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模型4 平行线拐点之猪蹄模型
跟踪练习
1. 如图, AB∥CD, ∠1=45°, ∠2=30°,则∠3的度数为 ( )
A.55° B.75° C.80° D.105°
2. 如图, 有A, B, C三地, B地在A地的北偏西36°方向, AB⊥BC,则B地在C地的 ( )
A.北偏东44°方向
B.北偏东54°方向
C.南偏西54°方向
D.南偏西90°方向
3. (1)问题背景： 如图1， 已知AB∥CD,点 P 的位置如图所示,连接PA, PC, 试探究∠APC与∠A，∠C之间的数量关系， 以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空(填理由或数学式).
解: 如图1, 过点 P作PE∥AB,
∵ AB∥CD(已知),
∴ PE∥CD( ) ,
∴ ∠A=∠APE, ∠C=∠CPE( ),
∴ ∠A+∠C= + (等式的性质).
即∠APC, ∠A, ∠C之间的数量关系是 .
(2)类比探究： 如图2， 已知AB∥CD,线段AD与BC相交于点E,点 B 在点 A 右侧. 若∠ABC=41°,∠ADC=78°, 则∠AEC= .
(3) 拓展延伸: 如图3, 若∠ABC与∠ADC 的平分线相交于点 F，则∠BFD 与∠AEC之间的数量关系是 .
4. 如图,AB∥EF,∠C=90°,则α,β,γ的关系为 ( )
A.β=α+γ B.α+β-γ=90°
C.α+β+γ=180° D.β+γ-α=90°
模型4 平行线拐点之猪蹄模型
跟踪练习
1. B 解析: 如图, 过点E作EM∥AB,
∴∠HEM=∠1=45°. ∵ AB∥CD, EM∥AB,
∴ EM∥CD. ∴∠GEM=∠2=30°,
∴ ∠3=∠HEM+∠GEM=75°, 故选 B.
2. B
思路探寻
分别过B，C两点作平行线→利用两组平行线证两组内错角相等→倒角得答案.
解析：如图，过点B作BD∥AF，过点C作CE∥AF,∴∠DBA=∠BAF=36°, ∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,∴∠CBD=∠ABC-∠DBA=54°.
∵BD∥AF, CE∥AF, ∴ CE∥BD,
∴∠ECB=∠CBD=54°,∴B地在C地的北偏东54°方向, 故选B.
3.解析： (1)平行于同一直线的两直线平行两直线平行,内错角相等 ∠APE ∠CPE∠APC=∠A+∠C
(2) 119°提示: 过点E作EP∥AB,如图1，
∵AB∥CD,
∴ PE∥AB∥CD,
∴∠ADC=∠AEP=78°,∠ABC=∠PEC=41°,
∴∠AEC=∠AEP+∠PEC=78°+41°=119°.
(3)2∠BFD=∠AEC 提示: 过点 F作FP∥AB, 如图2, 则∠ABF=∠BFP,
∵AB∥CD, ∴FP∥CD,
∴ ∠PFD=∠FDC, ∴∠BFD=∠BFP+∠PFD=∠ABF+∠FDC.
由(2)知: ∠AEC=∠ABC+∠ADC,
∵DF,BF分别是∠ADC,∠ABC的平分线,
∴∠ABC=2∠ABF, ∠ADC=2∠FDC,
∴∠AEC=2(∠ABF+∠FDC),
∴2∠BFD=∠AEC.
4. B 解析: 如图, 延长DC交AB于G,延长CD交EF于H, 在直角△NGC中, 在△MHD中,∠2=β-γ,∵ AB∥EF, ∴ ∠1=∠2, ∴ 90°-α=β-γ,即α+β-γ=90°, 故选 B.

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