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模型3 平行线拐点之铅笔头模型
跟踪练习
1.把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若∠1=32°，则∠2 的度数为 ( )
A.20° B.18° C.15° D.13°
2. 如图,已知AB∥DE,∠B=150°,∠D=145°, 则∠C= .
3. 如图, ∠1=120°, AB⊥CB 于点 B,那么∠2的度数是 .
4. 已知直线AB∥CD, 点E是AB 和CD之间任意一点，射线EF经过点B.
(1)如图1, 若DE∥AC, ∠CAB=130°,∠ABF=80°,求∠DEB的度数;
(2)如图2, 若∠CAB=α, ∠CDE=2∠ACD, 若∠BED=140°, 求∠ABE的度数(用含α的式子表示)；
(3) 如图3, 若∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点 Q，试找出∠E 和∠Q的数量关系并说明理由.
5.如图, 直线a∥b, 点M, N分别在直线a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于 ( )
A.360° B.300° C.270° D.180°
模型3 平行线拐点之铅笔头模型
跟踪练习
1. D
思路探寻
过“笔尖”作平行线→由平行线的性质, 得∠1=∠3, ∠2=∠4→由等腰直角三角形的性质及倒角得答案.
解析: 如图, 过点O作OP∥AB, 则OP∥AB∥CD, ∴∠1=∠3, ∠2=∠4, ∵∠3+∠4=45°, ∴∠1+∠2=45°, ∴∠2=45°-∠1=45°-32°=13°, 故选 D.
2. 65°解析: 如图, 过点C作CF∥AB,
∵AB∥DE, ∴AB∥CF∥ED,
∴ ∠BCD=∠1+∠2=65°.
3. 150°解析: 如图, 过点B作BE∥AD,∵ AD∥CF, ∴AD∥BE∥CF, ∴∠1+∠ABE=180°, ∠2+∠CBE=180°, ∴ ∠1+∠2+∠ABC=360°, ∵ ∠1=120°, ∠ABC=90°,∴∠2的度数为
4. 解析: (1)如图1, 过点E作EH∥AB,∴ ∠ABF=∠BEH=80°, ∵ AB∥CD,∠CAB=130°, ∴EH∥CD,∠ACD=180°-∠CAB=50°,
∵AC∥DE, ∴∠ACD=∠EDG=50°,
∵ EH∥CD, ∴∠EDG=∠HED=50°,
∴ ∠BED=∠BEH+∠HED=130°,
∴∠DEB的度数为130°.
(2)如图2, 过点E作EP∥AB,
∴∠ABE+∠BEP=180°,
∵AB∥CD, EP∥AB,
∴ PE∥CD, ∴∠CDE+∠DEP=180°,
∴ ∠ABE+∠BEP+∠CDE+∠DEP=360°,
∴ ∠ABE+∠BED+∠CDE=360°,
∵AB∥CD,∴∠ACD=180°-∠CAB=180°-α, ∵∠CDE=2∠ACD, ∴∠CDE=2(180°-α)=360°-2α,
∵ ∠BED=140°, ∴ ∠ABE=360°-∠BED- ∴ ∠ABE的度数为2α-140°.
∠E+2∠Q=360°.理由: 如图3, 延长BQ交直线CD 于点 K,
设∠ABQ=x, ∠CDQ=y,∵BQ平分∠ABE,DQ平分∠CDE,∴∠ABE=2∠ABQ=2x,∠CDE=2∠CDQ=2y,∵AB∥CD, ∴∠BKD=∠ABQ=x, ∴ ∠BQD=∠BKD+∠CDQ=x+y, 由(2) 得∠ABE+∠BED+∠CDE=360°, ∴ ∠BED=360°-∠ABE-∠CDE=360°-2x-2y,∴∠BED+2∠BQD=360°-2x-2y+2(x+y)=360°,∴∠BED+2∠BQD=360°.
5. A 解析: 如图, 过点 P作PA∥a, 易得a∥b∥ PA,∴∠3+∠NPA=180°, ∠1+∠MPA=180°, ∴∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°, 故选A.

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