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模型28 全等三角形之等边手拉手模型
跟踪练习
1.如图, 点A是x轴上一个定点，点B 从原点O出发沿y轴的正方向移动， 以线段OB 为边在y轴右侧作等边三角形 OBD, 以线段AB为边在 AB 上方作等边三角形ABC，连接CD，随点B 的移动，则下列说法错误的是 ( )
A.△BOA≌△BDC
B.∠ODC=150°
C.直线 CD与x轴所夹的锐角恒为60°
D.随点B的移动，线段CD 的值逐渐增大
2. (2022·辽宁抚顺模拟)如图,边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点 C顺时针旋转60°得到CF, 连接EF, DF, 则在点 E运动的过程中，DF的最小值是 .
3. 【问题发现】
(1)如图1, △ABC和△ADE均为等边三角形， 点B，D，E在同一直线上，连接CE，容易发现：
①∠BEC 的度数为 ;
②线段BD，CE之间的数量关系为 .
【类比探究】
(2) 如图2, △ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°, 点 B, D, E在同一直线上,连接CE，试探究∠BEC的度数及线段BE，CE，DE之间的数量关系，并说明理由.
【问题解决】
(3) 如图3, ∠AOB=∠ACB=90°,OA=3,OB=7,AC=BC,求OC 的值.
4. 综合与实践
(1)问题发现
如图1, △ACB 和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由.
(2)类比探究
如图2, △ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形, ∠ACB=∠DCE=90°,点A，D，E在同一直线上， CM为△DCE中DE边上的高, 连接BE.填空: ①∠AEB的度数为 ;②线段CM, AE, BE之间的数量关系为 .
(3)拓展延伸
在(2) 的条件下, 若BE=4,CM=3, 则四边形ABEC的面积为 .
1. D 解析: 对于A, ∵△OBD和△ABC都是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠OBD=∠ODB=∠BOD=60°,
BO=BD,BC=AB,∴∠ABC-∠DBA=∠OBD-
∠DBA, ∴∠CBD=∠ABO, ∴△BOA≌
△BDC(SAS), ∴A不符合题意; 对于B,
∵△BOA≌△BDC, ∴∠BDC=∠BOA=90°,
∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+90°=150°,
∴ B 不符合题意；对于C，延长CD交x轴于点E, 如图, ∵∠ODC=150°,
∴ ∠ODE=180°-∠ODC=30°,
∵ ∠BOA=90°, ∠BOD=60°,
∴ ∠DOA=∠BOA-∠BOD=30°,
∴ ∠DEA=∠DOA+∠ODE=60°, ∴直线CD与x轴所夹的锐角恒为60°， ∴ C 不符合题意; 对于D, ∵△BOA≌△BDC, ∴CD=OA,
∵点A是x轴上一个定点，∴OA的值是一个定值，∴随点B的移动，线段CD的值不变，∴D符合题意.故选D.
2. 1 解析: 取AC的中点G, 连接FG,BG, 如图, 则CG=CD, ∠BGC=90°.
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∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF, ∴ CE=CF, ∠ECF=60°.
∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°,
∴∠DCE=∠ACF,
∴△CDE≌△CGF(SAS),
∴ ∠FGC=∠EDC=90°,则B,G,F三点共线,∴点 F在直线BG上运动,作DH⊥BG,
则DF的最小值即为DH，
∴ DH=1.
3. 解析: (1)60° 提示: ∵△ABC和△ADE均为等边三角形, ∴ AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°,
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.
②BD=CE 提示: 由①可知△BAD≌△CAE, ∴ BD=CE.
(2)∠BEC=90°,BE=CE+DE,理由如下:
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴ AB=AC, AD=AE, ∠ADE=∠AED=45°,
∵ ∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴ BD=CE, ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°,
∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°,
∵ BE=BD+DE, ∴ BE=CE+DE.
(3)如图, 过点C作EF∥OB, 交AO的延长线于点 F,过点 B作BE⊥EF于点E,则∠BOF=180°-∠AOB=90°, ∠BEC=∠CFA=90°, ∴四边形 BOFE 是矩形, ∴ EF=OB=7, BE=OF.
∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠BCE+∠ACF=90°,
∵ ∠ACF+∠CAF=90°, ∴ ∠CAF=∠BCE,
∵ ∠F=∠E=90°, AC=BC,
∴△ACF≌△CBE(AAS),
∴ CF=BE, AF=CE.
设OF=x, 则CF=BE=OF=x, AF=3+x,
CE=7-x, ∴3+x=7-x,
∴x=2, ∴OF=CF=2.
在Rt△OCF中，由勾股定理得
4. 解析: (1) ∠AEB=60°, AD=BE, 理由如下：
∵△ACB和△DCE 均为等边三角形,
∴ CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60°, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE中,
∴△ACD ≌△BCE(SAS), ∴ ∠ADC=∠BEC,AD=BE.∵点A,D,E在同一直线上,∴∠ADC=180°-∠CDE=120°, ∴∠BEC=120°, ∴ ∠AEB =∠BEC-∠CED=60°.
(2) ①90° 提示:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∴ CA=CB, CD=CE,∠CDE=∠CED=45°.
∵ ∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴∠ADC=∠BEC.
∵点A, D, E在同一直线上, ∴∠ADC=180°-∠CDE=135°, ∴ ∠BEC=135°,∴ ∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
②AE=BE+2CM 提示:由①知△ACD ≌△BCE,∴AD=BE.∵CD=CE,CM⊥DE,∴DM=ME. ∵ ∠DCE=90°,∴ DM=ME=CM. ∴ AE=AD+DE=BE+2CM.
(3)35 提示:由(2) 得∠AEB=90°,AE=BE+2CM=10, ∴四边形ABEC的面积=△ACE的面积+△ABE的面积 4=35.

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