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模型 19 8字模型与角平分线
跟踪练习
1. 如图, AM, CM分别平分∠BAD和∠BCD, 且∠B=31°, ∠D=39°,则∠M= .
2. 如图, ∠ACO 和∠DBO的平分线CP和BP交于点 P, 并且与AB,CD分别交于点 M, N. 设∠A=α,∠D=β, 则∠P 与∠A, ∠D之间的数量关系为 (用α，β表示∠P).
3. 如图, AD, BC交于点 O, BE, DE分别是∠ABC, ∠ADC的平分线.
(1)求证: ∠A+∠ABO=∠C+∠CDO;
(2) 若∠A=40°, ∠C=50°, 求∠E的度数.
4.如图1, 已知线段AB, CD 相交于点O，连接AC，BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”.
(1)求证: ∠A+∠C=∠B+∠D.
(2) 如图2, 若∠CAB 和∠BDC的平分线AP和DP 相交于点 P，且分别与 CD, AB 相交于点 M, N.
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B=100°, ∠C=120°, 求∠P的度数；
③若把“AP 和 DP分别为∠CAB 和∠BDC的平分线”改为“∠CAP= 试探究∠P与∠B，∠C 之间存在的数量关系，并说明理由.
模型19 8字模型与角平分线
跟踪练习
1. 35° 解析: ∵∠B+∠BAM=∠M+∠BCM,∴ ∠BAM-∠BCM=∠M-∠B, 同理可得,∠MAD-∠MCD=∠D-∠M, ∵ AM, CM分别平分∠BAD和∠BCD, ∴∠BAM=∠MAD,∠BCM=∠MCD, ∴∠M-∠B=∠D-∠M,
解析: ∵∠ACO和∠DBO的平分线CP和BP交于点 P,∴∠ACP=∠DCP, ∠ABP=∠DBP,∵∠ACP+∠A=∠ABP+∠P, ∠DCP+∠P=∠DBP+∠D, ∴∠A-∠P=∠P-∠D,
3. 解析: (1) 证明: ∵∠A+∠ABO+∠AOB=180°, ∠C+∠CDO+∠COD=180°,∠AOB=∠COD, ∴ ∠A+∠ABO=∠C+∠CDO.
(2) ∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E, ∴设∠ABE=∠EBC=x, ∠ADE=∠EDC=y, 则∠A+x=∠E+y, ∠C+y=∠E+x,
∴ ∠A+x+∠C+y=∠E+y+∠E+x, 即2∠E=∠A+∠C, ∵∠A=40°, ∠C=50°, ∴2∠E=∠A+∠C=90°, ∴ ∠E=45°.
4. 解析: (1) 证明: ∵ ∠A+∠C=180°-∠AOC, ∠B+∠D=180°-∠BOD, ∠AOC=∠BOD, ∴∠A+∠C=∠B+∠D.
(2)①34
②以M为交点的“8字型”中， 有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP, 以N为交点的“8字型” 中, 有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP,
∵ AP, DP分别平分∠CAB和∠BDC,
∴ ∠BAP=∠CAP, ∠CDP=∠BDP,
∴2∠P=∠B+∠C,
∵ ∠B=100°, ∠C=120°,
③3∠P=∠B+2∠C, 理由如下:
以M为交点的“8字型”中，有
∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以N为交点的“8
字型” 中, 有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,
∠CAB).
∴ 2(∠C-∠P)=∠P-∠B,
∴ 3∠P=∠B+2∠C.

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