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模型26 全等三角形之等腰手拉手模型
1.如图所示, AB=AC, AD=AE, 点 B, D,E在一条直线上, ∠BAC=∠DAE,∠1=25°, ∠2=30°, 则∠3= ( )
A.55° B.50° C.45° D.60°
2.如图,在△ABC和△ADE 中, ∠CAB=∠DAE=36°,AB=AC,AD=AE.连接CD,连接BE并延长,分别交AC,AD于点 F,G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是 ( )
A.∠ADC=∠AEB
B. CD∥AB
C. DE=GE
D. CD=BE
3. 【探究】如图1, △ABC和△DBE都是等腰直角三角形, ∠ABC=∠DBE=90°,连接AD, CE.
(1) 求证:△ABD≌△CBE;
(2)判断直线AD和CE的位置关系，并说明理由.
【引申】如图2, 若△ABC和△DBE都是等边三角形，连接AD，CE.此时, △ABD和△CBE是否全等 (填“是”“否”或“无法确定”). 直线AD和 CE相交所成的锐角为 °.
【拓展】如图3, 正五边形ABCDE和BFGHS(提示：正五边形五条边都相等，五个内角都是108°)，连接AS, CF, 则直线AS和CF相交所成的锐角为 °.
1. A 解析: ∵ ∠BAC=∠DAE, ∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠EAC.在△BAD 和△CAE 中, AB=AC, ∠BAD=∠EAC, AD=AE, ∴△BAD ≌△CAE(SAS),∴ ∠2=∠ABD=30°, ∵∠1=25°, ∴∠3=∠1+ 故选A.
2. C 解析: ∵∠CAB=∠DAE, ∴ ∠CAB-∠CAE=∠DAE-∠CAE, 即∠EAB=∠DAC,在△DAC和△EAB中, AD=AE, ∠DAC=∠EAB,AC=AB,∴△DAC≌△EAB(SAS),∴∠ADC=∠AEB, CD=BE, 故AD选项不符合题意;对于B,∵AC=AB,∴∠ACB=∠ABC, ∵∠CAB=36°, ∴∠ACB=∠ABC=(180°-36°)÷2=72°, ∵ BE平分∠ABC,∴ ∠ABE=∠CBE=36°, ∴∠ACD=∠ABE=36°=∠CAB, ∴CD∥AB, 故 B 选项不符合题意；对于C，根据已知条件无法证明DE=GE，故C选项符合题意. 故选C.
3. 解析: 【探究】 (1) 证明: ∵△ABC和△DBE 都是等腰直角三角形, ∴AB=BC,BD=BE, ∠ABC=∠DBE=90°, ∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD, 即∠ABD=∠CBE.在△ABD和△CBE中,
∴△ABD≌△CBE(SAS).
(2)AD⊥CE. 理由如下:
如图1,延长AD交BC于F,交CE于H,
∵△ABD≌△CBE,
∴ AD=CE, ∠BAD=∠BCE.
∵∠ABC=90°, ∴∠BAD+∠AFB=90°,
∴∠BCE+∠AFB=90°.
∵∠CFH=∠AFB, ∴ ∠BCE+∠CFH=90°,
∴ ∠FHC=90°, ∴ AD⊥CE.
【引申】是 60 提示: ∵△ABC和△DBE都是等边三角形，
∴ AB=BC, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=60°,
∴ ∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD,
∴∠ABD=∠CBE.
在△ABD和△CBE中,
∴△ABD≌△CBE(SAS).
如图2, 延长AD交BC于M, 交CE于N,
∵△ABD≌△CBE, ∴∠BAD=∠BCE,
∵ ∠ABC=60°, ∴ ∠BMN=60°+∠BAD,
又∵ ∠BMN=∠MNC+∠BCE,
∴ ∠MNC=60°, 即直线AD和CE相交所成的锐角为60°.
【拓展】72 如图3,延长AS交BC于O,交CF于P,
∵五边形ABCDE和五边形BFGHS是正五边形，
∴AB=BC, BS=BF, ∠ABC=∠SBF,
∴∠ABC-∠SBC=∠SBF-∠SBC,
∴∠ABS=∠CBF.
在△ABS和△CBF中,
∴△ABS≌△CBF(SAS),
∴ ∠BAS=∠BCF.
又∵ ∠BOP=∠ABC+∠BAS=108°+∠BAS,∠BOP=∠OPC+∠BCF,
∴ ∠OPC=108°,
即直线 AS和CF相交所成的钝角为108°，
∴直线AS和CF相交所成的锐角为72°.

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