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4.1 多边形 同步分层作业
1．一个多边形的每一个外角都等于60°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．过九边形的一个顶点有（　　）条对角线．
A．4 B．5 C．6 D．7
4．一个多边形的内角和与外角和之和为900°，则这个多边形的边数为（　　）
A．五 B．六 C．七 D．八
5．从多边形的一个顶点引对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．如图，五边形公园中，∠1＝90゜，张老师沿公园边由A点经B→C→D→E→A散步，张老师共转了（　　）
A．450° B．360° C．260° D．270°
7．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中∠5＝45°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数和为（　　）
A．180° B．360° C．315° D．135°
8．如图，八边形ABCDEFGH中，HA、ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于200°，则∠AOD的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．过多边形的一个顶点可以作2021条对角线，则这个多边形的边数是　 　 ．
10．一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　 　 ．
11．八边形共有 　 　 条对角线．
12．已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝5，求这个多边形的内角和；
（2）若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多90°，求n的值．
13．已知，一个多边形的每一个外角都是它相邻的内角的．试求出：
（1）这个多边形的每一个外角的度数；
（2）求这个多边形的内角和．
14．如图，四边形ABCD中，点E和点F和分别为边CD和BC上的点，并且∠ABC＝∠1，∠A+∠2＝180°．
（1）证明：AB∥EF；
（2）证明：AD∥BE；
（3）若BE是∠ABC的角平分线，AD⊥CD，∠FEC＝55°，求∠EBF的度数．
15．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　）
A．180° B．270° C．360° D．720°
16．在学习完多边形后，嘉淇将一个五边形沿如图所示的直线l剪掉一个角后，得到一个新多边形，下列说法正确的是（　　）
A．这个新多边形有五条边 B．从这个新多边形的顶点A出发，最多可以画4条对角线
C．从顶点A出发的所有对角线将这个新多边形分成4个三角形 D．以上说法都不正确
17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　）
A．10° B．15° C．30° D．40°
18．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ 　 　 ．
19．如图所示，在四边形ABCD中，去掉一个60°的∠A得到一个五边形，求∠1+∠2的度数．
20．（1）如图①，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出（5﹣3）条对角线．这样依次从五边形的5个顶点去画，可以画5×（5﹣3）条对角线，但发现其中每一条对角线都重复画了一次，所以，五边形共有　 　 条对角线；
（2）同理，从一个n边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的两个顶点，有（n﹣3）条对角线．这样，从n个顶点出发，可以有n×（n﹣3）条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以，n边形共有　　 条对角线；
（3）如图②，当n＝10时，求这个十边形的对角线条数．
21．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（　　）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
22．如图所示，已知∠KEF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠H+∠G+∠M+∠N＝（　　）
A．540° B．600° C．620° D．720°
23．阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
（1）这个“多加的锐角”是 　 　 度．
（2）小明求的是几边形内角和？
（3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
24．在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
【问题改编】
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝　 　 ；
【问题推广】
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数；
（3）如图3，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F＝n°，则∠A的度数为 　 　 （结果用含n的代数式表示）；
【拓展提升】
（4）在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
答案与解析
1．一个多边形的每一个外角都等于60°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【点拨】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．
【解析】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60＝6．
故选：C．
【点睛】此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
2．一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【点拨】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°列出方程，然后求解即可．
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2） 180°＝1440°，
解得n＝10．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式并列出方程是解题的关键．
3．过九边形的一个顶点有（　　）条对角线．
A．4 B．5 C．6 D．7
【点拨】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．
【解析】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n﹣3）条对角线．
4．一个多边形的内角和与外角和之和为900°，则这个多边形的边数为（　　）
A．五 B．六 C．七 D．八
【点拨】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和与外角和之和为900°列方程，解方程即可得到答案．
【解析】解：设这个多边形的边数为n，则：
（n﹣2） 180°+360°＝900°，
解得n＝5，
故选：A．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用．熟练掌握以上知识点是关键．
5．从多边形的一个顶点引对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【点拨】根据从n边形的一个顶点出发，可以将多边形分为（n﹣2）个三角形，进行求解即可．
【解析】解：从n边形的一个顶点出发，可以将多边形分为（n﹣2）个三角形，
设多边形有n条边，则n﹣2＝5，
∴n＝7；
故选：B．
【点睛】本题考查多边形对角线分割三角形的个数问题，正确进行计算是解题关键．
6．如图，五边形公园中，∠1＝90゜，张老师沿公园边由A点经B→C→D→E→A散步，张老师共转了（　　）
A．450° B．360° C．260° D．270°
【点拨】张老师沿公园散步的时候转的是外角，五边形外角和360度，减去没有转的90度，等于270度．
【解析】解：360゜﹣90°＝270゜，
所以张老师共转了270゜．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的多边形的内角和定理，理解定理是关键．
7．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中∠5＝45°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数和为（　　）
A．180° B．360° C．315° D．135°
【点拨】根据多边形的内角和为360°，进而得出答案．
【解析】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∠5＝45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣∠5＝360°﹣45°＝315°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和等于360°是解题的关键．
8．如图，八边形ABCDEFGH中，HA、ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于200°，则∠AOD的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【点拨】先求出∠1+∠2+∠3+∠4＝520°，再求出五边形OHGFE的内角和，即可得解．
【解析】解：由题意可得：∠1+∠2+∠3+∠4+200°＝180°×4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝520°，
∵五边形OHGFE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠AOD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）＝20°．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，正确进行计算是解题关键．
9．过多边形的一个顶点可以作2021条对角线，则这个多边形的边数是　2024　 ．
【点拨】根据“n边形从一个顶点可引出n﹣3条对角线”列方程求解即可．
【解析】解：设多边形有n条边，
则：n﹣3＝2021，
解得：n＝2024，
故答案为：2024．
【点睛】本题主要考查了多边形对角线的条数问题，解一元一次方程等知识点，熟练掌握多边形对角线的条数问题是解题的关键．
10．一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　10　 ．
【点拨】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解析】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得：n＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程（n﹣2）×180°＝360°×4．
11．八边形共有 　20　 条对角线．
【点拨】八边形中从一个顶点发出的对角线有5条，因而对角线总的条数即可解得．
【解析】解：八边形的对角线有：×8×（8﹣3）＝20条．
【点睛】n边形的对角线有n（n﹣3）条．
12．已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝5，求这个多边形的内角和；
（2）若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多90°，求n的值．
【点拨】（1）把n＝5，代入多边形内角和公式求解即可．
（2）根据多边形内角和公式及多边形外角和为360°，列出一元一次方程求解即可．
【解析】解：（1）当n＝5时，（5﹣2）×180°＝540°，
∴内角和为 540°；
（2），
解得：n＝12，
∴n的值为12．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，一元一次方程应用，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和．
13．已知，一个多边形的每一个外角都是它相邻的内角的．试求出：
（1）这个多边形的每一个外角的度数；
（2）求这个多边形的内角和．
【点拨】（1）根据邻补角互补和已知求出外角即可；
（2）先求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出即可．
【解析】解：（1）∵一个多边形的每一个外角都是它相邻的内角的，
∴这个多边形的每个外角的度数是＝60°；
（2）∵多边形的每一个外角的度数是60°，多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数是＝6，
∴这个多边形的内角和是（6﹣2）×180°＝720°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能正确求出多边形的边数是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°，边数为n的多边形的内角和＝（n﹣2）×180°．
14．如图，四边形ABCD中，点E和点F和分别为边CD和BC上的点，并且∠ABC＝∠1，∠A+∠2＝180°．
（1）证明：AB∥EF；
（2）证明：AD∥BE；
（3）若BE是∠ABC的角平分线，AD⊥CD，∠FEC＝55°，求∠EBF的度数．
【点拨】（1）根据同位角相等，即可证明两直线平行；
（2）根据三角形的外角性质得出∠1＝∠2+∠E B F，结合题意得到∠ABE＝∠2，进而得到∠ABE+∠A＝180°，即可判定AD∥BE；
（3）根据“两直线平行，同位角相等”得到∠BEC＝90°，继而得出∠2＝35°，由（2）知∠ABE＝∠2，根据角平分线的定义得出∠EBF＝35°．
【解析】（1）证明：∵∠ABC＝∠1，
∴AB∥EF．
（2）证明：AD∥BE，理由如下：
∵∠1＝∠2+∠E B F，∠A B C＝∠E B F+∠A B E，∠ABC＝∠1，
∴∠ABE＝∠2，
∵∠2+∠A＝180°，
∴∠ABE+∠A＝180°，
∴AD∥BE；
（3）解：∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∵AD∥BE，
∴∠BEC＝∠D＝90°，
∵∠FEC＝55°，
∴∠2＝∠BEC﹣∠FEC＝35°，
由（2）知，∠ABE＝∠2，
∴∠ABE＝35°，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠EBF＝∠ABE＝35°．
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角、平行线的判定与性质，熟记三角形的外角性质是解题的关键．
15．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　）
A．180° B．270° C．360° D．720°
【点拨】连接AD，记AF与DE交于点G，利用三角形内角和定理推出∠E+∠F＝∠DAG+∠ADG，再将∠GAB+∠B+∠C+∠CDG+∠E+∠F转化为四边形ABCD的内角和，即可解答．
【解析】解：如图，连接AD，记AF与DE交于点G，
∵∠E+∠F+∠EGF＝180°，∠DAG+∠ADG+∠AGD＝180°，
∴∠E+∠F+∠EGF＝∠DAG+∠ADG+∠AGD，
又∵∠EGF＝∠AGD，
∴∠E+∠F＝∠DAG+∠ADG，
∴∠GAB+∠B+∠C+∠CDG+∠E+∠F，
＝∠GAB+∠B+∠C+∠CDG+∠DAG+∠ADG，
＝∠DAB+∠B+∠C+∠CDA，
＝360°．
故选：C．
【点睛】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为180°，四边形内角和为360°是解题的关键．
16．在学习完多边形后，嘉淇将一个五边形沿如图所示的直线l剪掉一个角后，得到一个新多边形，下列说法正确的是（　　）
A．这个新多边形有五条边 B．从这个新多边形的顶点A出发，最多可以画4条对角线
C．从顶点A出发的所有对角线将这个新多边形分成4个三角形 D．以上说法都不正确
【点拨】根据选项一一对照判断即可．
【解析】解：根据多边形的对角线条数问题及被对角线分割成的三角形数目规律可知：
A、这个多边形是一个六边形，故错误，不符合题意．
B、从这个多边形的顶点A出发，最多可以画3条对角线，故错误，不符合题意，
C、从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形，正确，符合题意，
D、以上说法C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线个数问题及被对角线分割成的三角形数目问题，解题关键是找出其中的规律．
17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【点拨】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
【解析】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．
18．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ 　540°　 ．
【点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠G的和，再利用两个四边形的内角和减去一个平角的度数计算即可．
【解析】解：如图所示，
由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A+∠G，
由四边形的内角和是360°可得，
∠1+∠2+∠E+∠F＝360°，∠3+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
＝∠1+∠C+∠D+∠E+∠F+∠B
＝360°×2﹣180°
＝540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，根据三角形的内角和定理把求角的和的问题转化为求多边形的内角和的问题．
19．如图所示，在四边形ABCD中，去掉一个60°的∠A得到一个五边形，求∠1+∠2的度数．
【点拨】利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．
【解析】解：∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠B+∠C+∠D＝360°﹣60°＝300°，
∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2＝540°﹣300°＝240°．
【点睛】本题考查多边形的内角和知识；求得∠B+∠C+∠D的度数是解决本题的突破点．
20．（1）如图①，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出（5﹣3）条对角线．这样依次从五边形的5个顶点去画，可以画5×（5﹣3）条对角线，但发现其中每一条对角线都重复画了一次，所以，五边形共有　5　 条对角线；
（2）同理，从一个n边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的两个顶点，有（n﹣3）条对角线．这样，从n个顶点出发，可以有n×（n﹣3）条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以，n边形共有　　 条对角线；
（3）如图②，当n＝10时，求这个十边形的对角线条数．
【点拨】（1）根据题意列式计算对角线条数即可；
（2）根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线即可求解；
（3）根据（Ⅱ）的结论解答即可．
【解析】解：（1）5×（5﹣3）÷2＝5（条），
即五边形共有5条对角线；
故答案为：5；
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，若允许重复计数，共可作n（n﹣3）条对角线，
故n边形有条对角线；
故答案为：；
（3）当n＝10时，＝35（条），
即这个十边形的对角线条数为35条．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题关键是熟练掌握n边形从一个顶点出发的对角线有（n﹣3）条．
21．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（　　）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【点拨】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【解析】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
22．如图所示，已知∠KEF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠H+∠G+∠M+∠N＝（　　）
A．540° B．600° C．620° D．720°
【点拨】连接CB，由三角形外角的性质可知：∠M+∠N+∠H+∠G＝300°，然后由三角形内角和定理得出∠5+∠6＝60°，再由四边形的内角和公式可求得答案．
【解析】解：连接CB，
根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和可得，∠M+∠N＝∠3，∠H+∠G＝∠4，∠3＝∠1+∠KEF，∠4＝∠2+∠KEF，
∴∠M+∠N+∠H+∠G＝∠3+∠4＝∠1+∠2+2∠KEF＝180°+120°＝300°，
∵∠KEF＝120°，
∴∠FEC＝∠5+∠6＝180°﹣∠KEF＝180°﹣120°＝60°，
∵∠A+∠D+∠7+∠5+∠6+∠8＝360°，
∴∠A+∠D+∠7+∠8＝360°﹣60°＝300°，
∴∠A+∠ABE+∠ECD+∠D+∠H+∠G+∠M+∠N＝600°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质及多边形的内角和定理，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
23．阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
（1）这个“多加的锐角”是 　30　 度．
（2）小明求的是几边形内角和？
（3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
【点拨】（1）根据多边形内角和的计算方法进行估算即可；
（2）根据对话和多边形内角和的计算方法列方程求解即可；
（3）根据正多边形内角的计算方法进行计算即可．
【解析】解：（1）12边形的内角和为（12﹣2）×180°＝1800°，而13边形的内角和为（13﹣2）×180°＝1980°，
由于小红说“多边形的内角和不可能是1830°，你一定是多加了一个锐角”，
所以这个“多加的锐角”是1830°﹣1800°＝30°，
故答案为：30；
（2）设这个多边形为n边形，由题意得，
（n﹣2）×180°＝1800°，
解得n＝12，
答：小明求的是12边形内角和；
（3）正十二边形的每一个内角为＝150°，
答：这个正多边形的一个内角是150°．
【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及正多边形的性质是正确解答的前提．
24．在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
【问题改编】
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝　115°　 ；
【问题推广】
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数；
（3）如图3，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F＝n°，则∠A的度数为 　180°﹣8n°　 （结果用含n的代数式表示）；
【拓展提升】
（4）在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
【点拨】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由角平分线的定义得到∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，再由三角形外角的性质得到∠CBP＝∠BAP+40°，根据三角形内角和定理推出∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝40°，再由垂线的定义得到∠BHP＝90°，则∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝50°．
（3）先由角平分线的定义得到∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠ECB，∠EBC＝2∠FBE＝2∠FBC，∠ECQ＝2∠ECF＝2∠QCF，再由三角形内角和∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠DBC﹣2∠DCB＝4（∠EBC+∠ECB）﹣540°，根据∠F+∠FBC+∠FCB＝∠F+∠EBC﹣∠FBE+∠ECB+∠ECF＝180°，得到∠EBC+∠ECB＝180°﹣2∠F，由此得解．
（4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可．
【解析】解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，
∴2∠PBC+2∠PCB＝130°，即∠PBC+∠PCB＝65°
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°；
（2）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，
∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，
∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB，∠ACB＝80°，
∴2∠CBP＝2∠BAP+∠ACB，
∴∠CBP＝∠BAP+40°，
∵∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC，
∴∠ABC＝100°﹣2∠BAP
∴∠ABP＝∠ABC+∠CBP＝140°﹣∠BAP，
∴∠ABP+∠BAP＝140°，
∴∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝40°，
∵BH⊥AP，即∠BHP＝90°，
∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝50°．
（3）如图3所示，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠ECB，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠EBC＝2∠FBE＝2∠FBC，∠ECQ＝2∠ECF＝2∠QCF，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠DBC＝180°﹣∠MBC，∠DCB＝180°﹣∠BCN，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠DBC﹣2∠DCB
＝180°﹣2（180°﹣∠MBC）﹣2（180°﹣∠BCN）
＝2（∠MBC+∠BCN）﹣540°，
＝2（2∠EBC+2∠ECB）﹣540°
＝4（∠EBC+∠ECB）﹣540°，
又∵∠F+∠FBC+∠FCB＝180°，∠FBC＝∠EBC﹣∠FBE，∠FCB＝∠ECB+∠ECF，
即∠F+∠FBC+∠FCB＝∠F+∠EBC﹣∠FBE+∠ECB+∠ECF＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠F﹣（∠ECF﹣∠FBE），
又∠ECF＝∠QCF，∠FBE＝∠FBC，
∴∠ECF﹣∠FBE＝∠QCF﹣∠FBC＝∠F，
∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠F﹣（∠ECF﹣∠FBE）＝180°﹣2∠F，
∴∠A＝4（∠EBC+∠ECB）﹣540°＝4（180°﹣2∠F）﹣540°＝180°﹣8∠F＝180°﹣8n°．
（4）当点F在点E左侧时，如图4﹣1所示，
∵BE∥CD，
∴∠CBE+∠BCD＝180°，
∵BQ平分∠EBF，CQ平分∠DCF，
∴，，
∵∠EBC+∠FCB＝180°﹣∠DCF＝180°﹣β，
∴；
当F在D、E之间时，如图4﹣2所示：
同理可得
，，
∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠DCF﹣∠EBF＝180°﹣α﹣β，
∴，
当点F在D点右侧时，如图4﹣3所示：
同理可得
，，
∠FBC+∠DCB＝180°﹣∠EBF＝180°﹣∠α，
，
综上所述，F在E左侧；F在ED中间；F在D右侧．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键．
基础过关
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