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模型40 正方形半角模型
跟踪练习
1.如图, 正方形ABCD 的边长为4,点 E, F分别在AB, AD上, 若 且∠ECF=45°, 则 CF的长为 ( )
C.2
2.如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF 交 CD 于点 F, 连接EF, 将△ADF绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG. 若 DF = 3, 则 BE的长为 .
3.如图， 四边形ABCD 是正方形，点E, F分别在边AD和CD上,∠EBF=45°. 将△BCF绕点 B 逆时针旋转90°，点 C 落在了点 A 的位置，点F落在了点 G的位置.
(1) 求∠GBE的度数;
(2)点 E,A,G是否在同一条直线上 并说明理由.
(3) 若将△GBE沿直线BE折叠后是否与△FBE完全重合 并说明理由.
(4) 直接写出线段EF, AE, CF之间的数量关系式.
4. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上(不与A,D重合),点F在边 CD上, 且∠EBF=45°,若△ABE的外接圆⊙O与CD边相切，求⊙O的半径.
5. 如图，在正方形 ABCD 中, E, F分别是BC,CD上的点, 且∠EAF=45°, AE,AF分别交BD于点 M, N, 连接EN, EF. 给出以下结论: ①△AMN∽△BME; ②AN=EN;③BE+DF=EF;④当AE=AF时, 则正确的结论有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.(1)问题情境：如图，在正方形ABCD中，AB=6, 点E为射线BC上一动点,将△ABE沿AE 所在直线翻折，得到△AFE, 延长EF, 射线EF与射线CD交于点 G, 连接AG.
①当点 E 在线段BC上时，求证：DG=FG;
②当CE=3时,则CG的长为 .
(2)思维深化: 在△ABC中,∠BAC=45°, AD为BC边上的高,且 请直接写出AD的长.
跟踪练习
1. A 解析: 如图, 连接EF, 把△FCD绕点C逆时针旋转90°得△F'CB, 此时E,B, F'三点共线, 则△CBF≌△CDF,∴ DF= BF', CF=CF', ∵ ∠FCF'=90°,∠ECF=45°, ∴ ∠ECF=∠ECF'=45°,又 ∵ CE=CE, CF=CF', ∴△CEF ≌△CEF'(SAS),∴EF=EF'.在Rt△EBC中, ∴ AE=AB-BE=2. 设DF=x, 则 AF=4-x. ∵ DF=BF', ∴EF=EF'=BE+BF'=2+x, 在 Rt△AEF 中, 解得 即 DF= 在 Rt△CDF 中,DF= , CD=4, 故选 A.
2. 2 解析: 由题意可得, △ADF≌△ABG,∴AF=AG,DF=BG,∠DAF=∠BAG,∵∠DAB=90°, ∠EAF=45°, ∴∠DAF+∠EAB=45°, ∴∠EAG=∠BAG+∠EAB=45°, ∴∠EAF=∠EAG,在△EAG 和△EAF 中, AG=AF,∠EAG=∠EAF, AE=AE, ∴△EAG ≌△EAF(SAS) , ∴ GE=FE.设 BE=x,则 GE=BG+BE= 3+x, CE=6-x,∴EF=3+x.∵CD=6, DF=3, ∴ CF=3,在Rt△CEF中， 由勾股定理得 解得x=2, 即BE=2.
3. 解析: (1) ∵将△BCF绕点B 逆时针旋转90°得到△BAG, ∴∠FBG=90°,又∵∠EBF=45°,
∴ ∠GBE=∠FBG-∠EBF=90°-45°=45°.
(2)G，A，E三点在同一条直线上， 理由如下：
∵将△BCF绕点 B 逆时针旋转90°得到△BAG, ∴∠C=∠GAB=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ∠C=∠BAD=90°,
∴ G，A， E三点在同一条直线上.
(3) 将△GBE 沿直线 BE 折叠后与△FBE完全重合.理由如下：
∵ G，A， E三点在同一直线上，
∴ EG=AE+AG.
由(1)知∠GBE=45°,
∵ ∠EBF=45°, ∴ ∠GBE=∠EBF.
在△GBE和△FBE中,
∴△GBE≌△FBE(SAS),
∴将△GBE 沿直线BE 折叠后与△FBE完全重合.
(4) EF=AE+CF 提示:
∵△GBE≌△FBE, ∴GE=EF,
∵将△BCF绕点 B 逆时针旋转90°得到△BAG, ∴CF=AG,
由(3)知EG=AE+AG,
∴EF=AE+CF.
4. 解析: 将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP, 过点B作BQ⊥EF于点Q, 设⊙O与 CD相切于点 M, 连接OM, 延长MO交AB 于点N，如图所示.
易得∠FBP=90°, BP=BF,
∵∠EBF=45°,
∴∠PBE=45°,
∴∠EBP=∠EBF.
在△BPE与△BFE中,
∴△BPE≌△BFE(SAS),
∴∠AEB=∠BEQ, PE=EF.
在△AEB和△QEB中,
∴△AEB≌△QEB(AAS),
∴ BQ=AB=2.
由PE=EF可知,
△EFD的周长为ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4.
设AE=a, 则
∵O为BE的中点, 且MN∥AD,
又∵BE=2OM,
解得
∴⊙O的半径
5. B 解析: ∵四边形ABCD 是正方形,∠EAF=45°, ∴∠CBD=∠EAF=45°,又∵∠BME=∠AMN∴△AMN∽△BME,故①正确; 由①知△AMN∽△BME,
∵∠AMB=∠EMN, ∴△AMB ∽△NME,
∴ ∠NEA=∠ABM, ∵∠ABM=∠CBD=45°,∠EAF=45°, ∴∠NEA=∠EAF=45°,
∴AN=EN, 故②正确; 如图1, 将△ADF绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH, 则AF=AH, DF=BH, ∠DAF=∠BAH, ∠ADF=∠ABH=90°∵ ∠EAF=45°, ∴ ∠DAF+∠BAE=45°, ∴∠HAE=45°, ∵∠ABE=∠ABH=90°,
∴H,B,E三点共线.在△AEF与△AEH中,AE=AE, ∠FAE= ∠HAE, AF=AH,∴△AEF≌△AEH(SAS),∴EF=EH=BE+BH=BE+DF, 故③正确;
在 Rt△ABE 与 Rt△ADF 中, AB=AD,AE=AF, ∴△ABE ≌△ADF(HL),∴BE=DF, ∠BAE=∠DAF=22.5°,∵ BC=CD, ∴ CE=CF, 设正方形的边长为1, CE=x, 则BE=1-x, 如图2, 连接AC, 交EF于点O,
∵ AE=AF, CE=CF, ∴AC是EF的垂直平分线，
∴ AC⊥EF, OE=OF,
∵∠BAC=45°, ∴∠EAC=22.5°,
∴BE=EO=1-x, ∴ (1-x)=x,
故④错误.综上所述，正确的结论有3个，故选B.
6. 解析: (1) ①证明: ∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=AD, ∠B=∠D=90°,由 折 叠 的 性 质 得 ∠AFE=∠B=90°,AF=AB,
∴ AD=AF, ∠AFG=∠D=90°,在Rt△ADG和Rt△AFG中,
∴ Rt△ADG≌Rt△AFG(HL),
∴ DG=FG.
②4或7.2 提示：分两种情况，如图1， 当点E在边BC上时，设CG=x, 则DG=FG=6-x,
∵CB=6, CE=3,
∴ EF=BE=3,
∴ EG=EF+FG=3+6-x=9-x.
在Rt△CEG中, 由勾股定理得CE +
解得x=4, 即CG=4.
如图2，点E在边 BC的延长线上时，同理①得Rt△ABE≌Rt△AFE,△ADG≌△AFG,
∴ BE=EF, DG=FG.
设CG=x, 则DG=FG=x-6,
∵ CB=6, CE=3, ∴ EF=BE=3+6=9,
∴ EG=EF-FG=9-(x-6)=15-x.
在Rt△CEG中，由勾股定理得( EG ,
解得x=7.2,
即CG=7.2.
综上所述，CG的长是4或7.2.
提示：如图3， 将△ABD沿着AB边折叠, 使D与E重合,将△ACD 沿着AC边折叠,使D与G重合, 延长EB, GC交于点F.
可得∠BAD=∠EAB, ∠DAC=∠GAC,∠E=∠G=90°, AE=AD=AG, BD=EB=
∵∠BAC=45°,
∴∠EAG=90°,
∴∠EAG=∠E=∠G=90°,
∴四边形AEFG为正方形.
设正方形AEFG的边长为x, 则 BF=x-
在Rt△BCF中，根据勾股定理得BF +
即 解得 或 (舍去),

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