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微专题10 空间向量与立体几何
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
应用空间向量解决立体几何问题是高考的热点内容、必考内容.
试题主要是应用空间向量求解“角”，也可以应用空间向量证明或判
断线、面的位置关系，试题主要以解答题的形式考查，试题难度中
等.高考备考建议要熟练掌握各类角与空间向量的关系，并且能够熟
练、准确地建立空间直角坐标系和确定点的坐标.
微点1 应用空间向量判断线、面位置关系
例1 [2022·全国乙卷]在正方体中，， 分别为
, 的中点，则( )
A.平面 平面 B.平面 平面
C.平面平面 D.平面平面
√
[解析] 在正方体中，且 平面
，又 平面，所以，因为,分别为,
的中点，所以，所以，又 ，所以
平面，又 平面，所以平面 平面 ，
故A正确.
以D为坐标原点，，，的方向分别为，， 轴正方向建立
空间直角坐标系，设，则， , ,
,,,,， ，则
,，, ，
,,,设平面 的法向量
为，则有可取 .
同理可得平面的一个法向量为，平面 的
一个法向量为，平面 的一个法向量为
，因为，所以平面 与
平面不垂直，故B错误；
因为，所以与 不平行，所以平面与平面不
平行，故C错误；
因为 ，所以与不平行，所以平面与平面
不平行，故D错误.故选A.
【规律提炼】
应用空间向量判断和证明立体几何中线、面位置关系的策略：
（1）准确建立空间直角坐标系.一般建系以对称为原则，以坐标最简
化为原则，进而确定各个关键点的坐标，注意一些非特殊点可以通
过共线条件，利用方程思想进行求解.
（2）准确确定平面的法向量、直线的方向向量.线、面位置关系的判
断有两种方法：一是直接应用向量方法判断线线的平行和垂直关系，
然后根据线、面位置关系的判定定理和性质定理进行判断；二是应
用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系进行判断.
【巩固训练】
1.[2024·山东菏泽二模]如图，在正方体
中， ,
，则下列结论中正确的是
( )
A.平面
B.平面 平面
C. 平面
D.平面内存在与 平行的直线
√
[解析] 设正方体的棱长为2，以D为坐标原
点，的方向为轴正方向，的方向为 轴
正方向，的方向为 轴正方向建立空间直
角坐标系，则,, ,
,,, ，
，，所以 ，
，，，设平面 的法向
量为 ， 则即
令，则，同理可得平面
的一个法向量为 ，因为
,所以 ，故A不正确；
，故B不正确；
,, ，
则, ，所以 ,
，又 ，所以 平面 ，故C正确；
易知平面的一个法向量为 ，则 ，
故D不正确.故选C.
2.[2024·太原三模] 如图，在正方体中，，，
分别是棱，， 的中点.
证明：如图，以为坐标原点，,, 所在直线
分别为,, 轴，建立空间直角坐标系，不妨设
，则, , ,, ，
可得, , .
设平面的法向量为 ，则
令，则,，可得 .因为，
且 平面，所以平面 .
（1）证明：平面 ；
（2）证明： .
解：由（1）可得 ,
则 ，
又 ，
所以，所以 .
微点2 应用空间向量求空间角
例2 [2024·新课标Ⅱ卷] 如图，平面四边
形中，,, ,
, ,点， 满足
,，将沿 对
折至，使得 .
证明：在中， ，
， ，
， .
， ，得， ，
又,, 平面 ， 平面 ，
又 平面， .
（1）证明： ;
（2）求平面与平面 所成的二面角的正
弦值.
解：连接， ，
， ,,得 .
又, ，, .
又，,, 平面 ， 平面 ，
，即，， 两两垂直. 以为原点，，，
所在直线分别为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
,, , ，,
由为 的中点, 得，得
, ,
, .
设平面的法向量为 ,
则 令,则 .
设平面的法向量为 ，
则
令,则 .
设平面与平面所成的二面角为 ，
, ，
.
【规律提炼】
应用空间向量求解空间角问题的策略：
（1）明确各个角的范围：二面角的范围是，线面角的范围是
，异面直线所成角的范围是，两个向量夹角的范围是.
（2）明确两向量夹角与空间角的关系：两个平面法向量的夹角与其
所成二面角相等或互补，求值之前要先判定所求的二面角是锐角还
是钝角或直角，进而应用两平面法向量的夹角进行求解；直线方向
向量与平面法向量的夹角与其对应的线面角的关系是相加等于 或相
减等于 ，即三角函数值“互余”.
（3）求解过程中要注意细节问题，比如角的范围问题、角的类型、
函数值的符号、函数名等.
【巩固训练】
[2023·新课标Ⅱ卷] 如图，三棱锥中， ，
， ，为 的中点.
证明：如图，连接， ,
, ，
， ,
又为的中点，, ,
又， 平面 ，
平面， .
（1）证明： ；
解：设 ，由
可知与 均为等边三角形， .
,，则 .
，为直角三角形，
且 ， .
， ，
又， ，，， 两两垂直. 以为原点，以,
, 所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系，如图，
（2）点满足，求二面角 的正弦值.
则， ，， ，
设，则 ，又
， . ，
设平面 的法向量为 ，
则 令，可得 .
,
设平面的法向量为 ，
则
令，可得 .
, ，故二面角 的正弦值为
.
微点3 应用空间向量求空间距离
例3 [2024·长沙二模] 如图，在三棱锥中，,, 两两
垂直，,分别是, 的中点.
（1）证明： ；
解：方法一：证明：因为,，, ,
平面，所以 平面 .
以为坐标原点，以过且与 平行的直线为
轴，以，所在直线分别为 轴、 轴建立空
间直角坐标系（如图）.
设,,，则 , ，，
, , ，所以, ，
因为，所以 .
方法二：（1）证明：取的中点，连接, ，如图.
因为,分别是, 的中点，
所以, ，
又, ，所以,，
又，且, 平面 ，
所以 平面，
又 平面，所以 .
解：方法一：由（1）知 ，
易知是平面 的一个法向量.
因为直线与平面所成的角为 ，
所以，即 .
（2）设,,直线与平面所成的角为，
求点 到平面 的距离.
在中， ，
在中，
，即，可得 .
因为，所以是平面
的一个法向量，
故点到平面的距离为 .
方法二：因为,，, , 平面 ，
所以 平面，即棱的长即为点 到平面 的距离.
同理可得 平面，又 平面，所以 .
连接，如图，易知 .
由（1）知，，在 中，
.
因为，所以 平面 ,
所以是直线与平面 所成的角，
即 ，
则 ,
所以 .
所以点到平面的距离为 .
【规律提炼】
应用空间向量方法求解距离问题的策略:
1.点到平面的距离
如图，已知平面 的一个法向量为， 是平面
内的定点，是平面 外一点.过点作平面
的垂线，交平面 于点，则是直线 的方向
向量，且点到平面 的距离就是在直线 上
的投影向量 的长度，因此
.
2.点到直线的距离
设过点的直线的单位方向向量为，为直线外一点，点到直线
的距离 .
3.线面距离和面面距离
直线到平面的距离和平面到平面的距离可以转化为点到平面的距离
进行求解.
【巩固训练】
[2024·哈尔滨二模] 如图，已知正三棱柱
的侧棱长和底面边长均为2， 是
的中点，是的中点，是 的中点.
（1）证明：平面 ；
证明：由题意知， 平面 ，
，又 平面 ，
所以，在平面内过点作 轴，
使得 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则,,,,， ，
得,, ，
所以,, .
设平面的法向量为 ，
则令，
得, ，所以 ，
所以，又直线
不在平面内，所以平面 .
解：如图，连接 ，由（1）得
，则 ，
，
又,所以点到直线 的距离
.
（2）求点到直线 的距离.
微点4 应用空间向量求解探究性问题
例4 [2024·南昌二模] 在如图所示的直三棱柱 中，
，，为的中点，， 分别为
， 的中点.
解：和 不垂直，理由如下：
以点为坐标原点，直线，，分别为 ,
, 轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，， ，
， ，，
所以 ， ，
因为 ，
所以和 不垂直.
（1）判断和 是否垂直，并说明理由.
（2）设，是否存在 ，使得平面 与平面
的夹角的余弦值为？若存在，请求出 的值；若不存在，请说
明理由.
解：假设存在 使得平面与平面 的
夹角的余弦值为 ，
由（1）得，则 ，由
，得 ，所以
. 显然平面的一个法向量为 .
设平面的法向量为 ，则
取 ，
得 .
设平面与平面的夹角为 ，则 ,
，而，可得 ，所以存在实数，
使得平面 与平面的夹角的余弦值为 .
【规律提炼】
应用空间向量求解探究性问题的策略：
（1）根据题意设变量，注意变量的范围.
（2）根据条件，得到动点或相关元素满足的条件，列方程，进而得
到参数的方程或方程组.
（3）若题中动点涉及共线问题，则常常根据共线定理设出参数；若
题中涉及两个共线条件，则可以设出两个参数，最后利用空间向量
基本定理进行求解.
【巩固训练】
[2024·福建莆田三模] 如图，在四棱锥中，四边形 是
正方形，，为侧棱上的点， 平面 .
（1）证明： .
证明：记，连接 ，由四边形
是正方形，得是的中点， ，
由，得 ，
又, 平面， ，
所以 平面，又 平面 ，
所以 .
（2）若，求平面与平面 的夹角的大小.
解：由（1）知，，由，
得，又 ，所以,, 两两垂直.
以为坐标原点，,,的方向分别为,, 轴
的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，所以 ,
, .
由 平面，得 是平面 的一个法向量，
显然是平面 的一个法向量.
设平面与平面的夹角为 ，则
, ，
可得 ，
所以平面与平面的夹角的大小为 .
解：假设在侧棱上存在一点，使得 平面，
且 ，由（2）知，,
, ，
所以, ，
则 ，
.
（3）在（2）的前提下，在侧棱上是否存在一点，使得 平
面 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
由（2）知平面的一个法向量为 ，
由平面，得 ，
即，则，解得 ，即
，则 ，
所以在侧棱上存在一点，使得平面 ，
此时 .
【深度挖掘】
微点3 【巩固训练】中涉及求解点到直线的距离问题，解法中应用
了勾股定理的方法，求解点到直线的距离问题也可以应用其他方法：
（1）等面积法：因为,,三点坐标可知，所以可以应用向量法求
解,,,,然后由三角形面积公式即可求得点到
直线的距离；
（2）三角函数法：由向量法易求 的值，进而可求
，然后在中，可得点到直线 的距离为
；
（3）两点间距离法：设直线上一点,满足 ，
且，进而可以求得点 的坐标，最后应用空间两点间距
离公式求得 的值，即可得解.
1.探究性问题一般都是采用待定系数法，通过解方程的方式求解，试
题的求解过程应该依据相应题型的常规解法进行.
2.应用空间向量求解立体几何的综合性问题，主要是解决计算问题，
关键是确定对应平面的法向量，求解过程中依据相应题型按部就班
地进行求解即可.
3.对于不太好建立空间直角坐标系的问题，还要注意对定义和几何法
的应用，求解空间角的重点在于如何通过平移将要求的空间角转化
为平面角，再借助正余弦定理求解相应角的大小；求解空间距离时
如果不好判断垂足位置，可借助等面积法或等体积法.
例1 [2024·南京二模] 如图，在五面体
中， 平面， 平面 .
（1）求证： ；
证明：因为 平面， 平面 ，所以 ，
因为 平面， 平面 ，所以平面 ，
因为平面 平面， 平面 ，
所以 .
解：因为 平面，，
所以 平面，又 ， 平面，
所以， ,
又因为 平面，, 平面 ，
所以, ，
又 ，,, 平面，
所以 平面 .
（2）若， ，点 到平面
的距离为，求平面与平面 的夹角的大小.
连接，，由，得
,故
，则 ，则 ,
故为等腰直角三角形，所以, .
如图，以为坐标原点，,, 所在的直线分别为，， 轴建立
空间直角坐标系，设，则,, ,
,, ，所以, ,
因为 ，所以
，解得 .
设平面的法向量为 ，平面的法向量为
，因为， ，
所以即 令，
则 ，因为， ，
所以即 令，则 .
设平面与平面的夹角为 ，则 ，
所以 .
例2 [2024·成都三模] 如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥
，其中，， 交
于点 .
证明：因为， ，
所以,均在 的垂直平分线上，
所以， .
因为,, ，
所以 ，
因为，所以 ，
又因为，， 平面， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
解：由（1）可知 ，
以为原点，,所在直线分别为, 轴，过点
且垂直于平面的直线为 轴建立如图所示
的空间直角坐标系，
因为,, ，所以，
所以 ，从而由等面积法可知 ，
由勾股定理得 ，
（2）若，且二面角的大小为，求直线 与
平面 所成角的正弦值.
由（1）可知 ，所以 ，
由（1）可知,，又平面
平面， 平面， 平面
，且二面角的大小为 ，
所以 ，所以与轴所在直线的夹角为 ，
所以 . 因为,, ，
所以 , ,
.
设平面的法向量为 ，
则
令，得, ，
所以平面的一个法向量为 .
设直线与平面所成的角为 ，则,
，所以直线与平面所成角的正弦值为 .
例3 如图，在四棱锥中，，底面 为等腰梯
形，，，为棱的中点， .
证明：因为,为棱 的中点，所以 .
如图，在平面内，过作，交
于点，由底面 为等腰梯形，
，得 ，
所以，所以 , ，
因为，所以，所以 ，
所以 ，所以 .
（1）证明： 平面 ；
因为,，, 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面，所以 ，
因为,, 平面 ，
所以 平面 .
（2）若，求直线与平面 所成角的正弦值.
解：因为,，所以,
由（1）知 .
如图，取的中点，连接，则 ，
因为 平面， 平面 ，
所以 ，
又，, 平面 ，
所以 平面，连接 ，
所以为直线与平面 所成的角.
在正三角形中，，易知 ，
在中， ，
所以 ，
所以 .
所以直线与平面 所成角的正弦值为 .
例4 [2024·济南三模] 如图所示，在多面体 中，四边形
为矩形，四边形为梯形，平面 平面 ，
,, .
证明：连接，交于点，连接 ，如
图，
四边形为矩形,为 的中点.
在中，，分别为， 的中点，
,
平面, 平面 ,
平面 .
（1）若点为的中点，证明:平面 ；
解： , ，
四边形为矩形, ，
平面 平面 ，
平面，平面 平面
， 平面 ，
又, 平面，, .
， ，
又, 平面, 平面 ,
（2）求异面直线与 所成角的大小.
平面,又 平面 ,故
.
在 中,
,， .
在中， ，
，
，
， 直线与 所成的角即为 ，
即直线与所成的角为 .
例5 [2024· 新课标Ⅰ卷] 如图，四棱锥中， 底面
，，， .
证明： 平面， 平面，
.
又，,, 平面
， 平面，
平面 ， .
在中，， .
，，，四点共面， ，
又 平面， 平面 ，平面 .
（1）若，证明：平面 ；
解：方法一：以为原点，以， 所
在直线分别为,轴，以过点 且与平面
垂直的直线为 轴，建立如图所示的
空间直角坐标系.
设,则 ,
, , ,
.
, ,
（2）若，且二面角的正弦值为,求 .
设平面的法向量为 ，
则 即
不妨令,则, ,故
.
, ,
设平面的法向量为 ,
则即 不妨令
,则, ，
故 .
二面角的正弦值为, 平
面与平面夹角的余弦值为 ，
, ，可
得, .
方法二：如图所示，过点作于 ，
过点作于，连接 .
平面， 平面，
平面 平面 ，
又平面 平面， ，
平面 .
又 平面，，又， ，
平面，得 ，
根据二面角的定义可知，即为二面角 的平面角，
即，又 为锐角，
.
设，则 ，
由等面积法可得， ，
则 ，
又为等腰直角三角形， ，
故，解得 ，即 .
例6 [2024·四川资阳二模] 如图，在四面体 中，
，，为 的中点.
证明：取的中点，连接， ，如图，
因为，，所以 ，
且, ，
因为，所以 ，则
，即 ，
所以，可得 ，
又，， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面，所以平面 平面 .
（1）证明：平面 平面 ；
解：由（1）可得， ，
， 平面 ，
则 ，
所以 ,
又为的中点，所以 .
因为，所以 .
在中，， ， ，
（2）求点到平面 的距离.
则 ，
所以 ，
则 .
设点到平面的距离为，则 ，
解得，即点到平面的距离为 .

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