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模型5 平行线拐点之尖尖角模型
跟踪练习
1. 如图,AB∥CD, BC∥DE, 若∠A=20°,∠AED=80°,则∠BCD= ( )
A.70° B.108° C.110° D.120°
2. 如图, AB∥CD, 则∠A, ∠C, ∠E,∠F满足的数量关系是 ()
A.∠A=∠C+∠E+∠F
B.∠A+∠E-∠C-∠F=180°
C.∠A-∠E+∠C+∠F=90°
D.∠A+∠E+∠C+∠F=360°
3. 如图1, G, E是直线AB上两点,点G在点 E左侧，过点 G的直线GP与过点E的直线EP交于点P, 直线PE 交直线 CD 于点 H,∠PGB+∠P=∠PHD.
(1)求证: AB∥CD;
(2)如图2, 点Q在直线AB, CD之间, HP平分∠QHD, GF平分∠PGB,点F, G, Q在同一直线上, 且2∠Q+∠P=120°, 求∠QHD的度数;
(3) 在(2) 的条件下, 若点 M是直线 PG上一点，直线 MH交直线AB于点 N,点N在点 B左侧,请直接写出∠MNB 和∠PHM的数量关系. (题中所有角都是大于0°且小于 180°的角)
4. 如图, AB∥CD, ∠E=40°, ∠A=120°, 则∠C的度数为 ( )
A.60° B.80° C.75° D.70°
模型5 平行线拐点之尖尖角模型
跟踪练习
1. D 解析: 如图, 延长DE交AB于F.
∵∠AED是△AEF的外角,
∴∠AFE=∠AED-∠A=60°.
∵ AB∥CD, BC∥DE, ∴∠AFE=∠B,∠B+∠C=180°, ∴ ∠AFE+∠C=180°,
故选D.
2. B 解析: 如图, 过E作EG∥AB, 设EF交 CD于H, ∵ AB∥CD, ∴ AB∥CD∥EG, ∴∠GEF=∠DHF=∠C+∠F,∠A+∠AEG=180°,∴∠A+∠AEF-∠GEF=180°, 即∠A+∠AEF-∠C-∠F=180°, 故选 B.
3. 解析: (1)证明: ∵∠PGB+∠P=∠PHD,∠PGB+∠P=∠PEB, ∴∠PEB=∠PHD,∴AB∥CD.
(2)如图1, 过点Q作QK∥AB,
则∠GQK=∠EGF, 由(1)知, AB∥CD,
∴ QK∥CD, ∴∠HQK=∠CHQ,
∴∠GQH=∠GQK+∠HQK=∠EGF+∠CHQ,
∵GF平分∠PGB,
∴∠PGB=2∠EGF=2∠GQK,
∵ HP 平分∠QHD, ∴∠QHD=2∠PHD,
∵∠PGB+∠P=∠PEB=∠PHD,
∴ ∠QHD=2∠PHD=2∠PGB+2∠P=4∠GQK+2∠P, ∵2∠GQH+∠P=120°,
∴2∠GQK+2∠HQK+∠P=120°,
∴ 2∠GQK+∠P=120°-2∠HQK=120°-2∠QHC,
∴ ∠QHD=4∠GQK+2∠P=2(120°-
2∠QHC)=240°-4∠QHC,
∵ ∠QHC=180°-∠QHD, ∴∠QHD=240°-4× (180°-∠QHD) ,解得∠QHD=160°.
故∠QHD 的度数为160°.
(3) ∠MNB+∠PHM=100°或∠MNB-∠PHM=80°或∠MNB+∠PHM=80°. 提示:
在(2)的条件下， ①若点M在线段PG的延长线上，如图2所示，
∵ AB∥CD, ∴∠HEN=∠PHD=80°,
∵ ∠MNB+∠PHM+∠HEN=180°,
∴ ∠MNB+∠PHM=180°-∠HEN=100°;
②若点 M在线段PG上，如图3所示，
∵ AB∥CD, ∴∠HEN=∠PHD=80°,
∵∠MNB=∠PHM+∠HEN,
∴ ∠MNB-∠PHM=∠HEN=80°;
③若点 M在线段GP的延长线上，如图4所示，
∵AB∥CD, ∴∠HEN+∠PHD=180°,
∴ ∠HEN=180°-∠PHD=100°,
∵ ∠HNE+∠PHM+∠HEN=180°,∠MNB=∠HNE, ∴ ∠MNB+∠PHM=180°-∠HEN=80°.
综上所述，∠MNB 和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM=100°或∠MNB-∠PHM=80°或∠MNB+∠PHM=80°.
4. B 解析: ∵AB∥CD,
∴ ∠A+∠AFD=180°,
∵ ∠A=120°, ∴∠AFD=60°, ∴∠CFE=∠AFD=60°, ∵∠E=40°, ∴∠C=180°- 故选B.

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