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(共45张PPT)
10.2　事件的相互独立性

[学习目标]　
1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义,能在实际情境中判断事件的独立性.　
2.结合古典概型,利用独立性计算概率,并能解决一些实际问题.
对任意两个事件A与B，如果_________________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
P(AB)＝P(A)P(B)
　判断下列各对事件是不是相互独立事件.
(1)一筐内有6个苹果和3个梨,“从中任意取出1个,取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内,再从筐内任意取出1个,取出的是梨”;
[分析]　通过“一个事件是否发生不影响另一事件发生的概率”直接判断,也可以利用“P(AB)=P(A)P(B)成立”来定量计算判断相互独立.
例1
[解]　(1)由于把取出的水果又放回筐内,故“从中任意取出1个,取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个,取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响,所以二者是相互独立事件.
(2)一个布袋里有大小完全相同的3个白球,2个红球,“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回,再从中任意取1个球是红球”.
[分析]　通过“一个事件是否发生不影响另一事件发生的概率”直接判断,也可以利用“P(AB)=P(A)P(B)成立”来定量计算判断相互独立.
[解]　(2)不放回地取球,前者的发生影响后者发生的概率,所以二者不是相互独立事件.
两个事件是否相互独立的判断方法
1.直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
2.公式法:若P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B为相互独立事件.
思维提升
1.已知甲袋中有标号分别为1,2,3,4的四个小球,乙袋中有标号分别为2,3,4,5的四个小球,这些球除标号外完全相同,第一次从甲袋中取出一个小球,第二次从乙袋中取出一个小球,事件A表示“第一次取出的小球标号为3”,事件B表示“第二次取出的小球标号为偶数”,事件C表示“两次取出的小球标号之和为7”,事件D表示“两次取出的小球标号之和为偶数”,则(　　)
A.A与C相互独立　　　　　 B.A与B是对立事件
C.C与D是对立事件 D.B与D相互独立
跟踪训练
D
由题意可得基本事件总数为4×4=16,则A={(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)},
B={(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4)},C={(2,5),(3,4),(4,3)},
D={(1,3),(1,5),(3,3),(3,5),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)},由题意可得A与B可以同时发生,故不是对立事件,易知C与D不同时发生,为互斥事件,但不是对立事件,比如还可以有(2,3)发生,则B,C错误.P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(AC)=,P(BD)=,
则P(AC)≠P(A)P(C),P(BD)=P(B)P(D),
从而A与C不相互独立,B与D相互独立,故A错误,D正确.
相互独立
相互独立
相互独立
　(1)(多选)设M,N为两个随机事件,给出以下命题正确的是(　　 )
A.若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件
B.若P()=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件
C.若P(M)=,P()=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件
D.若P(M)=,P(N)=,P()=,则M,N为相互独立事件
[分析]　(1)根据相互独立事件的概念判断.
例2
ABD
(1)若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则P(MN)=P(M)P(N),
则M,N为相互独立事件,故A正确;
若P()=,P(N)=,P(MN)=,则P(M)=1-P()=,P(MN)=P(M)P(N),
则M,N为相互独立事件,故B正确;
若P(M)=,P()=,则P(N)=1-P()=,P(MN)=,则M,N不是相互独立事件,故C错误;
若P(M)=,P(N)=,P()=,则P(MN)=1-P()==P(M)P(N),则M,N为相互独立事件,故D正确.
(2)已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则
P(A)=　　　　;P()=　　　　.
[分析] (2)A,B相互独立,则A与,也相互独立.
(2)∵P(A)=,P(B)=,
∴P()=,P()=.
又事件A,B相互独立,∴事件A,相互独立,事件,相互独立,
∴P(A)=P(A)P()=,
P()=P()P()=.
2.(多选)若事件A,B满足P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则下列说法正确的是(　 　)
A.P()=　　　　　　　 B.P(AB)=
C.P(AB)=P(A)P(B) D.P()≠P()P()
跟踪训练
ACD
对于A,由P(B)=,可得P()=1-P(B)=,所以A正确;
对于B,由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,可得P(AB)=,所以B错误;
对于C,由P(A)=,P(B)=,P(AB)=,
可得P(AB)=P(A)P(B),所以C正确;
对于D,由P()=1-P(AB)=,P()P()=,
所以P()≠P()P(),所以D正确.
3.事件A,B,C互相独立,若P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=　　　　.
因为事件A,B,C互相独立,
所以解得
　某校团委举办“奥运会”知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均须参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为,,在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为,.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大
[分析]　首先判断事件是否相互独立,然后利用相互独立事件的性质和公式计算.
例3
[解]　(1)记事件A1表示“甲在第一轮比赛中胜出”,事件A2表示“甲在第二轮比赛中胜出”,
事件B1表示“乙在第一轮比赛中胜出”,事件B2表示“乙在第二轮比赛中胜出”,
所以A1A2表示“甲赢得比赛”,P(A1A2)=P(A1)·P(A2)=,
B1B2表示“乙赢得比赛”,P(B1B2)=P(B1)P(B2)=,
因为,所以派乙参赛赢得比赛的概率更大.
(2)若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
[分析]　首先判断事件是否相互独立,然后利用相互独立事件的性质和公式计算.
[解]　(2)记C表示“甲赢得比赛”,D表示“乙赢得比赛”,
由(1)知P()=1-P(A1A2)=1-,
P()=1-P(B1B2)=1-,
所以C∪D表示“两人中至少有一个赢得比赛”,
P(C∪D)=1-P()=1-P()P()=1-,所以两人中至少有一人赢得比赛的概率为.
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
1.用恰当的字母表示题中有关事件.
2.根据题设条件,分析事件间的关系.
3.将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立).
4.计算出结果.
思维提升
4.甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是.
(1)分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率;
跟踪训练
解:(1)记事件A:甲机床加工的零件是一等品,事件B:乙机床加工的零件是一等品,且A与B相互独立,
由题意得,P(AB)=,P(B)=,所以
解得P(A)=,P(B)=.
(2)从甲加工的零件中取两个,从乙加工的零件中取一个检验,求至少有一个一等品的概率.
解: (2)记事件C:从甲加工的零件中取两个都不是一等品,
事件D:抽取的三个零件至少有一个一等品,则P(C)=P()P()=,
所以P(D)=1-P(C )=1-P(C)P()=1-.
已知事件A，B相互独立
事件 表示 概率
A，B同时发生 AB P(A)P(B)
A，B都不发生 ______ __________
A，B恰有一个发生 __________ ____________________
A，B中至少一个发生 __________________ ___________________________
A，B中至多一个发生 ________________________ ________________________________________
　已知甲投篮命中的概率为0.6,乙投篮不中的概率为0.3,乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35,假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.
(1)求丙投篮命中的概率;
[分析]　(1)首先设甲,乙,丙投篮命中分别为事件A,B,C,根据独立事件概率公式,即可求解;
例4
[解]　(1)设甲投篮命中为事件A,乙投篮命中为事件B,丙投篮命中为事件C,
由题意可知,P(A)=0.6,P()=0.3,
P(BC)=P(B)P(C)=0.35,
则P(B)=1-P()=0.7,P(C)==0.5,
所以丙投篮命中的概率为0.5.
(2)甲、乙、丙各投篮一次,求甲和乙命中,丙不中的概率;
[分析] (2)根据(1)的结果,根据公式P(AB )=P(A)P(B)P(),即可求解;
[解]　(2)设甲和乙命中,丙不中为事件D,
则P(D)=P(AB )=P(A)P(B)P()=0.6×0.7×0.5=0.21,
所以甲和乙命中,丙不中的概率为0.21.
(3)甲、乙、丙各投篮一次,求恰有一人命中的概率.
[分析] (3)首先表示3人中恰有1人命中的事件,再根据概率的运算公式,即可求解.
[解]　(3)设甲、乙、丙各投篮一次,恰有一人命中为事件E,
则P(E)=P(A C),
=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)
=0.6×0.3×0.5+0.4×0.7×0.5+0.4×0.3×0.5=0.29.
将较复杂事件用简单事件的运算表示,再利用互斥、对立、独立等关系计算概率.在答题时要注意:
1.对事件的分解,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多一个发生”“恰好一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.其中“至少有一个发生”的否定即“都不发生”,“至多一个发生”的否定是“至少两个发生”.
2.“至少”或“至多”类问题注意“正易则求,正难则反”的解题策略应用.
思维提升
5.一个问题,甲正确解答的概率为0.8,乙正确解答的概率为0.7.记事件A:甲正确解答,事件B:乙正确解答.假设事件A与B相互独立.
(1)求恰有一人正确解答问题的概率;
跟踪训练
解:(1)事件“恰有一人正确解答”可表示为,
因为B,A 互斥,A与B相互独立,
所以P()=P(B)+P(A )=P()P(B)+P(A)P()
=0.2×0.7+0.8×0.3=0.38.
(2)某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下:
解:“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”,
所以随机事件“问题被正确解答”可以表示为A+B.
所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5.
请你指出这位同学错误的原因,并给出正确解答过程.
解: (2)该同学错误在于事件A,B不互斥,而用了互斥事件的概率加法公式.
正确的解答过程如下:
“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”,
可以表示为+AB,且B,A ,AB两两互斥,A与B相互独立,
所以P(+AB)=P(B)+P(A )+P(AB)
=P()P(B)+P(A)P()+P(A)P(B)=0.2×0.7+0.8×0.3+0.8×0.7=0.94.
或者P(A+B)=1-P()=1-P()P()=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94.
〈课堂达标·素养提升〉
1.掷一枚正方体骰子一次,设事件A=“出现偶数点”,事件B=“出现3点或6点”,则事件A,B的关系是(　　)
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
B
事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}.
所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=,即P(AB)=P(A)P(B),因此事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B同时发生,所以A,B不是互斥事件.
2.小明使用密码开保险柜时,忘记了密码的前两位,只记得第一位是0,9中的一个数字,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小明输入一次密码能够成功打开保险柜的概率是(　　)
A.
C.
B
设事件A为“选对第一位数字”,则P(A)=;
事件B为“选对第二位数字”,则P(B)=,
由题意,A,B为相互独立事件,
故所求概率为P(AB)=P(A)P(B)=.
3.(多选)已知甲运动员的投篮命中率是0.8,乙运动员的投篮命中率是0.9,甲、乙投篮互不影响.若两人各投篮一次,则(　　)
A.都没有命中的概率是0.02
B.都命中的概率是0.72
C.至少一人命中的概率是0.94
D.恰有一人命中的概率是0.18
AB
都没有命中的概率为(1-0.8)×(1-0.9)=0.02,A正确;
都命中的概率为0.8×0.9=0.72,B正确;
至少一人命中的概率为1-(1-0.8)×(1-0.9)=0.98,C错误;
恰有一人命中的概率为0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.26,D错误.
4.已知盒子中有大小、形状都相同的4个红球和2个白球,每次从中取一个球,取到红球记1分,取到白球记2分.如果有放回的抽取2次,则“2次所
得分数之和为3分”的概率是　　　　　.
由题意,2次所得分数之和为3分,
则第1次取出红球,第2次取出白球或第1次取出白球,第2次取出红球,
由于有放回抽取,两次抽取为相互独立事件,
其概率为P=.
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