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吉林省通化市三校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，在上的投影为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
4．在中，内角所对的边分别为，若，则其最大角为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．在平行四边形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．的共轭复数为 B．
C．为实数 D．在复平面内对应的点在第一象限
10．在中，，则的面积可以是（ ）
A． B．1 C． D．
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则只有一解
C．若，则为直角三角形
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，则与向量平行的单位向量为 .
13．圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为 ．
14．若△ABC的内角满足，则的最小值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数满足，．
(1)求复数；
(2)求复数的实部和虚部．
16．已知向量，且.
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
17．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.

(1)这种“浮球”的体积是多少
(2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？
18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
19．在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）设的外接圆圆心为，且满足，求的值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】，
故选：D.
2．【答案】C
【详解】因为，在上的投影为，可得，所以.
故选：C.
3．【答案】A
【详解】因为，所以三点共线，
故选：A．
4．【答案】C
【详解】设，则，，
，最大，
，，.
故选：C.
5．【答案】D
【解析】由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解.
【详解】由直观图可得，在中，，且，
所以，
所以的周长为.
故选：D.
6．【答案】B
【详解】∵，
∴由余弦定理可得：,
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故选:B
7．【答案】C
【详解】由题意知.
故选：C.
8．【答案】C
【详解】
，，
.
故选：C.
9．【答案】BD
【详解】对于A,故A错误，
对于B，则，故，故B正确，
对于C，为虚数，故C错误，
对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确，
故选：BD
10．【答案】AD
【详解】解：∵，
由余弦定理得，
∴，
∴，或，
∴由的面积公式得或，
故选：AD．
11．【答案】AD
【详解】对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确；
对于B选项，由，可知ABC有两解，可知B选项错误；
对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误；
对于D选项，若ABC为锐角三角形或直角三角形，有；若ABC为钝角三角形，不妨设C为钝角，有，，，有，可知D选项正确．
故选：AD．
12．【答案】或
【详解】因为，所以，所以与向量平行的单位向量为或.
故答案为：或
13．【答案】
【详解】因为圆柱的底面圆的半径为5、高为8，所以圆柱底面圆的周长为，
所以该圆柱的表面积为．
故答案为：
14．【答案】
【详解】试题分析：由正弦定理有,所以,,由于,故,所以的最小值是.
考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.
【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把化为，再由余弦定理推论求出的表达式，还用到用均值不等式求出，再算出结果来.
15．【答案】(1)
(2)复数的实部为，虚部为.
【详解】（1）设复数，则，由，解得：.
再由， ，解得：，故复数.
（2）因为，，，复数的实部为，虚部为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，解得.
故的值为3.
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
所以.
故与的夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)
(2)克
【详解】（1）该半球的直径，“浮球”的圆柱筒直径也是，，
两个半球的体积之和为，
又，
该“浮球”的体积是.
（2）上下两个半球的表面积，
“浮球”的圆柱筒侧面积为，
个“浮球”的表面积为，
个“浮球”的表面积的和为，
每平方厘米需要涂胶克，共需要胶的质量为（克）.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）因为，所以．
因为D是线段AC的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以
,
又为锐角三角形，所以，解得，所以，
即，则，所以，
即，则BD的长的取值范围是．
19．【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为、，则，，，故；
（2），可得，则，
，
，
，
因为，
所以，，
因此，；
（3）取的中点，则，如下图所示：
，同理可得，
设的外接圆半径为，
因为，故，
即，即，
则有，
整理可得.

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