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江苏省盐城市阜宁县（部分校）2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（A卷）
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是（ ）
A．±1 B．±i
C．±i D．±2i
2．cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为（ ）
A． B．－
C． D．－
3．在三角形中，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
5．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）
A． B． C．－1 D．－1
7．化简值为（ ）
A． B． C． D．
8．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则．
B．若，，则三角形有一解．
C．若，则一定为等腰直角三角形．
D．若面积为，，则．
11．已知是所在平面内一点，以下说法正确的是（ ）
A．若动点满足，则点的轨迹一定通过的重心．
B．若点满足，则点是的垂心．
C．若为的外心，且，则是的内心．
D．若，则点为的外心
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为虚数单位，则复数的模为 .
13．设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 .
14．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知平面向量
(1)若，求x的值：
(2)若，求
16．已知复数和它的共轭复数满足．
(1)求z；
(2)若z是关于x的方程的一个根，求复数的模．
17．平行四边形ABCD中，，求：
(1)的值；
(2).
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求B；
(2)若，求的面积的最大值.
19．已知向量，函数，．
(1)当时，求的值；
(2)若的最小值为﹣1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
1．【答案】C
【详解】.
故选：C
2．【答案】A
【详解】原式＝－cos 115°cos 20°＋sin 115°sin 20°
＝cos 65°·cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)＝cos 45°＝.
故选：A
3．【答案】A
【详解】试题分析：，选A
考点：余弦定理
4．【答案】B
【详解】因为 是平面内所有向量的一组基底，则 不共线，
对于选项A：若、共线，则，
可得，无解，
所以、不共线，可以作为基底向量，故A错误；
对于选项B：因为，
可知和共线，不能作为基底向量，故B正确；
对于选项C：若、共线，则，
可得，无解，
所以、不共线，可以作为基底向量，故C错误；
对于选项D：若、共线，则，
可得，无解，
所以、不共线，可以作为基底向量，故D错误；
故选：B.
5．【答案】A
【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A.
6．【答案】C
【详解】在ABC中，由正弦定理得，
∴AC＝100．
在ADC中，，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝.
故选：C
7．【答案】B
【详解】
.
故选：B
8．【答案】C
【详解】解:因为，,
所以,
所以
故选:C
9．【答案】BD
【详解】由题意， ，A错误；
，，所以B正确，C错误；
，D正确.
故选：BD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，由正弦定理得，因为，所以，则，故A正确；
对于B，因为，，由正弦定理得，
则，因为，所以，则，所以只有一解，则三角形只有一解，故B正确；
对于C，因为，所以，即，
又，所以，
所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为面积为，，又，
所以，
所以，显然，则，因为，所以，故D正确．
故选：ABD．
11．【答案】AD
【详解】对于选项A：由正弦定理得（为外接圆半径），设的中点为，则由条件可得，所以与共线，因为是中线，所以点的轨迹一定通过的重心. 故A正确；
对于选项B：由得，则是的角平分线；同理，由得是的角平分线，所以点是的内心. 故B错误；
对于选项C：设的中点为点，由得，所以，由是外心可得，所以，所以；同理，，所以点是的垂心. 故C错误；
对于选项D：由得，则，即，同理，由得，故点是的外心. 故D正确.
故选：AD.
12．【答案】
【详解】因为，
所以复数的模为.
故答案为：
13．【答案】
【详解】因为的夹角为钝角，则且不共线，
可得，解得且，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】令，
若关于的不等式的解集为，
等价于若关于的不等式的解集为，
即关于的不等式的解集为，
若，可知函数的对称轴为，开口向上，
所以函数图象如图所示：

当时，，当时，，即
最小值为时，，
所以，解得，即.
故答案为：
15．【答案】(1)或
(2)或
【详解】（1），
，
解得或；
（2），
，即解得或，
当时，，，；
当时，，，，
或.
16．【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）解：设，则，
所以，
所以，即，所以；
（2）解：将代入已知方程可得，
即，整理可得，
所以，解得，
所以，又，
故复数的模为1．
17．【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）由题意可得：，且，
所以=.
（2）由（1）可知：，，
则，
所以.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
即，
整理得，
又，所以，所以，
即，又，
所以，即.
（2）在中，由余弦定理可得
，
所以，当且仅当时取等号，
所以，故的面积的最大值为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）
，
当时，，
则；
（2）∵，
∴，
∴，
则，
令，则，
则，对称轴，
①当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
②当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去），
③当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
综上：若的最小值为﹣1，则实数．
（3）令，得或，
∴方程或在上有四个不同的实根，
则，解得，则，
即实数m的取值范围是．

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