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模型41 等腰直角三角形之半角模型
跟踪练习
1. 如图,在Rt△ABC 中,AB=AC, D,E为BC边上两点, 且∠DAE=45°,将△ADC 绕点 A顺时针旋转 90°后, 得到△AFB, 连接 EF. 给出下列四个结论: ①△ADC ≌△AFB;
②△ABE≌△ACD;
③△AED≌△AEF;
④BE+EF=BC-BF.
正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°, D, E是等腰直角三角形ABC斜边BC上两动点，且∠DAE=45°, 将△ABE绕点A 逆时针旋转90°后, 得到△ACF, 连接 DF, 当BE=3, CD=4时, 则DE 的长为 .
3. 在△ABC 中, ∠BAC=90°, AB=AC, 点 D, E 均在边 BC上, 且∠DAE=45°, 则BD, DE, EC满足的等量关系为 .
4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°, AB=AC, 点 M, N在边BC上, 且∠MAN=45°, 若BM=1,CN=3, 则MN的长为 .
5. 在△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC= 点E，F均在边BC上， 且∠EAF=45°, 若BE=2, 则 CF的长为 .
6. 在△ABC 中, ∠BAC=90°, AB=AC= 点 D,E均在边 BC上, 且∠DAE=45°, 若BD=1, 求AE的长.
1. C 解析: ∵将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后, 得到△AFB, ∴△ADC≌△AFB, 故①正确; ∵EA与DA 不一定相等, ∴△ABE与△ACD 不一定全等,故②错误; ∵∠FAD=90°, ∠DAE=45°,∴∠FAE=∠DAE=45°,在△AED和△AEF中, AD=AF, ∠EAD=∠EAF, AE=AE,∴△AED≌△AEF(SAS) , 故③正确;∴ DE=EF, ∴ BE+EF=BE+DE=BD,∵△ADC≌△AFB,∴BF=CD, ∴BD=BC-CD=BC-BF, ∴ BE+EF=BC-BF, 故④正确.综上，正确的结论是①③④，共3个.故选C.
2. 5 解析: 在Rt△ABC中, ∵AB=AC,∴ ∠B=∠ACB=45°. 由 旋 转 的性 质知△BAE≌△CAF, ∴AE=AF, BE=CF,∠BAE=∠CAF, ∠ABE=∠ACF=45°,∴ ∠DCF=∠ACB+∠ACF=90°. 在Rt△DCF中, ∵∠BAC=90°, ∠EAD=45°, ∴∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=45°, ∴∠DAE=∠DAF.又∵DA=DA, AE=AF, ∴△AED≌△AFD(SAS),
解析：如图所示，把△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,
连接DF, 则△ABF≌△ACE, ∠FAE=90°, ∴ ∠FAB=∠CAE, BF=CE, AF=AE,∠ABF=∠C, ∵∠DAE=45°, ∴∠DAF=90°-45°=45°, ∴∠FAD=∠DAE=45°.
在△ADF和△ADE中, ∴△ADF≌△ADE(SAS),∴ DF=DE. ∵ ∠BAC=90°, AB=AC,∴ ∠ABC=∠C=45°, ∴∠C=∠ABF=45°,∴ ∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°, ∴△BDF是直角三角形， 即BD +
解析: 如图, 过点C作CE⊥BC, 垂足为点C, 截取CE, 使CE=BM, 连接AE, EN. ∵ AB=AC, ∠BAC=90°,∴ ∠B=∠ACB=45°. ∵ CE⊥BC, ∴ ∠ACE=∠B=45°, ∴ △ABM ≌ △ACE(SAS),∴ AM=AE, ∠BAM=∠CAE. ∵∠BAC=90°, ∠MAN=45°, ∴ ∠BAM+∠CAN=45°.∵ ∠BAM=∠CAE, ∴ ∠MAN=∠EAN=45°.
又 ∵AN=AN, AM=AE, ∴ △MAN ≌△EAN(SAS), ∴ MN=EN. 在Rt△ENC中，
5. 解析：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACN, 连接FN, ∴ AN=AE, CN=BE=2, ∠ACN=∠B, ∠EAN=90°. ∵ ∠BAC=90°, AB=AC=3 ∴ ∠B=∠ACB=45°, BC= AB=6,∴ EC=4, ∠FCN=90°. ∵ ∠EAF=45°, ∠CAN, ∴∠FAN=∠EAF=45°.
又∵AF=AF, AE=AN, ∴△EAF≌△NAF,∴FN=EF. 设 CF=x, 则 FN=EF=4-x,在Rt△FCN中,FN =CF +CN ,即(4-x) = 解得 即
6. 解析: 如图，把△AEC绕A点顺时针旋转90°得到△AFB, 连接DF, EF, 则AF=AE,∠FBA=∠C=45°, ∠BAF=∠CAE.
∵∠DAE=45°,
∴ ∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°,∴∠FAD=∠DAE=45°.
在△FAD和△EAD中,
∴△FAD≌△EAD(SAS),
∴ DF=DE.
设DE=x, 则DF=x,
∵ BC=4,
∴ BF=CE=4-1-x=3-x.
∵∠FBA=45°, ∠ABC=45°,
∴ ∠FBD=90°,
在 Rt△FBD中, 由勾股定理得DF =BF +BD , 即
解得 即
则

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