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模型48 勾股定理之垂美四边形
1.如图，在菱形ABCD中，下列式子可以求出菱形ABCD面积的是( )
A. AE·BC B. AF·CD
C. AC·BD D. BC·DG
2. 如图, AC, BD是四边形ABCD的对角线, 点 E, F分别是AD, BC的中点, 点 M,N分别是AC,BD的中点, 连接EM, MF, NE,NF，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是 ()
A. AB=CD, AB⊥CD
B. AB=CD, AD=BC
C. AB=CD, AD⊥BD
D. AB=CD, AD∥BC
3. 如图,在四边形ABCD中, AC⊥BD,BD=16, AC=30, E, F分别为AB,CD的中点, 则EF= ( )
A.15 B.16 C.17 D.8
4. 如图, 在四边形ABCD中, AC⊥BD, 若AC+BD=12, 则四边形ABCD 面积的最大值为 ( )
A.6 B.18 C.36 D.144
5. 如图1, 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解：如图2，在四边形 ABCD 中, AB=AD, CB=CD,问四边形ABCD 是垂美四边形吗 请说明理由.
(2)性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC, BD交于点O.猜想: 与 有什么关系 并证明你的猜想.
(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB 的直角边AC和斜边 AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE, 连接CE, BG, GE.已知AC=4, AB=5, 求GE的长.
6.一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图1所示的位置摆放(点E，A，D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG.
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
(1)将正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转(如图2)，还能得到BE=DG吗 若能，请给出证明；若不能，请说明理由.
(2)把背景中的两个正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD, 将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图3)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立 请说明理由.
(3)把背景中的两个正方形分别改成矩形 AEFG和矩形ABCD, 且 将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图4) , 连接DE, BE,DG, BG.
试求 的值(用a,b表示).
1. D 解析: ∵四边形ABCD是菱形, 由题意可知，S菱形ABCD=BC·AE=AF·CD=BC·DG.故选D.
2. A 解析: ∵点E, F分别是AD, BC的中点, 点M, N分别是AC, BD的中点,∴ EN, NF, FM, ME分别是△ABD,△BCD, △ABC, △ACD的中位线,∴ EN∥AB ∥ FM, ME∥CD ∥NF, ∴ 四边形 EMFN 为平行四边形， 当AB=CD时, EN=FM=ME=NF, ∴平行四边形 EMFN是菱形, 当 AB⊥CD 时,EN⊥ME, 则∠MEN=90°, ∴菱形 EMFN是正方形， 故选 A.
3. C 解析: 如图,取 BC的中点 P,连接PE, PF,∵E,P分别为AB,BC的中点,∴ EP是△ABC的中位线, 15,EP∥AC, ∴∠BPE=∠BCA,同理可得,FP= BD =8,FP∥BD,∴∠CPF=∠CBD,∵ AC⊥BD, ∴ ∠BCA+∠CBD=90°,∴ ∠BPE+∠CPF=90°, ∴ ∠EPF=90°, 故选C.
4. B 解析: 设AC=x, 则BD=12-x, 则四边形ABCD的面积 180 中考数学几何模型决胜88招 · 全练版 ∴当x=6时，四边形ABCD的面积最大，最大值是 18.故选B.
5.解析： (1)四边形ABCD是垂美四边形.理由如下: 如图1, 连接AC, BD,
∵AB=AD,
∴点A 在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD,
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴ AC⊥BD, 即四边形 ABCD 是垂美四边形.
证明如下：
∵ AC⊥BD,
∴ ∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得，
(3) 如图2, 连接CG, BE, 设CE交AB 于点M, CE交BG于点 N.
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴ AG=AC, AB=AE, ∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE, 在△GAB和△CAE中,
∴△GAB≌△CAE(SAS),
∴∠ABG=∠AEC.
∵∠AEC+∠AME=90°,
∴ ∠ABG+∠AME=90°,
∵∠AME=∠BMN,
∴∠ABG+∠BMN=90°, ∴∠BNM=90°,即CE⊥BG,
∴四边形CGEB 是垂美四边形，由(2)得,
∵AC=4, AB=5,
6. 解析: (1)能得到 BE=DG.证明如下:
∵四边形AEFG为正方形，
∴AE=AG, ∠EAG=90°,
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD, ∠BAD=90°,
∴∠EAB=∠GAD,
∴△AEB≌△AGD(SAS),
∴BE=DG.
(2) 当 ∠EAG=∠BAD时, BE=DG.
理由如下：
∵ ∠EAG=∠BAD, ∴∠EAB=∠GAD,
又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，
∴ AE=AG, AB=AD,
∴△AEB≌△AGD(SAS),
∴BE=DG.
如图, 设BE与 DG 交于Q, BE与AG 交于点 P, AB与DG交于点 H,
∴ AG=3a, AD=3b.
∠EAB=∠GAD=90°+∠GAB,
∴△EAB ∽△GAD,
∴∠EBA=∠GDA,又∵∠AHD=∠QHB,
∴ ∠BQH=90°, ∴ GD⊥EB,
连接EG, BD,

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