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模型42 “海盗埋宝”模型
跟踪练习
1. 如图1, 在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC, 点D在边AB上, DE⊥AB交BC于E, F是AE的中点.
(1)写出线段FD与线段 FC的关系并证明.
(2) 如图2, 将△BDE绕点 B 逆时针旋转 其他条件不变，线段 FD与线段 FC 的关系是否变化 写出你的结论并证明.
(3)将△BDE 绕点 B 逆时针旋转一周， 如果BC=4,BE=2 直接写出线段BF长度的范围.
2. 如图, 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, 点D在边AC上(不与A, C重合) , 连接BD, F为BD的中点.
(1) 过点D作DE⊥AB于点 E, 连接CF, EF, CE, 如图1, 若CF=kEF,则k= .
(2)将△ADE绕点A顺时针旋转,使得 D,E,B三点共线, 点 F仍为BD的中点，如图2所示，求证：BE-DE=2CF.
(3) 若BC=6, 点 D 在边 AC的三等分点处，将线段AD绕点 A 旋转，点F 始终为 BD 的中点，求线段 CF长度的最大值.
3. 如图1,大小不相等的正方形ABCD与正方形 CEFG有一个共同的顶点 C，M是AF的中点.
(1) 当正方形CEFG的边CE在正方形ABCD的边 CD 上时，如图2, 连接DM, 延长EM交AD 于点N. 求证: DM=EM且DM⊥EM;
(2)图3、图4、图5中的∠DCE分别为45°, 90°, 180°. 请你选择其中的一个位置状态(图3或图4或图5) , 连接DM, EM. 求证:DM=EM, 且DM⊥EM.
4.如图, 四边形ABCD 是正方形，点O为对角线AC的中点.
(1)问题解决： 如图1， 连接BO, 分别取CB, BO的中点 P,Q, 连接 PQ, 则 PQ 与 BO 的数量关系是 ，位置关系是 .
(2) 问题探究: 如图2, △AO'E是将图1中的△AOB 绕点A 按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接 CE, 点 P, Q 分别为CE,BO'的中点, 连接PQ, PB.判断△PQB 的形状，并证明你的结论.
1. 解析: (1) FD=FC, CF⊥DF.
证明如下:∵DE⊥AB,∴∠ADE=90°,
∵ F是AE的中点, ∴AF=FE,
又∵ ∠ACB=90°, ∴ DF=AF=EF=CF,
∴ ∠FAD=∠FDA, ∠FAC=∠FCA,
∴ ∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD,∠EFC=∠FAC+∠FCA=2∠FAC.
∵ CA=CB, ∴∠BAC=45°,
∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2(∠FAD+∠FAC)=90°,
∴ DF⊥FC.
(2) DF=FC, DF⊥FC.证明如下:
方法一： 如图1， 延长CF到点 M， 使得 FM=CF, 连接EM, CD, CE, DM,AM, 延长ME交 BC于点 H.
∵ F为AE的中点, ∴ AF=EF,
又∵FM=CF,
∴四边形MECA 是平行四边形，
∴ ME=AC, MH⊥BC.
又∵AC=BC, ∴ ME=BC.
∵∠DBC=45°+α, ∠BEH=90°-α,
∴ ∠DBC=∠DEM.
在△BDC和△EDM中,
BD=ED, ∠DBC=∠DEM, BC=EM,
∴△BDC≌△EDM(SAS).
∴ DM=DC, ∠BDC=∠EDM,
∴∠MDC=∠MDE+∠EDC=∠BDC+∠EDC=∠BDE=90°,
∴△CDM是等腰直角三角形，
∵ CF=MF,
∴ FD=FC, FD⊥FC.
方法二： 如图2， 延长AC到点 M，使得CM=CA, 延长ED到点N, 使得DN=DE, 连接BN, BM, EM, AN, 延长ME交AN于点H, 交AB 于点 O.
∵ BC⊥AM, AC=CM,
∴BA=BM, 同理得BE=BN.
易知∠ABM=∠EBN=90°,
∴∠NBA=∠EBM,
∴△ABN≌△MBE,
∴ AN=EM, ∠BAN=∠BME.
∵ AF=FE, AC=CM,
同理得，
∴ FD=FC.
∵ ∠BME+∠BOM=90°, ∠BOM=∠AOH, ∴ ∠BAN+∠AOH=90°,
∴ ∠AHO=90°,
∴ AN⊥MH, ∴ FD⊥FC.
提示： 如图3，当点E落在边AB 上时，BF的长最大，易得最大值为
如图4， 当点E 落在AB的延长线上时，BF的长最小，易得最小值为
综上所述，
2. 解析: (1)1 提示: ∵F为BD的中点,DE⊥AB, ∠ACB=90°,
∴ CF=EF,
∴k=1.
(2)证明：如图1，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.
∵ D, E, B 三点共线,
∴ AE⊥DB.
∵∠BQC=∠AQD, ∠ACB=∠AEQ=90°,
∴∠QBC=∠EAQ.
∵ CE⊥CG, ∠ACB=90°
∴ ∠ECA+∠ACG=90°,∠BCG+∠ACG=90°,
∴∠ECA=∠BCG,
∴△BCG∽△ACE,
∵F是BD的中点, ∴F是EG的中点.
在Rt△ECG中,
∴ BE-DE=BE-GB=EG=2CF.
(3) ①如图2, 当 时， 取AB的中点 M, 连接MF, CM.
∵∠ACB=90°, tan∠BAC= 且BC=6,
∴AC=12, AB=6
∵ M为AB的中点,
∴ AD=4.
∵ M为AB的中点, F 为BD的中点,
当且仅当M，F，C三点共线且F在线段CM的延长线上时，CF 最大，此时(
②如图3， 当 时, 取 AB的中点M, 连接MF, CM.
同①可知，CF的最大值为
综上， 线段CF的长度的最大值为
3. 解析: (1) 证明: ∵四边形ABCD和CEFG均为正方形，
∴ AD∥CB, EF∥CG, ∠BCD=∠ECG=90°, CE=EF, AD=CD,
∴点B,C,G在同一条直线上,∴AD∥EF,
∴ ∠NAM=∠EFM, ∠ANM=∠FEM,
∵点M为AF的中点, ∴AM=FM,
∴△ANM≌△FEM(AAS),
∴ AN=EF, NM=EM, ∴ AN=CE,
∴ AD-AN=CD-CE, 即DN=DE,
∵∠ADE=90°,
∴△DEN为等腰直角三角形，
(2)选择题图4的位置状态证明.
证明: 如图, ∠DCE=90°.
延长EM交AB于点 H, 连接DH, DE.
∵四边形ABCD和CEFG均为正方形,
∴ ∠BAD=∠GCE=∠BCD=90°, AB∥CD,CG∥EF, CE=EF, AD=CD,
∴∠GCE+∠DCE=180°,
∴点D， C， G在同一条直线上，
∴AB∥DG∥EF,
∴∠AHE=∠MEF, ∠HAM=∠EFM,
∵M是AF的中点,
∴ AM=MF,
∴△AMH≌△FME(AAS),
∴ HM=EM, AH=EF,
∴ AH=CE,
∵AD=CD, ∠BAD=∠DCE,
∴△ADH≌△CDE(SAS),
∴ DH=DE, ∠ADH=∠CDE,
∴∠ADH+∠CDH=∠CDE+∠CDH=90°,
∴ ∠EDH=90°,
∴△EDH 为等腰直角三角形，
4. 解析: 提示：
∵点P和点Q分别为CB，BO的中点，
∴ PQ为△BOC的中位线,
∵四边形ABCD是正方形，
∴CO=BO, CO⊥BO,
(2)△PQB是等腰直角三角形.证明如下:如图,连接O'P 并延长交 BC 于点 F.
由正方形及旋转的性质可得AB=BC，∠ABC=90°, △AO'E 是等腰直角三角形,
∴ O'E∥BC, O'E=O'A,
∴ ∠O'EP=∠FCP, ∠PO'E=∠PFC.
又∵点P是 CE的中点, ∴ CP=EP,
∴△O'PE≌△FPC(AAS) ,
∴ O'E=FC=O'A, O'P=FP,
∴ BO'=BF,
∴△O'BF是等腰直角三角形，
∴ BP⊥O'F, O'P=BP,
∴△BPO'也是等腰直角三角形.
又∵点Q为O'B的中点，
∴ PQ⊥O'B, 且PQ=BQ,
∴△PQB 是等腰直角三角形.

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