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湖南省株洲市南方中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复平面内表示复数的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，则角A的大小为（ ）
A． B．或 C． D．或
5．若a＞0，b＞0，，则2a＋b的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
6．已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．对任意的函数，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有6个不等实根，则实数的取值范围是（ ）
A．(3,5) B．(3,4) C．[3,4] D．[3,5]
二、多选题（本大题共3小题）
9．向量满足：，，，则向量在向量上的投影向量的模的可能值是（ ）
A．1 B． C． D．2
10．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，为点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．为异面直线
C．
D．
11．如图所示，已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当点P与A，B两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形
B．平面截正方体所得的截面可能是三角形
C．一定是锐角三角形
D．面积的最大值是
三、填空题（本大题共3小题）
12． .
13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ．
14．已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知平面向量满足与的夹角为．
(1)求；
(2)当实数为何值时，．
16．设函数．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)当时，求函数的最大值及此时的值．
17．如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，M，N分别为，的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边上的点，.
(1)求的大小；
(2)若，，求BC的长.
19．设，我们常用来表示不超过的最大整数.如：.
(1)求证：；
(2)解方程：；
(3)已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】ACD
10．【答案】BC
11．【答案】AD
12．【答案】/
13．【答案】/0.6875
14．【答案】
15．（1）因为与的夹角为，
所以，
所以
.
（2）因为，
所以
，
化为，解得.
16．（1）
所以的最小正周期为，
由，
所以函数的单调递增区间为；
（2）当时，，
所以当时，即当时，函数有最大值.
17．（1）记的中点为，连结，如图，
又为的中点，所以，
因为四边形为矩形，所以，
所以，又是的中点，则，
所以四边形是平行四边形，则，
又平面平面，所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，
又，所以，则，
又平面，平面，则，
而，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又平面，所以平面，
又，所以平面，
又平面，平面平面.
18．（1）由正弦定理以及已知可得，，
整理可得，.
由余弦定理可得，.
又，所以.
（2）
在中，由余弦定理可得，.
在中，由余弦定理可得，.
又，所以，
即，整理可得.
因为，
在中，由余弦定理可得，，
即，
整理可得，.
联立可得.
所以，.
19．（1）设，
若，则，，
故，而，，故.
若，则，，
故，而，，故.
综上，.
（2）因为，故，
因为，故，故，故，
若，则，又，故符合；
若，则，故，又，不符合，均舍；
若，则，故，又，故符合；
若，则，故，又，故符合；
综上，或或.
（3）,
当时，，故，故
因为对，使不等式成立，
故在上恒成立，
故在上恒成立，而在上恒成立，
故在上恒成立，
设，，
因为在上均为增函数，故，为增函数，
故，
设，
设，
则，
而，故，故，
即，故为减函数，
故，故.

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