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10.1　随机事件与概率
10.1.1　有限样本空间与随机事件

[学习目标]　
1.理解随机试验、样本点与样本空间,会写试验的样本空间.　
2.了解随机事件的有关概念,掌握随机事件的表示方法及含义.
1．随机试验
(1)随机试验：我们把对__________的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E表示．
(2)随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下______进行；
②试验的所有可能结果是______可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先__________出现哪一个结果．
随机现象
重复
明确
不能确定
2．样本点、样本空间
定义 字母表示
样本点 我们把随机试验E的____________________称为样本点 用____表示
样本空间 _____样本点的集合称为试验E的样本空间 用____表示
有限样 本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为______________ Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
每个可能的基本结果
ω
全体
Ω
有限样本空间
　一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签,随机地抽取两次,每次抽取一张标签,写出下列试验的样本空间.
(1)标签的抽取是不放回的;
[分析]　将试验的结果一一列举出来,做到不重、不漏,选择恰当的列举方法.
例1
[解]　(1)抽取是不放回的,记(x,y)表示先抽取的数字是x,后抽取的数字是y,
则样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),
(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}.
(2)标签的抽取是有放回的.
[分析]　将试验的结果一一列举出来,做到不重、不漏,选择恰当的列举方法.
[解]　(2)抽取是有放回的,则2张标签上的数字情况可列表如下:
　　　第二次 第一次　　　 1 2 3 4 5
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
所以样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,5)}.
写样本空间的关键是找样本点,具体有三种方法
1.列举法:适用于样本点个数不多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏.
2.列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题,通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
3.树状图法:适用于较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
思维提升
1.(1)将一枚骰子先后抛掷两次,观察它落地时朝上的面的点数,试写出这个试验的样本空间.
跟踪训练
解:(1)两次掷出的点数列表如下:
　第二次 第一次　 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
　第二次 第一次　 1 2 3 4 5 6
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
所以其样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},也可写成Ω={(m,n)|1≤m≤6,1≤n≤6,m,n∈N*}.
(2)连续抛掷3枚硬币,观察落地时这3枚硬币朝上的面的正反情况,试写出这个试验的样本空间.
解:(2)画树状图如图所示.
因此这个试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.
随机事件 我们将样本空间Ω的______称为________，简称事件，并把只包含______样本点的事件称为__________，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为____________
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为__________
不可能 事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为____________
子集
随机事件
一个　
基本事件
事件A发生
必然事件
不可能事件
微提醒：
1．必然事件和不可能事件可作为随机事件的极端情形．
2．每个事件都是样本空间Ω的子集．
　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.
(3)若x∈R,则x2+1≥1.
(4)掷一枚骰子两次,朝上面的数字之和小于2.
[分析]　根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐一判断即可.
例2
[解]　由题意知(1)(2)中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;(3)中事件一定会发生,是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1,两次朝上面的数字之和最小是2,不可能小于2,所以(4)中事件不可能发生,是不可能事件.
对事件分类的两个关键点
思维提升
条件 事件的分类是与一定的条件相对而言的,没有条件,无法判断事件是否发生
结果发 生与否 有时结果较复杂,要准确理解结果包含的各种情况
2.(多选)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片,从中任取3张卡片,则下列判断正确的是(　 　)
A.事件“都是红色卡片”是随机事件
B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C.事件“至少有一张红色卡片”是必然事件
D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件
跟踪训练
ABC
对于A,事件“都是红色卡片”是随机事件,故A正确;
对于B,事件“都是蓝色卡片”是不可能事件,故B正确;
对于C,因为只有2张蓝色卡片,从中任取3张卡片,所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件,故C正确;
对于D,事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件,故D不正确.
　试验E:甲、乙两人玩出拳游戏(石头、剪刀、布),观察甲、乙出拳的情况.
(1)写出试验的样本空间.
[分析]　根据题意写出样本空间,从而表示符合条件的随机事件.
例3
[解]　(1)设石头为w1,剪刀为w2,布为w3,用(i,j)表示游戏的结果,其中i表示甲出的拳,j表示乙出的拳,则样本空间E={(w1,w1),(w1,w2),(w1,w3),
(w2,w1),(w2,w2),(w2,w3),(w3,w1),(w3,w2),(w3,w3)}.
(2)用样本点表示下列事件:
①设事件A表示随机事件“甲乙平局”;
②设事件B表示随机事件“甲赢得游戏”;
③设事件C表示随机事件“乙不输”.
[分析]　根据题意写出样本空间,从而表示符合条件的随机事件.
[解]　(2)①因为事件A表示随机事件“甲乙平局”,
则满足要求的样本点共有3个:(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),
所以事件A={(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3)}.
②事件B表示“甲赢得游戏”,
则满足要求的样本点共有3个:(w1,w2)(w2,w3),(w3,w1),
所以事件B={(w1,w2),(w2,w3),(w3,w1)}.
③因为事件C表示“乙不输”,
则满足要求的样本点共有6个,
(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),(w2,w1),(w1,w3),(w3,w2),
∴事件C={(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),(w1,w3),(w2,w1),(w3,w2)}.
1.随机事件的表示:先列出所有的样本点,再确定要求的随机事件包含哪些样本点,把这些样本点作为元素表示成集合即可.
2.说明随机事件的含义:要先理解事件中样本点的意义,观察它们的规律,进而确定随机事件的含义.
思维提升
3.如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效,元件处于正常状态记为“1”,处于失效状态记为“0”,把每个元件是否处于正常状态看成随机现象,记(a,b,c)表示A,B,C的状态,a,b,c∈{0,1},指出下列随机事件的含义.
(1)事件M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)};
跟踪训练
解:(1)观察事件M中所含的样本点(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),
知每个样本点中都有两个1,一个0,
故事件M的含义为三个电器元件中恰好有两个电器元件处于正常状态.
(2)事件N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)};
解: (2)观察事件N中所含的样本点(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1),
知每个样本点中第一个数均为1,第二个数和第三个数中至少有一个为1,
故事件N的含义为这个电路是通路.
(3)事件P={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.
解: (3)观察事件P中所含的样本点(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0),
知这五个样本点可划分为两类:
第一类:(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),这四个样本点中第1个数均为0;
第二类:(1,0,0),该样本点中第一个数为1,第二个数和第三个数均为0.
这两类样本点包含了这个电路是断路的所有情况.
故事件P的含义为这个电路是断路.
〈课堂达标·素养提升〉
1.将一根长为a的铁丝随意截成三段,这三段铁丝构成一个三角形,此事件是(　　)
A.必然事件　　　　　　　 B.不可能事件
C.随机事件 D.不能判定
C
将一根长为a的铁丝随意截成三段,这三段铁丝可能构成一个三角形,也可能构不成一个三角形,所以是随机事件.
2.已知集合A={2,3},B={1,2,4},从A,B中各任取一个数,构成一个两位数,则所有样本点的个数为(　　)
A.8 B.9
C.12 D.11
D
从A,B中各任意取一个数,可构成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43,共11个样本点.
3.(多选)掷两枚骰子,事件A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}表示(　　)
A.至少有一枚骰子出现1点
B.两枚骰子出现的最大点数为2
C.最多有两枚骰子出现2点
D.两枚骰子只出现1点或2点
BD
事件A中样本点的数字均为1或2.B,D正确.
4.将一枚硬币抛三次,观察其正面朝上的次数,该试验样本空间为　　　　　.
{0,1,2,3}
因为将一枚硬币抛三次,其正面朝上的次数可能为0,1,2,3,所以该试验样本空间为{0,1,2,3}.
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10.1　随机事件与概率
10.1.2　事件的关系和运算

[学习目标]　
1.理解事件的关系和运算.　
2.通过事件之间的运算,理解互斥事件和对立事件的概念.
定义 符号 图示
包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B______发生，就称事件B______事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B____A且A____B，则称事件A与事件B相等 ________
一定
包含


A＝B
　在掷骰子试验中,可以得到以下事件:
A:{出现1点};B:{出现2点};C:{出现3点};D:{出现4点};E:{出现5点};F:{出现6点};G:{出现的点数不大于1};H:{出现的点数小于5};I:{出现奇数点};J:{出现偶数点}.
请判断下列两个事件的关系:
(1)B　　　　　H;(2)D　　　　　J;(3)E　　　　　I;(4)A　　　　　G.
例1



=
因为出现的点数小于5包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B H;同理D J,E I;易知事件A与事件G相等,即A=G.
判断两事件关系的步骤
1.分别列出两事件所包含的样本点.
2.根据样本点的异同判断两事件的关系.
思维提升
1.掷一枚质地均匀的硬币三次,得到如下三个事件:A为“3次正面向上”,B为“只有1次正面向上”,C为“至少有1次正面向上”,试判断事件A,B,C之间的包含关系.
跟踪训练
解:当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此有A C,B C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系.
综上,事件A,B,C之间的包含关系为A C,B C.
定义 符号 图示
并事件(或和事件) 一般地，事件A与事件B______有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
至少
定义 符号 图示
交事件 (或积 事件) 一般地，事件A与事件B______发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
同时
　设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.
(1)三个事件都发生;
例2
[解]　(1)三个事件都发生表示为ABC.
(2)三个事件至少有一个发生;
[解]　(2)三个事件至少有一个发生表示为A∪B∪C.
(3)A发生,B,C不发生;
[解]　(3)A发生,B,C不发生表示为A.
(4)A,B都发生,C不发生;
[解]　(4)A,B都发生,C不发生表示为AB.
(5)A,B至少有一个发生,C不发生;
[解]　(5)A,B至少有一个发生,C不发生表示为(A∪B).
(6)A,B,C中恰好有两个发生.
[解]　(6)A,B,C中恰好有两个发生表示为(AB)∪(AC)∪(BC).
事件间的运算方法
1.利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
2.利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
思维提升
2.连续抛掷两枚骰子,观察落地时向上面的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B.
跟踪训练
解:(1)由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},
事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},
事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
则C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系
解:(2)由(1)知,事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
因为E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},
所以E=B∪C.
定义 符号表示 图示
互斥事件 一般地，如果事件A与事件B________发生，也就是说________是一个不可能事件，即___________，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝
对立事件 _________，__________
不能同时
A∩B
A∩B＝
A∩B＝ 　
A∩B＝ 　
A∪B＝Ω
　判断下列各事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:
(1)恰有1名男生和恰有2名男生.
[分析]　要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出两个事件包含的所有结果,它们之间能不能同时发生,这样便可以判断两个事件是否互斥.在互斥的前提下,看两事件的并事件是否为必然事件,进而可判断是否为对立事件.
例3
[解]　(1)是互斥事件,不是对立事件.
理由是:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件,所以不是对立事件.
(2)至少有1名男生和至少有1名女生.
[分析]　要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出两个事件包含的所有结果,它们之间能不能同时发生,这样便可以判断两个事件是否互斥.在互斥的前提下,看两事件的并事件是否为必然事件,进而可判断是否为对立事件.
[解]　(2)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果.
“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果,它们可同时发生.
(3)至少有1名男生和全是男生.
[分析]　要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出两个事件包含的所有结果,它们之间能不能同时发生,这样便可以判断两个事件是否互斥.在互斥的前提下,看两事件的并事件是否为必然事件,进而可判断是否为对立事件.
[解]　(3)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生.
(4)至少有1名男生和全是女生.
[分析]　要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出两个事件包含的所有结果,它们之间能不能同时发生,这样便可以判断两个事件是否互斥.在互斥的前提下,看两事件的并事件是否为必然事件,进而可判断是否为对立事件.
[解]　(4)是互斥事件,也是对立事件.
理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生.其并事件是必然事件,所以是对立事件.
1.判断事件是否互斥的两个步骤:第一步,确定每个事件包含的结果;第二步,确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生,若是,则两个事件不互斥,否则就是互斥的.
2.判断事件是否对立的两个步骤:第一步,判断是否为互斥事件;第二步,确定两个事件必然有一个发生,否则只是互斥,但不对立.
思维提升
3.(多选)从1,2,3,…,9中任取三个不同的数,则在下述事件中,是互斥但不是对立事件的有(　　)
A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数”
B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”
C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”
D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”
跟踪训练
AD
从1~9中任取三个不同的数,按这三个数的奇偶性分类,有四种情况:
(1)三个均为奇数;(2)两个奇数一个偶数;(3)一个奇数两个偶数;(4)三个均为偶数,所以选项A,D是互斥但不是对立事件,选项C是对立事件,选项B不是互斥事件.
4.(多选)从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品,设A={3件产品全不是次品},B={3件产品全是次品},C={3件产品有次品,但不全是次品},则下列结论中正确的是(　 　)
A.A与C互斥　　　　　　　 B.B与C互斥
C.任何两个都互斥 D.A与B对立
ABC
由题意可知,C={3件产品有次品,但不全是次品},包含“1件次品、2件正品”“2件次品、1件正品”两个样本点,
A={3件产品全不是次品}={3件产品全是正品},
B={3件产品全是次品},由此知,A与C互斥,B与C互斥,A与B互斥,故A,B,C正确;
由于样本空间中还包含“1件次品,2件正品”“2件次品,1件正品”两个样本点,故A与B不对立,故D错误.
1.某人连续射击两次,事件“两次都没有命中目标”的对立事件是(　　)
A.至少有一次命中目标
B.至多有一次命中目标
C.恰好两次都命中目标
D.恰好有一次命中目标
A
由对立事件定义知:事件“两次都没有命中目标”的对立事件为“至少有一次命中目标”.
2.某篮球运动员进行投篮训练,连续投篮两次,设事件A表示随机事件“两次都投中”,事件B表示随机事件“两次都未投中”,事件C表示随机事件“恰有一次投中”,事件D表示随机事件“至少有一次投中”,则下列关系不正确的是(　　)
A.A D　　　　　　　　 B.B∩D=
C.A∪B=B∪D D.A∪C=D
C
根据题意可得:事件A表示“两次都投中”;事件B表示“两次都未投中”;事件C表示“恰有一次投中”;事件D表示“至少有一次投中”,即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”,故A D,所以选项A正确;
事件B和事件D是对立事件,故B∩D= ,所以选项B正确;
事件A∪B表示“两次都投中”或“两次都未投中”,而事件B∪D表示“两次都未投中” “两次都投中”或“恰有一次投中”,故选项C错误;
事件A∪C表示“两次都投中”或“恰有一次投中”,故A∪C=D,所以选项D正确.
3.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数,事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字,则事件A∩B用样本点表示为　　　　　　　　　　　　　　.
{10,20,30,40,50,32,42,52,54}
从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数,所有的样本点为10,12,13,14,15,20,21,23,24,25,30,31,32,34,35,40,41,42,43,45,50,51,52,53,54,共25个,则事件A={10,12,14,20,24,30,32,34,40,42,50,52,54},事件B={10,20,30,40,50,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54},故事件A∩B用样本点表示为{10,20,30,40,50,32,42,52,54}.
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10.1　随机事件与概率
10．1.3　古典概型

[学习目标]　
1.了解随机事件概率的含义及表示.　
2.理解古典概型的概念及特点.　
3.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题的方法.
试验具有如下共同特征：
1．有限性：样本空间的样本点只有______个．
2．等可能性：每个样本点发生的可能性______．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
有限
相等
下列概率模型是古典概型吗 为什么
(1)口袋中有2个红球,2个白球,每次从中任取一球,观察颜色后放回,直到取出红球;
例1
[解]　(1)属于有放回抽样,依次摸出的球可以重复,所有可能结果有无限个,因此该试验不是古典概型.
(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表.
[解]　(2)从5名同学中任意抽取1名,有5种等可能发生的结果,因此该试验是古典概型.
判断某个概率模型是否为古典概型,要看其是否具备古典概型的两个特征,即有限性和等可能性.如果具备,则是古典概型;若不具备,则不是古典概型.
思维提升
1.(多选)下列试验中是古典概型的是(　　)
A.抛一枚质地均匀的硬币,观察其正面或反面出现的情况
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1个球
C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点
D.射击运动员向一靶心进行射击,观察其环数
跟踪训练
AB
选项A,正面和反面出现的概率相同,是古典概型;选项B,每个球被抽到的概率相等,是古典概型;选项C,样本点有无限个,不是古典概型;选项D,命中10环,9环,…,0环的概率不等,不是古典概型.
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中
的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=________.其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.
(1)所取的2道题都是甲类题的概率.
[分析]　先确定样本空间包含的样本点的总数,再确定随机事件所包含的样本点个数,最后利用公式求解.
例2
[解]　将4道甲类题依次编号为1,2,3,4;2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题,这个试验的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点,且每个样本点出现的可能性是等可能的,可用古典概型来计算概率.
(1)用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件,则A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共含有6个样本点,所以P(A)=.
(2)所取的2道题不是同一类题的概率.
[分析]　先确定样本空间包含的样本点的总数,再确定随机事件所包含的样本点个数,最后利用公式求解.
[解]　(2)用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件,则B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共包含8个样本点,所以P(B)=.
求解古典概型“四步”法
思维提升
2.某中学调查了某班所有同学参加唱歌社团和跳舞社团的情况,数据如下表:(单位:人)
跟踪训练
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率.
参加唱歌社团 未参加唱歌社团
参加跳舞社团 6 14
未参加跳舞社团 13 12
解:(1)由调查数据分析易得全班总人数为6+13+14+12=45,
因既未参加唱歌社团也未参加跳舞社团的同学有12个,
则从该班级随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P=.
(2)在既参加唱歌社团又参加跳舞社团的6名同学中,有3名男同学,3名女同学,现从6名同学随机选3人,求恰好是2名男同学和1名女同学的概率.
解: (2)记3名男同学为A1,A2,A3,3名女同学为B1,B2,B3,
从6名同学随机选3人,其一切可能的结果组成的基本事件有:
{A1,A2,A3},{A1,A2,B1},{A1,A2,B2},{A1,A2,B3},{A1,A3,B1},{A1,A3,B2},{A1,A3,B3},{A2,A3,B1},{A2,A3,B2},{A2,A3,B3},{A1,B1,B2},{A2,B1,B2},{A3,B1,B2},{A1,B1,B3},{A2,B1,B3},{A3,B1,B3},{A1,B2,B3},{A2,B2,B3},{A3,B2,B3},{B1,B2,B3}共20个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.而事件“恰好是2名男同学和1名女同学”所包含的基本事件有9个.因此事件“恰好是2名男同学和1名女同学”的概率为P=.
　已知某公司统计了一种产品在2023年各月的销售情况,如图,公司将每连续3个月的销售量为一个观测组,对该公司这种产品的销售量(单位:万)进行监测和预测.
例3
[分析]　(1)列举出10个观测组中的数据,求出符合题意的观测组数据个数即可得出概率;
(1)现从产品的10个观测组中任取一组,求组内三个月中至少有一个销售量高于50万的概率.
[解]　(1)根据题意可知,10个观测组中的数据分别为(36,44,48),(44,48,52),
(48,52,45),(52,45,40),(45,40,50),(40,50,54),(50,54,51),(54,51,56),(51,56,57),
(56,57,60),至少有一个高于50万的数据有8组,
所以从10个观测组中任取一组,组内三个月中至少有一个销售量高于50万的概率P=.
(2)若当月的销售量大于上一个月的销售量,则称该月的销售指数增长;若当月的销售量小于上一个月的销售量,则称该月的销售指数下降.(已知1月份的销售量低于2022年12月份销售量).现从10个观测组中任取一组,求抽到的观测组中销售指数增长月份恰有2个的概率.
[分析]　(2)将销售指数增长记为“1”,销售指数下降记为“0”,得出每个月的增长指数情况,求出销售指数增长月份恰有2个的数据组数,即可得出结论;
[解]　(2)将销售指数增长记为“1”,销售指数下降记为“0”,则10个观测组中的销售指数可表示为(0,1,1),(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,1),
(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1).
观测组中销售指数增长月份恰有2个的共有6组,
即从10个观测组中任取一组,抽到的观测组中销售指数增长月份恰有2个的概率P=.
(3)假设该产品每月的销售指数是否增长只受上一个月销售指数的影响,预测2024年1月份“销售指数增长”和“销售指数下降”的概率估计值哪个最大(直接写出结果).
[分析]　(3)易知12月份为“销售指数增长”月,求出连续两个月为增长的概率即可得出结论.
[解]　(3)易知12月份为“销售指数增长”月,12个月当中每个月的销售指数可表示为0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1,1,易得“销售指数增长”的月份共有8个,
上个月增长下个月也增长的月份共5个,即可知2024年1月份“销售指数增长”和“销售指数下降”的概率估计值分别为,
因此2024年1月份“销售指数增长”的概率估计值最大.

应用古典概型的概率公式求事件的概率时,首先应判断该试验是不是古典概型,然后再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数及事件包含的样本点个数,最后代入公式求出概率.
思维提升
3.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动,参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数,设两次记录的数分别为x,y,奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,
小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率.
跟踪训练
解:用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间Ω={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4},其中共有16个样本点.
(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点个数为5,
即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=,即小亮获
得玩具的概率为.
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
解: (2)记“xy≥8”为事件B,“3即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)=.
事件C包含的样本点个数为5,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),
所以P(C)=,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
〈课堂达标·素养提升〉
1.(多选)下列情境适合用古典概型来描述的是(　　)
A.向一条线段内随机地投射一个点,观察点落在线段上不同位置
B.五个人站一排,观察甲乙两人相邻的情况
C.从一副扑克牌(去掉大、小王共52张)中随机选取1张,这张牌是红色牌
D.某同学随机地向靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环…命中1环和脱靶
BC
对于A,试验结果有无数个,显然不是古典概型,故错误;对于B,试验结果有限且等可能,故正确;对于C,试验结果有限且等可能,故正确;对于D,显然试验结果并非等可能,故错误.
2.算盘的每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面的2颗珠叫“上珠”,梁下面的5颗叫“下珠”,则从算盘内任取一颗珠子是“下珠”的概率为(　　)
A.
C.
A
由题知,从算盘内任取一颗珠子是“下珠”的概率,等于从算盘的每个档(挂珠的杆)内任取一颗珠子是“下珠”的概率,即.
3.有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和不小于4的概率为(　　)
A.
C.
A
从袋中一次随机摸出2个球,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),6个基本事件,其中摸出的2个球的编号之和不小于4的事件为(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),4个基本事件,因此概率为.
4.在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红球和黑球,已知袋中有红球5个,黑球m个,从袋中随机摸出一个红球的概率是,则m的值为　　　　　.
10
根据题意,从袋中随机摸出一个红球的概率是P=,所以m=10.
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10.1　随机事件与概率
10.1.4　概率的基本性质

[学习目标]　
1.结合实例,理解概率的基本性质.　
2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题的方法.
一般地，概率有如下性质：
性质1　对任意的事件A，都有P(A)______0.
性质2　必然事件的概率为______，不可能事件的概率为______，即P(Ω)＝______，P( )＝______．
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝________________．
如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之____，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝______________________________．
≥　
　0　
1　
1
0
P(A)＋P(B)
和
P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝___________，P(A)＝____________．
性质5　如果A B，那么________________．
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
1－P(A)
1－P(B)　
P(A)≤P(B)　
　(1)下列说法正确的个数是(　　)
①必然事件的概率等于1;
②某事件的概率等于1.1;
③某事件的概率是0.
A.0　　　　　　　　　　　 B.1
C.2 D.3
例1
C
(1)①③正确,②错误.
(2)抛掷两枚硬币,事件A表示“至少一枚正面朝上”,事件B表示“两枚正面都不朝上”,则(　　)
A.P(A)=P(B) B.P(A)>P(B)
C.P(A)1
B
(2)记硬币正面向上为正,反面向上为反,抛掷两枚硬币的样本空间Ω={(正正),(正反),(反正),(反反)},共4个样本点,A={(正正),(正反),(反正)},共3个样本点,因此P(A)=,显然事件A与B互为对立事件,所以P(B)=1-P(A)=,显然选项A,C,D不满足,B满足.
1.由于事件的样本点数总是小于或等于试验的样本空间,所以任何事件的概率都在0~1之间,即0≤P(A)≤1.
2.利用概率性质进行判断时,要注意每一条性质使用的条件.
思维提升
1.若A,B为互斥事件,则(　　)
A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1
跟踪训练
D
因为A,B为互斥事件,所以A∪B是随机事件或必然事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)≤1,当A,B为对立事件时,P(A)+P(B)=1.
2.下列说法正确的是(　　)
A.当A,B不互斥时,可由公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)计算A∪B的概率
B.A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小
C.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件
D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大
A
根据概率的性质可知,当A,B不互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),
故A中说法正确;
对于两个不可能事件来说,同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等,均为零,故B中说法错误;
在条件P(A)+P(B)=1下,事件A与事件B不一定互斥,故事件A与B不一定是对立事件,故C中说法错误;
当事件A与事件B互斥时,则事件A,B中至少有一个发生的概率与A,B中恰有一个发生的概率相等,故D错误.
　某商场有奖销售活动中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C).
例2
[解]　(1)由题意知,P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(2)1张奖券的中奖概率.
[解]　(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖,设“1张奖券中奖”为事件M,
则M=A∪B∪C.
因为A,B,C两两互斥,
所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
[解]　(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)=1-.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
互斥事件、对立事件的概率公式的应用
1.互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)是一个非常重要的公式,运用该公式解题时,首先要分清事件间是否互斥,同时要学会把一个事件拆分为几个互斥事件,然后求出各事件的概率,用概率加法公式得出结果.
2.当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时,可先计算出其对立事件的个数,求得对立事件的概率,然后利用对立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=1(A与B互为对立事件),求出符合条件的事件的概率.
思维提升
3.在一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个.试求:
(1)取得两个红球的概率;
跟踪训练
解:设取得两个红球为事件A,取得两个绿球为事件B,至少取得一个红球为事件C,易知A,B为互斥事件,B,C为对立事件.
(1)7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有10×9=90(个),
其中事件A发生所包含的基本事件有7×6=42(个),
事件B发生所包含的基本事件有3×2=6(个),
所以P(A)=,P(B)=,
所以取得两个红球的概率为P(A)=.
(2)取得两个同颜色的球的概率;
解: (2)取得两个同颜色的球的概率为P(A)+P(B)=.
(3)至少取得一个红球的概率.
解: (3)至少取得一个红球的概率为P(C)=1-P(B)=1-.
　袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是.
(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率;
例3
[解]　(1)从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,它们彼此互斥,
则P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,P(C∪D)=P(C)+P(D)=,
P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-.
解得P(B)=,P(C)=,P(D)=,
故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为,,.
(2)从中任取一球,求得到的不是红球也不是绿球的概率.
[解]　(2)事件“得到红球或绿球”可表示为A∪D,由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)=P(A)+P(D)=,
故得到的不是红球也不是绿球的概率P=1-P(A∪D)=1-.

求某些较复杂事件的概率,通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率,再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.
思维提升
4.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个题,其中选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少
跟踪训练
解:把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2,
则“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;
“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种;
“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1,p2),(p2,p1),共2种.
因此样本点的总数为6+6+6+2=20.
(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,则P(A)=;
记“甲抽到判断题,乙抽到选择题”为事件B,则P(B)=.
故“甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题”的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=.
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少
解: (2)记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件C,
则事件为“甲、乙两人都抽到判断题”,由题意得P()=,
故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)=1-P()=
1-.
〈课堂达标·素养提升〉
1.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是(　　)
A.0.42　　　　　　　　 B.0.28
C.0.3 D.0.7
C
∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,∴摸出黑球的概率
是1-0.42-0.28=0.3.
2.已知P(A)=0.4,P(B)=0.3,如果P(A∩B)=0,那么P(A∪B)等于(　　)
A.0.7 B.0.6
C.0.4 D.0.3
A
∵P(A∩B)=0,∴A,B互斥,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7.
3.(多选)一个质地均匀的骰子,掷一次骰子并观察向上的点数.A表示事件“骰子向上的点数大于等于3”,B表示事件“骰子向上的点数为奇数”,则(　 )
A.P(A)= B.P(B)=
C.P(A+B)= D.P(A∩B)=
ACD
掷一枚骰子并观察向上的点数,样本空间为{1,2,3,4,5,6},共6个样本点,则A={3,4,5,6},共4个样本点,所以P(A)=,故A正确;
B={1,3,5},共3个样本点,所以P(B)=,故B错误;
由选项A,B知,A+B={1,3,4,5,6},共5个样本点,所以P(A+B)=,故C正确;
由选项A,B知,A∩B={3,5},共2个样本点,所以P(A∩B)=,故D正确.
4.张三和李四下棋,张三获胜的概率是,和棋的概率是,则张三不输的概
率为　　　　　.
由题意得,张三不输的情况有:和棋或者获胜,所以张三不输的概率P=.
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