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模型30 全等三角形之一线三等角模型
跟踪练习
1.有一张三角形纸片ABC， 已知∠B=∠C=x°, BC=5, 按下列方案用剪刀沿着箭头的方向剪开该纸片，得不到全等三角形纸片的是( )
2. 如图, 在△ABC中, 点D, E, F分别是BC, AB, AC上的点, 若AB=AC, BE=CD, BD=CF,∠EDF=54°,则∠A 的度数为 ( )
A.54° B.72° C.80° D.108°
3.如图，在等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点 D，E分别落在AB, BC上, AD=5, 连接CF, 若CF平分∠ACB, 则BE的长度为 .
4. 【感知】如图1，点E在正方形ABCD的边BC上, BF⊥AE于点 F,DG⊥AE 于 点 G, 可 知△ADG≌△BAF(不要求证明)
【拓展】如图2，点B，C分别在∠MAN的边AM, AN上, 点 E, F在∠MAN内部的射线AD上, ∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC, ∠1=∠2=∠BAC, 求证:△ABE≌△CAF.
【应用】如图3，在等腰三角形ABC中, AB=AC, AB>BC, 点 D在边 BC 上, CD=2BD, 点 E, F在线段AD上, ∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为9, 则△ABE与△CDF的面积之和为 .
1. C 解析：对于A，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；对于B，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；对于C，如图所示，∵∠B=∠C=∠EDF=x°, ∴∠BED+∠BDE=180°-x°, ∠BDE+∠CDF=180°-x°,
∴ ∠BED=∠CDF, 即BD和CF是对应边，BE和CD是对应边，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项符合题意；对于D，由选项C可知∠BED=∠CDF，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意.故选C.
2. B 解析: ∵ AB=AC, ∴∠B=∠C, 在△BDE 和△CFD中, BE=CD, ∠B=∠C,BD=CF, ∴△BDE≌△CFD(SAS),∴ ∠BED=∠CDF. ∵∠EDC=∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED, ∴ ∠B=∠EDF=54°, 故选B.
3. 2.5 解析: 如图, 在BC上截取EG=BD,连接FG, ∵△ABC和△DEF是等边三角形, ∴ DE=EF, AB=BC, ∠DEF=∠B=∠ACB=60°, ∵∠DEC=∠BDE+∠B=∠DEF+∠FEG, ∴∠BDE=∠FEG. 在△BED 和△GFE 中, DE=EF, ∠BDE=∠FEG, BD=EG, ∴△BED≌△GFE(SAS),∴ ∠B=∠EGF=60°, BE=FG. ∵ FC 平 分∠ACB, ∴∠ACF=∠ECF=30°, ∵ ∠EGF=∠GFC+∠FCG, ∴∠GFC=∠GCF=30°, ∴ FG=CG=BE. ∵ AB=BC, BD=EG, ∴ AD=BE+CG=2BE=5, ∴ BE=2.5.
4.解析： 【拓展】证明： 如图1，
∵∠1=∠2, ∴∠BEA=∠AFC,
∵∠1=∠ABE+∠3, ∠3+∠4=∠BAC=∠1,
∴∠4=∠ABE.
在△ABE和△CAF中, ∴△ABE≌△CAF(AAS).
【应用】6 提示：如图2，
∵∠1=∠2, ∴∠BEA=∠AFC,
∵∠1=∠ABE+∠3, ∠3+∠4=∠BAC=∠1,
∴∠4=∠ABE.
在△ABE和△CAF中,
∴△ABE≌△CAF(AAS),∴△ABE与△CAF的面积相等, ∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积.
∵在等腰三角形ABC中,AB=AC,CD=2BD,
∴△ABD与△ADC等高, 底边长之比为
1:2, ∴△ABD与△ADC的面积之比为
1:2, ∵△ABC的面积为9,
∴△ADC的面积为6.
∴△ABE 与△CDF 的面积之和为 6.

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