则；
当时，，解得，
所以实数的取值范围为.
故选D.
6．【答案】A
【详解】显然不满足等式，所以，，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错；
，
当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错.
故选A.
7．【答案】D
【详解】关于x的不等式在区间上有解，
等价于在区间上有解，即在区间上有解，
又，当且仅当时，取最小值6.
故，可得.
故选D.
8．【答案】A
【详解】由，得，
由，且为正实数，所以，
于是，故，
所以，所以，
解得.
故选A.
9．【答案】ACD
【详解】根据题意:
，
，
，又，，
，
对A，，则，
当且仅当且，即时等号成立，A正确；
对B，，
当且仅当且，即时等号成立，B错误；
对C，由，又，
故，所以，当且仅当时等号成立，C正确；
对D，，
当且仅当且，即时等号成立，D正确.
故选ACD.
10．【答案】BD
【详解】对于A，由，
其中取等号条件为：，此时无解，故等号不成立，所以A错误；
对于B，因为，所以，
即，所以，
所以恒成立，
则，
取等号条件：，又由，可得，，
即等号条件成立，此时有，故B正确；
对于C，由，
由于，且，可得，
利用反比例函数单调性可知在上递增，
利用复合函数单调性思想，结合指数函数单调性可判断在上递增，
所以，即无最小值，故C错误；
对于D,由
，
即，
当且仅当时等号成立，即能取到最大值，故D正确；
故选BD．
11．【答案】ABC
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以和为关于的方程的两根且，
所以，所以，所以，故A正确；
又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号，
所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确；
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为，故D错误.
故选ABC.
12．【答案】或
【详解】在数轴上表示出全集,集合,
根据补集的概念可知或.
13．【答案】
【详解】，，
解得，
则，
，，
，，
，
即，
的取值范围为.
14．【答案】
【详解】由不等式对一切正实数，，恒成立可得,恒成立，
令，
当且仅当时，等号成立，此时的最小值为2；
因此可得即可，
所以实数的取值范围是.
15．【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）当时，的最小值为，
由为真命题，即对任意，不等式恒成立，
得，解得，
所以的取值范围.
（2）当时，，当且仅当时取等号，
由为真命题，即存在，使得不等式成立，
得，解得，即，由（1）知，
而有且只有一个为真，则当真假时，，解得；
当假真时，或，解得，
所以的取值范围为或.
16．【答案】(1)
(2)海报长，宽时，用纸量最少
【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，
，
整理得.
（2）由（1）知，即，
，由基本不等式可得，
令，则，
解得（舍去）或.
，当且仅当，即时等号成立，
∴海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为.
17．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，关于的方程的两根为，
由韦达定理可得，解得.
（2）原不等式可化为.
当时，原不等式为，解得，；
当时，方程的根为，，
当时，不等式可化为，解得或，
；
当，即时，原不等式为，；
当，即时，不等式可化为，解得，；
当，即时，不等式可化为，解得，.
综上所述，当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，1和是方程的两个实数根，且，
得，解得，
是的充分不必要条件，
是的真子集，而
，解得
故的取值范围为
（2）由（1）可得：，
所以，当且仅当时，
取得最小值为，此时.
依题意有，即，
整理得，解得
所以的取值范围为.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以、为关于的方程的两根，
所以，解得；
（2）由，即，解得，
所以，
由命题，命题且是的充分条件，
所以，
由，可得，
当时，解得，即，所以（等号不同时取到），解得；
当时，解得，即，显然不符合题意；
当时，解得，即，所以（等号不同时取到），解得；
综上可得实数的取值范围为.

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