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模型39 角含半角模型
跟踪练习
1. 如图, 在正方形ABCD中, 点 E,F分别在线段BC，CD 上运动，且满足∠EAF=45°, AE, AF分别与BD相交于点M，N.给出下列说法：
①BE+DF=EF; ②点A 到线段 EF的距离一定等于正方形的边长；
③若BE=2, DF=3, 则
④若AB=6 , BM=3,则MN=5.其中正确结论的个数是 ()
A.4 B.3 C.2 D.1
2. 如图,在Rt△ABC和Rt△BCD中,∠BAC=∠BDC=90°, BC=4, AB=AC,∠CBD=30°, M, N分别在 BD,CD 上, ∠MAN=45°, 则△DMN的周长为 .
如图, 在△ABC中, ∠BAC=120°,AB=AC, 点M, N在边 BC上, 且∠MAN=60°. 若BM=2, CN=3, 则MN的长为 .
4.旋转变换是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题. 在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=α, 点 D, E在边BC上, 且
(1) 如 图 1, 当α=60°时, 将△AEC绕点 A 顺时针旋转60°到△AFB的位置, 连接DF.
①∠DAF= ;
②求证: DF=DE;
(2) 如图2, 当α=90°时, 猜想BD, DE, CE之间的数量关系,并说明理由.
1. A 解析: 如图1, 把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH， 由旋转的 性 质得 BH=DF, AH=AF, ∠BAH=∠DAF,∵∠EAF=45°, ∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF +∠BAE=90°-∠EAF=45°.∴∠EAH=∠EAF=45°.
在△AEH和△AEF中,
∴△AEH ≌△AEF(SAS), ∴ EH=EF,∠AEB=∠AEF, ∴EH=BE+BH=BE+DF= EF, 故①正确; 如图1, 过点A作AG⊥EF于点 G, 则∠AGE=∠ABE=90°.
在△ABE与△AGE中,
∴△ABE≌△AGE(AAS), ∴AB=AG,
∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长, 故②正确; ∵BE=2,
DF=3, ∴ EF=BE+DF=5.设BC=CD=n,
∴ CE=n-2, CF=n-3, ∵EF =CE +CF ,
(负值舍去)，
∴AG=6,
故③正确；
如图2， 把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ, 连接QM, 由旋转的性质得BQ=DN, AQ=AN, ∠BAQ=∠DAN,∠ADN=∠ABQ=45°. ∵ ∠EAF=45°,∴ ∠MAQ=∠BAQ+∠BAE=∠DAN+∠BAE=90°-∠EAF=45°, ∴ ∠MAQ=∠MAN=45°.在△AMQ和△AMN中,
∴△AMQ ≌ △AMN(SAS), ∴ MQ=MN. ∵ ∠QBM=∠ABQ+∠ABM=90°, 设MN=x, 则 N D=BD-BM-MN=9-x, 解得x=5, ∴ MN=5, 故④正确.故选A.
解析: 如 图, 将 △ACN绕点A 顺时针旋转90°后, 得到△ABE, 由旋 转 得 ∠NAE=90°, AN=AE, CN=BE,∠ABE=∠ACD, ∠EAB=∠CAN.∵∠BAC=∠D=90°, ∴∠ABD+∠ACD=360°-90°-90°=180°, ∴∠ABD+∠ABE=180°,∴ E, B, M 三点共线.∵ ∠MAN=45°,∠BAC=90°, ∴∠EAM=∠NAE-∠MAN=90°-45°=45°, ∴ ∠EAM=∠MAN. 在△AEM 和 △ANM 中, AE=AN, ∠EAM=∠NAM, AM=AM, ∴ △AEM ≌ △ANM(SAS), ∴ MN=ME, ∴ MN=CN+BM.在 Rt △BCD 中,∠BDC=90°,∠CBD=30°, BC=4, ∴CD= BC=2, ∴△DMN的周长为 DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=2 +2.
3. 解析: 如图, 将△ABM绕点 A 逆时针旋转120°至△ACP 的位置， 连接PN, 过点 P 作BC的垂线, 垂足为D.∵∠BAC=120°, AB=AC, ∴∠B=∠ACB=30°.易知△ABM≌△ACP, ∴ ∠B=∠ACP=30°, PC=BM=2, ∠BAM=∠CAP,
∴ ∠NCP=60°. ∵ ∠MAN=60°,
∴ ∠BAM+∠NAC=∠NAC+∠CAP=60°=∠NAP, ∴ ∠NAP=∠MAN,又 ∵ AM=AP, AN=AN, ∴ △MAN≌△PAN(SAS), ∴ MN=PN. ∵ PD⊥CN,
4. 解析: (1) ①30° 提示: 由旋转的性质知,AF=AE,∠BAF=∠CAE,∠EAF=60°,
∴ ∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=30°,
∴ ∠DAF=∠BAD+∠BAF=∠BAD+∠CAE=30°.
②证明: 由 ① 知, AF=AE, ∠DAF=∠DAE=30°,
又∵AD=AD,
∴△DAF≌△DAE(SAS),
∴ DF=DE.
理由如下：
如图，将△AEC绕点A 顺时针旋转90°到△AFB的位置, 连接DF.
∴△BAF≌△CAE,
∴ BF=CE,∠ABF=∠ACE=∠ABC=45°,
∴∠DBF=90°, 根据勾股定理得,BF =
由(1)②同理得, DF=DE,

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