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模型27 全等三角形之等腰直角手拉手模型
跟踪练习
1. 如图, △ACB 和△ADE都是等腰直角三角形, ∠BAC=∠DAE=90°,点 C，D，E三点在同一直线上，连接BD, 则∠ADB= ( )
A.45°
B.30°
C.60°
D.55°
2. 如图1,在Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=AC, 点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点 M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察并猜想图1中，线段PM与 PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明
把△ADE绕点 A 逆时针旋转到图2的位置, 连接MN, BD, CE, 判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
把△ADE绕点 A在平面内自由旋转, 若AD=m, AB=n, 请直接写出△PMN面积的最大值.
3. 如图,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°, BD, CE 交 于 点 F,连接AF.下列结论: ①BD=CE;②BF⊥CF; ③AF 平 分∠CAD;④∠AFE=45°.其中正确结论的个数有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4. 如图1,△ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形, 点 D是BC边上一动点，连接AD， 将AD 绕点 A 逆时针旋转90°得到AE, 连接CE.
(1)求证:
(2)如图2, 连接DE, 交AC于点E
①求证: CD·CE=CF·CA;
②当△CEF是等腰三角形时，请直接写出 BD的长.
1. A 解析: ∵△ACB和△ADE都是等腰直角三角形, ∠BAC=∠DAE=90°,∴ AB=AC, AD=AE, ∠AED=45°,又∵∠BAD=∠BAC+∠CAD,∠CAE=∠DAE+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中, AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴∠ADB=∠AEC=45°, 故选 A.
2. 解析: (1) PM=PN PM⊥PN 提示:
∵ P, N分别是CD, BC的中点,
∵点P, M分别是 CD, DE的中点,
∵ AB=AC, AD=AE,
∴ BD=CE, ∴ PM=PN.
∵ PN∥BD, ∴∠DPN=∠ADC,
∵ PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCA,
∵∠BAC=90°, ∴∠ADC+∠DCA=90°,
∴ ∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,
∴ PM⊥PN.
(2)△PMN是等腰直角三角形.理由如下：由旋转的性质知, ∠BAD=∠CAE,
∵ AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴ ∠ABD=∠ACE, BD=CE.
利用三角形的中位线得，PN∥BD，PN= ∠DCE, ∠PNC=∠DBC, PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形.
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∵ ∠BAC=90°, ∴ ∠ACB+∠ABC=90°,
∴ ∠MPN=90°,
∴△PMN是等腰直角三角形.
(3)△PMN面积的最大值为
提示： 由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，
∴当 BD 最大时, △PMN的面积最大,易知当点D在BA的延长线上时，BD最大，此时BD=AD+AB=m+n,
3. C 解析: 如图, 作AM⊥BD于 M,AN⊥EC于N, 设AD交EF于O.
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴ ∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC, AD=AE, ∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴ CE=BD, ∠BDA=∠AEC, 故①正确;
∵∠DOF=∠AOE,∴∠DFO=∠EAO=90°,
∴ BF⊥CF, 故②正确;
∵△BAD≌△CAE, AM⊥BD, AN⊥EC,
∴ AM=AN, ∴ FA平分∠EFB,
∴∠AFE=45°, 故④正确;
若③成立, 则∠EAF=∠BAF,
∵∠AFE=∠AFB,∴∠AEF=∠ABD=∠ADB,
∴ AB=AD, 由题意知, AB不一定等于
AD, 所以AF不一定平分∠CAD, 故③
错误.故选C.
4. 解析: (1) 证明: ∵将AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴ AD=AE, ∠DAE=90°.
∵∠BAC=90°, ∴∠DAE=∠BAC,
∴ ∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,
即∠CAE=∠BAD.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴ CE=BD.
在△ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°,
∴ CD+CE=CD+BD=BC= CA.
(2)①证明:∵ AB=AC, ∠BAC=90°,AD=AE, ∠DAE=90°,
∴ ∠B=∠ACB=∠ADE=45°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD, 且∠ADC=∠ADE+∠CDF,
∴∠BAD=∠CDF,
∴△ABD∽△DCF,
∴ CD·BD=CF·AB,
∵ CE=BD, AB=AC,
∴ CD·CE=CF·CA.
或2. 提示: ∵∠BAC=90°,AB=AC= 2 , ∴ BC=4.
设BD=x, 则CD=4-x.
当CE=CF时, CE=CF=BD=x,
∵CD·CE=CF·CA,
解得 (舍去);
当EF=CF时, ∠EFC=90°,
∵CD·CE=CF·CA,
解得.x =0(舍去) , x =2;
由题意可知, EF ≠CE.
综上， 当△CEF是等腰三角形时，BD的长为 或2.

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