资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
模型37 全等辅助线之截长补短
跟踪练习
1. 如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC,点E为CD上一点, AE, BE分别平分∠DAB, ∠CBA.
(1) 求证: AE⊥BE;
(2)求证: AB=AD+BC;
(3) 若AE=4, BE=6, 则四边形ABCD 的面积为 . (直接写出结果)
2. 阅读理解：
【问题情境】钱老师给“数学小达人”小明和小军提出这样一个问题：如图1, △ABC中, ∠B=2∠C, AD是∠BAC 的平分线. 求证: AB+BD=AC.
【证明思路】小明的证明思路是：如图2, 在AC上截取AE=AB, 连接DE……
小军的证明思路是：如图3，延长CB 至点 E, 使BE=AB, 连接AE.可以证得, AE=DE……
请你从他们的思路中，任意选择一种思路继续完成下一步的证明.
【变式探究】如图4，钱老师把“AD是∠BAC 的平分线”改成“AD是BC边上的高”，其他条件不变，那么AB+BD=AC还成立吗 若成立，请证明；若不成立，写出正确的结论，并说明理由.
【迁移拓展】如图5, △ABC中,∠B=2∠C.求证:
3.在解几何题时，可以用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题.请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中, ∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD, 若AC=5cm, 求四边形ABCD的面积.
解题思路：如图1，延长线段CB到点 E, 使得BE=CD, 连接AE, 我们可以证明△BAE≌△DAC, 根据全等三角形的性质得AE=AC=5，∠EAB=∠CAD, 则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°, 得S四 边 形. 这样， 四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC的面积.
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm .
(2)如图2, 在△ABC中, ∠ACB=90°, 且AC+BC=4, 求线段AB长的最小值.
(3)如图3, 在平行四边形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O，且∠BOC=60°, AC+BD=10, 则AD
的长是否为定值 若是，求出定值；若不是，求出AD长的最小值及此时平行四边形ABCD的面积.
1. 解析: (1) 证明: ∵AD∥BC,
∴ ∠BAD+∠ABC=180°.
∵ AE, BE分别平分∠DAB, ∠CBA,
∴ ∠BAE+∠ABE=90°, ∴∠BEA=90°,
∴ AE⊥BE.
(2)证明： 方法一： 如图1， 在AB上截取AF=AD, 连接EF,
在△ADE和△AFE中, AD=AF, ∠DAE=∠FAE, AE=AE, ∴△ADE≌△AFE(SAS),
∴∠ADE=∠AFE.
∵AD∥BC, ∴∠ADE+∠BCE=180°.
又∵∠AFE+∠BFE=180°,
∴∠BCE=∠BFE.
又∵∠ABE=∠CBE, BE=BE,
∴△BFE≌△BCE(AAS),
∴ BF=BC,
∴ AB=AF+BF=AD+BC.
方法二：如图2，延长AE，BC交于点F，
∵ AD∥BC, ∴∠DAE=∠F,
又∵ ∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠F,
∴ AB=BF,
由(1) 知BE⊥AE, ∴AE=EF,
又∵ ∠AED=∠CEF,
∴△ADE≌△FCE(ASA), ∴AD=CF,
∴ AB=BF=BC+CF=BC+AD.
(3)24 提示: 在图2中, ∵AE=4,
∴ EF=4, AF=2AE=8.
∵△ADE≌△FCE, ∴ S△ADE=S△FCE,
2.解析： 【证明思路】
小明的证明思路：
如图1, 在AC上截取AE=AB, 连接DE.
∵ AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠EAD.
在△ABD和△AED中,
∴ BD=DE, ∠ABD=∠AED.
∵∠AED=∠EDC+∠C, ∠B=2∠C,
∴ ∠EDC=∠C, ∴ DE=EC, ∴BD=CE,
∴ AB+BD=AE+EC=AC.
小军的证明思路：
如图2, 延长CB至点E, 使BE=AB,连接AE, 则∠E=∠BAE.
∵∠ABC=∠E+∠BAE, ∴∠ABC=2∠E.
∵∠ABC=2∠C, ∴∠E=∠C, ∴AE=AC,
∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠BAD=∠DAC.
∵∠ADE=∠DAC+∠C, ∠DAE=∠BAD+∠BAE,
∴∠ADE=∠DAE,∴EA=ED,∴ED=AC,
∴ AB+BD=ED=AC.
(任选其一作答即可)
【变式探究】
AB+BD=AC 不成立, 正确的结论:
AB+BD=CD.理由如下:
如图3, 在CD上截取DE=DB, 连接AE,
∵ AD⊥BC, ∴AD是BE的中垂线,
∴AE=AB, ∴ ∠B=∠AED.
∵∠AED=∠C+∠CAE, ∠B=2∠C,
∴∠C=∠CAE, ∴AE=EC,
∴ EC=AB, ∴ AB+BD=CE+DE=CD.
【迁移拓展】
证明: 如图4, 过点A作AD⊥BC于点D.由勾股定理得， AD ,
(CD-BD)=BC(CD-BD).
由【变式探究】得知AB+BD=CD,
∴ CD-BD=AB,
3. 解析: (1)12.5 提示: 由题意可得AE=AC=5, ∠EAC=90°,
则△EAC的面积为
即四边形ABCD的面积为 12.5cm .
(2) ∵AC+BC=4, ∴BC=4-AC.
∵∠ACB=90°,
∴当AC=2时, AB的长取最小值2
(3)AD 的长不是定值，AD长的最小值为 ，此时平行四边形ABCD的面积为
如图, 过点B作BH⊥AC于点H,
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AO=CO, BO=DO, AD=BC.
∵AC+BD=10, ∴ BO+CO=5,
∴CO=5-BO.
∵∠BOC=60°, BH⊥AC,
· /ORH=30°
∴当 时，BC的长取最小值 即AD长的最小值为
此时
又∵∠BOC=60°,
∴△BOC是等边三角形，

展开更多......

收起↑