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邯郸市2024-2025学年第二学期高一3月月考
数学试卷
一、单选题
1．若，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．
2．如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影向量坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
6．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．长方体是直四棱柱
C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台；
D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面．
10．已知为复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则为纯虚数
D．若，则的最小值为1
11．已知中，所对的边分别为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．为等腰三角形 B．
C．的面积是 D．的周长是
三、填空题
12．若i是关于的实系数方程的一个复数根，则 .
13．在中，若，，三角形的面积，则外接圆的直径为 ．
14．在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为 ．
四、解答题
15．（1）在中，已知，，．求．
（2）在中，已知，，．求．
（3）锐角中，角所对应的边分别为，，，，求；
16．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．
(1)求实数的值；
(2)若，，求的坐标；
(3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
17．在中，内角的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，且这样的有两解，求的取值范围．
18．在中，角所对的边分别为.
(1)若，求的面积S；
(2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
19．三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花!
(1)如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值.
(2)如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值.
邯郸市2024-2025学年第二学期高一3月月考
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B B A D B BD ABD
题号 11
答案 AC
1．A【详解】因为，则，解得.
故选：A.
2．C
【详解】∵ ，
∴.
故选：C.
3．D
【详解】由，且，则，
所以.
故选：D
4．B
【详解】首先，向量的坐标为(2, 0)，其模长为2，因此，
根据条件，即它们的数量积为零：
展开数量积：,即：
因此：,代入已知条件：
因此，在方向上的投影向量坐标为(2, 0)，
故选：B.
5．B
【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，，
故的面积为，
故选：B．
6．A
【详解】充分性：若，则；
必要性：若则，
则，得，或，故不满足必要性
综上“”是“”充分不必要条件，
故选：A
7．D
【详解】因为与均为单位向量，其夹角为，
由，可得，所以，
所以，所以，
由，，所以，
所以，所以，
所以，又，所以，
所以的取值范围是.
故选：D.
8．B
【详解】正十二面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，
所以正十二面体在各顶点的曲率为，
由于正十二面体有20个顶点，故其总曲率为.
故选：B
9．BD
【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误；
对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确；
对于C，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥，
圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故C错误；
对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确．
故选：BD
10．ABD
【详解】A选项，因为，
所以，故A正确；
B选项，设，，则，
又，，
所以成立，故B正确；
C选项，当时，有成立，但此时为实数，故C错误；
D选项，设，，由于，则，即，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，故D正确．
故选：ABD
11．AC
【详解】由正弦定理，知，
又，则，
将代入，得，
，
又，当且仅当时，等号成立．
因为为三角形的内角，所以，
可得，故A正确，B错误．
又由正弦定理知，则三角形的面积，周长为，故C正确，D错误．
故选：AC
12．
【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以是关于的实系数方程的另一个复数根，
因此
故答案为：
13．
【详解】根据题意可得，解得；
则，即；
所以外接圆的直径为.
故答案为：
14．
【详解】过作交于点，根据投影向量的概念可得，
设，所以，
当与半圆相切时，取得最大值，此时最大，
过作交于点，连接，
当取得最大值时，且，
因为，正方形边长为4，则，，
所以，
所以，
则，所以，
得，所以的最大值为.
所以最大值为.
故答案为：24.
15．（1）； （2）； （3）
【详解】（1）在中，由余弦定理，
可得，所以；
（2）在中，由正弦定理得，
因此.
（3）在中，由正弦定理得，即，解得，
又为锐角三角形，所以，
所以
.
16．(1) (2) (3)
【详解】（1）因为，，
所以，
因为三点共线，所以存在实数使得，即，
又因为是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得.
（2）由（1）可知，，
所以，
若，，则.
（3）由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得，
设，则，由（2）得，
所以，解得，
所以.
17．(1) (2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，，
因为，所以．
（2）由正弦定理得，
所以，所以，
因为，所以，
因为这样的有两解，即关于的三角方程在时有两解，
所以，所以．
18．(1)
(2)
【详解】（1）由，
得.
由正弦定理得.
所以，
因为，所以.
在中，，
由余弦定理，
得，解得.
所以.
即的面积S为.
（2）因为为角C平分线，，所以.
在中，，
所以，
由，得，所以.
因为，所以由基本不等式，得，
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
19．(1)
(2)
【详解】（1）设，则，，
又，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
（2）因为
，
又点分所成的比为，即，所以，
则，
设，则，
当或时，
当时
，当且仅当，即时取等号．
即的最小值为．

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