2025届高考数学二轮复习-微专题10 空间向量与立体几何 课件(共81张PPT)

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2025届高考数学二轮复习-微专题10 空间向量与立体几何 课件(共81张PPT)

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(共81张PPT)
微专题10 空间向量与立体几何
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
应用空间向量解决立体几何问题是高考的热点内容、必考内容.
试题主要是应用空间向量求解“角”,也可以应用空间向量证明或判
断线、面的位置关系,试题主要以解答题的形式考查,试题难度中
等.高考备考建议要熟练掌握各类角与空间向量的关系,并且能够熟
练、准确地建立空间直角坐标系和确定点的坐标.
微点1 应用空间向量判断线、面位置关系
例1 [2022·全国乙卷]在正方体中,, 分别为
, 的中点,则( )
A.平面 平面 B.平面 平面
C.平面平面 D.平面平面

[解析] 在正方体中,且 平面
,又 平面,所以,因为,分别为,
的中点,所以,所以,又 ,所以
平面,又 平面,所以平面 平面 ,
故A正确.
以D为坐标原点,,,的方向分别为,, 轴正方向建立
空间直角坐标系,设,则, , ,
,,,,, ,则
,,, ,
,,,设平面 的法向量
为,则有可取 .
同理可得平面的一个法向量为,平面 的
一个法向量为,平面 的一个法向量为
,因为,所以平面 与
平面不垂直,故B错误;
因为,所以与 不平行,所以平面与平面不
平行,故C错误;
因为 ,所以与不平行,所以平面与平面
不平行,故D错误.故选A.
【规律提炼】
应用空间向量判断和证明立体几何中线、面位置关系的策略:
(1)准确建立空间直角坐标系.一般建系以对称为原则,以坐标最简
化为原则,进而确定各个关键点的坐标,注意一些非特殊点可以通
过共线条件,利用方程思想进行求解.
(2)准确确定平面的法向量、直线的方向向量.线、面位置关系的判
断有两种方法:一是直接应用向量方法判断线线的平行和垂直关系,
然后根据线、面位置关系的判定定理和性质定理进行判断;二是应
用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系进行判断.
【巩固训练】
1.[2024·山东菏泽二模]如图,在正方体
中, ,
,则下列结论中正确的是
( )
A.平面
B.平面 平面
C. 平面
D.平面内存在与 平行的直线

[解析] 设正方体的棱长为2,以D为坐标原
点,的方向为轴正方向,的方向为 轴
正方向,的方向为 轴正方向建立空间直
角坐标系,则,, ,
,,, ,
,,所以 ,
,,,设平面 的法向
量为 , 则即
令,则,同理可得平面
的一个法向量为 ,因为
,所以 ,故A不正确;
,故B不正确;
,, ,
则, ,所以 ,
,又 ,所以 平面 ,故C正确;
易知平面的一个法向量为 ,则 ,
故D不正确.故选C.
2.[2024·太原三模] 如图,在正方体中,,,
分别是棱,, 的中点.
证明:如图,以为坐标原点,,, 所在直线
分别为,, 轴,建立空间直角坐标系,不妨设
,则, , ,, ,
可得, , .
设平面的法向量为 ,则
令,则,,可得 .因为,
且 平面,所以平面 .
(1)证明:平面 ;
(2)证明: .
解:由(1)可得 ,
则 ,
又 ,
所以,所以 .
微点2 应用空间向量求空间角
例2 [2024·新课标Ⅱ卷] 如图,平面四边
形中,,, ,
, ,点, 满足
,,将沿 对
折至,使得 .
证明:在中, ,
, ,
, .
, ,得, ,
又,, 平面 , 平面 ,
又 平面, .
(1)证明: ;
(2)求平面与平面 所成的二面角的正
弦值.
解:连接, ,
, ,,得 .
又, ,, .
又,,, 平面 , 平面 ,
,即,, 两两垂直. 以为原点,,,
所在直线分别为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则
,, , ,,
由为 的中点, 得,得
, ,
, .
设平面的法向量为 ,
则 令,则 .
设平面的法向量为 ,

令,则 .
设平面与平面所成的二面角为 ,
, ,
.
【规律提炼】
应用空间向量求解空间角问题的策略:
(1)明确各个角的范围:二面角的范围是,线面角的范围是
,异面直线所成角的范围是,两个向量夹角的范围是.
(2)明确两向量夹角与空间角的关系:两个平面法向量的夹角与其
所成二面角相等或互补,求值之前要先判定所求的二面角是锐角还
是钝角或直角,进而应用两平面法向量的夹角进行求解;直线方向
向量与平面法向量的夹角与其对应的线面角的关系是相加等于 或相
减等于 ,即三角函数值“互余”.
(3)求解过程中要注意细节问题,比如角的范围问题、角的类型、
函数值的符号、函数名等.
【巩固训练】
[2023·新课标Ⅱ卷] 如图,三棱锥中, ,
, ,为 的中点.
证明:如图,连接, ,
, ,
, ,
又为的中点,, ,
又, 平面 ,
平面, .
(1)证明: ;
解:设 ,由
可知与 均为等边三角形, .
,,则 .
,为直角三角形,
且 , .
, ,
又, ,,, 两两垂直. 以为原点,以,
, 所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系,如图,
(2)点满足,求二面角 的正弦值.
则, ,, ,
设,则 ,又
, . ,
设平面 的法向量为 ,
则 令,可得 .
,
设平面的法向量为 ,

令,可得 .
, ,故二面角 的正弦值为
.
微点3 应用空间向量求空间距离
例3 [2024·长沙二模] 如图,在三棱锥中,,, 两两
垂直,,分别是, 的中点.
(1)证明: ;
解:方法一:证明:因为,,, ,
平面,所以 平面 .
以为坐标原点,以过且与 平行的直线为
轴,以,所在直线分别为 轴、 轴建立空
间直角坐标系(如图).
设,,,则 , ,,
, , ,所以, ,
因为,所以 .
方法二:(1)证明:取的中点,连接, ,如图.
因为,分别是, 的中点,
所以, ,
又, ,所以,,
又,且, 平面 ,
所以 平面,
又 平面,所以 .
解:方法一:由(1)知 ,
易知是平面 的一个法向量.
因为直线与平面所成的角为 ,
所以,即 .
(2)设,,直线与平面所成的角为,
求点 到平面 的距离.
在中, ,
在中,
,即,可得 .
因为,所以是平面
的一个法向量,
故点到平面的距离为 .
方法二:因为,,, , 平面 ,
所以 平面,即棱的长即为点 到平面 的距离.
同理可得 平面,又 平面,所以 .
连接,如图,易知 .
由(1)知,,在 中,
.
因为,所以 平面 ,
所以是直线与平面 所成的角,
即 ,
则 ,
所以 .
所以点到平面的距离为 .
【规律提炼】
应用空间向量方法求解距离问题的策略:
1.点到平面的距离
如图,已知平面 的一个法向量为, 是平面
内的定点,是平面 外一点.过点作平面
的垂线,交平面 于点,则是直线 的方向
向量,且点到平面 的距离就是在直线 上
的投影向量 的长度,因此
.
2.点到直线的距离
设过点的直线的单位方向向量为,为直线外一点,点到直线
的距离 .
3.线面距离和面面距离
直线到平面的距离和平面到平面的距离可以转化为点到平面的距离
进行求解.
【巩固训练】
[2024·哈尔滨二模] 如图,已知正三棱柱
的侧棱长和底面边长均为2, 是
的中点,是的中点,是 的中点.
(1)证明:平面 ;
证明:由题意知, 平面 ,
,又 平面 ,
所以,在平面内过点作 轴,
使得 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则,,,,, ,
得,, ,
所以,, .
设平面的法向量为 ,
则令,
得, ,所以 ,
所以,又直线
不在平面内,所以平面 .
解:如图,连接 ,由(1)得
,则 ,

又,所以点到直线 的距离
.
(2)求点到直线 的距离.
微点4 应用空间向量求解探究性问题
例4 [2024·南昌二模] 在如图所示的直三棱柱 中,
,,为的中点,, 分别为
, 的中点.
解:和 不垂直,理由如下:
以点为坐标原点,直线,,分别为 ,
, 轴建立空间直角坐标系,如图,
则,,, ,
, ,,
所以 , ,
因为 ,
所以和 不垂直.
(1)判断和 是否垂直,并说明理由.
(2)设,是否存在 ,使得平面 与平面
的夹角的余弦值为?若存在,请求出 的值;若不存在,请说
明理由.
解:假设存在 使得平面与平面 的
夹角的余弦值为 ,
由(1)得,则 ,由
,得 ,所以
. 显然平面的一个法向量为 .
设平面的法向量为 ,则
取 ,
得 .
设平面与平面的夹角为 ,则 ,
,而,可得 ,所以存在实数,
使得平面 与平面的夹角的余弦值为 .
【规律提炼】
应用空间向量求解探究性问题的策略:
(1)根据题意设变量,注意变量的范围.
(2)根据条件,得到动点或相关元素满足的条件,列方程,进而得
到参数的方程或方程组.
(3)若题中动点涉及共线问题,则常常根据共线定理设出参数;若
题中涉及两个共线条件,则可以设出两个参数,最后利用空间向量
基本定理进行求解.
【巩固训练】
[2024·福建莆田三模] 如图,在四棱锥中,四边形 是
正方形,,为侧棱上的点, 平面 .
(1)证明: .
证明:记,连接 ,由四边形
是正方形,得是的中点, ,
由,得 ,
又, 平面, ,
所以 平面,又 平面 ,
所以 .
(2)若,求平面与平面 的夹角的大小.
解:由(1)知,,由,
得,又 ,所以,, 两两垂直.
以为坐标原点,,,的方向分别为,, 轴
的正方向,建立空间直角坐标系,如图,
设,则,所以 ,
, .
由 平面,得 是平面 的一个法向量,
显然是平面 的一个法向量.
设平面与平面的夹角为 ,则
, ,
可得 ,
所以平面与平面的夹角的大小为 .
解:假设在侧棱上存在一点,使得 平面,
且 ,由(2)知,,
, ,
所以, ,
则 ,
.
(3)在(2)的前提下,在侧棱上是否存在一点,使得 平
面 若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
由(2)知平面的一个法向量为 ,
由平面,得 ,
即,则,解得 ,即
,则 ,
所以在侧棱上存在一点,使得平面 ,
此时 .
【深度挖掘】
微点3 【巩固训练】中涉及求解点到直线的距离问题,解法中应用
了勾股定理的方法,求解点到直线的距离问题也可以应用其他方法:
(1)等面积法:因为,,三点坐标可知,所以可以应用向量法求
,,,,然后由三角形面积公式即可求得点
直线的距离;
(2)三角函数法:由向量法易求 的值,进而可求
,然后在中,可得点到直线 的距离为

(3)两点间距离法:设直线上一点,满足 ,
且,进而可以求得点 的坐标,最后应用空间两点间距
离公式求得 的值,即可得解.
1.探究性问题一般都是采用待定系数法,通过解方程的方式求解,试
题的求解过程应该依据相应题型的常规解法进行.
2.应用空间向量求解立体几何的综合性问题,主要是解决计算问题,
关键是确定对应平面的法向量,求解过程中依据相应题型按部就班
地进行求解即可.
3.对于不太好建立空间直角坐标系的问题,还要注意对定义和几何法
的应用,求解空间角的重点在于如何通过平移将要求的空间角转化
为平面角,再借助正余弦定理求解相应角的大小;求解空间距离时
如果不好判断垂足位置,可借助等面积法或等体积法.
例1 [2024·南京二模] 如图,在五面体
中, 平面, 平面 .
(1)求证: ;
证明:因为 平面, 平面 ,所以 ,
因为 平面, 平面 ,所以平面 ,
因为平面 平面, 平面 ,
所以 .
解:因为 平面,,
所以 平面,又 , 平面,
所以, ,
又因为 平面,, 平面 ,
所以, ,
又 ,,, 平面,
所以 平面 .
(2)若, ,点 到平面
的距离为,求平面与平面 的夹角的大小.
连接,,由,得
,故
,则 ,则 ,
故为等腰直角三角形,所以, .
如图,以为坐标原点,,, 所在的直线分别为,, 轴建立
空间直角坐标系,设,则,, ,
,, ,所以, ,
因为 ,所以
,解得 .
设平面的法向量为 ,平面的法向量为
,因为, ,
所以即 令,
则 ,因为, ,
所以即 令,则 .
设平面与平面的夹角为 ,则 ,
所以 .
例2 [2024·成都三模] 如图,某种风筝的骨架模型是四棱锥
,其中,, 交
于点 .
证明:因为, ,
所以,均在 的垂直平分线上,
所以, .
因为,, ,
所以 ,
因为,所以 ,
又因为,, 平面, 平面 ,
所以 平面 ,
因为 平面 ,所以平面 平面 .
(1)求证:平面 平面 ;
解:由(1)可知 ,
以为原点,,所在直线分别为, 轴,过点
且垂直于平面的直线为 轴建立如图所示
的空间直角坐标系,
因为,, ,所以,
所以 ,从而由等面积法可知 ,
由勾股定理得 ,
(2)若,且二面角的大小为,求直线 与
平面 所成角的正弦值.
由(1)可知 ,所以 ,
由(1)可知,,又平面
平面, 平面, 平面
,且二面角的大小为 ,
所以 ,所以与轴所在直线的夹角为 ,
所以 . 因为,, ,
所以 , ,
.
设平面的法向量为 ,

令,得, ,
所以平面的一个法向量为 .
设直线与平面所成的角为 ,则,
,所以直线与平面所成角的正弦值为 .
例3 如图,在四棱锥中,,底面 为等腰梯
形,,,为棱的中点, .
证明:因为,为棱 的中点,所以 .
如图,在平面内,过作,交
于点,由底面 为等腰梯形,
,得 ,
所以,所以 , ,
因为,所以,所以 ,
所以 ,所以 .
(1)证明: 平面 ;
因为,,, 平面 ,
所以 平面 ,
因为 平面,所以 ,
因为,, 平面 ,
所以 平面 .
(2)若,求直线与平面 所成角的正弦值.
解:因为,,所以,
由(1)知 .
如图,取的中点,连接,则 ,
因为 平面, 平面 ,
所以 ,
又,, 平面 ,
所以 平面,连接 ,
所以为直线与平面 所成的角.
在正三角形中,,易知 ,
在中, ,
所以 ,
所以 .
所以直线与平面 所成角的正弦值为 .
例4 [2024·济南三模] 如图所示,在多面体 中,四边形
为矩形,四边形为梯形,平面 平面 ,
,, .
证明:连接,交于点,连接 ,如
图,
四边形为矩形,为 的中点.
在中,,分别为, 的中点,
,
平面, 平面 ,
平面 .
(1)若点为的中点,证明:平面 ;
解: , ,
四边形为矩形, ,
平面 平面 ,
平面,平面 平面
, 平面 ,
又, 平面,, .
, ,
又, 平面, 平面 ,
(2)求异面直线与 所成角的大小.
平面,又 平面 ,故
.
在 中,
,, .
在中, ,


, 直线与 所成的角即为 ,
即直线与所成的角为 .
例5 [2024· 新课标Ⅰ卷] 如图,四棱锥中, 底面
,,, .
证明: 平面, 平面,
.
又,,, 平面
, 平面,
平面 , .
在中,, .
,,,四点共面, ,
又 平面, 平面 ,平面 .
(1)若,证明:平面 ;
解:方法一:以为原点,以, 所
在直线分别为,轴,以过点 且与平面
垂直的直线为 轴,建立如图所示的
空间直角坐标系.
设,则 ,
, , ,
.
, ,
(2)若,且二面角的正弦值为,求 .
设平面的法向量为 ,
则 即
不妨令,则, ,故
.
, ,
设平面的法向量为 ,
则即 不妨令
,则, ,
故 .
二面角的正弦值为, 平
面与平面夹角的余弦值为 ,
, ,可
得, .
方法二:如图所示,过点作于 ,
过点作于,连接 .
平面, 平面,
平面 平面 ,
又平面 平面, ,
平面 .
又 平面,,又, ,
平面,得 ,
根据二面角的定义可知,即为二面角 的平面角,
即,又 为锐角,
.
设,则 ,
由等面积法可得, ,
则 ,
又为等腰直角三角形, ,
故,解得 ,即 .
例6 [2024·四川资阳二模] 如图,在四面体 中,
,,为 的中点.
证明:取的中点,连接, ,如图,
因为,,所以 ,
且, ,
因为,所以 ,则
,即 ,
所以,可得 ,
又,, 平面 ,所以 平面 ,
又 平面,所以平面 平面 .
(1)证明:平面 平面 ;
解:由(1)可得, ,
, 平面 ,
则 ,
所以 ,
又为的中点,所以 .
因为,所以 .
在中,, , ,
(2)求点到平面 的距离.
则 ,
所以 ,
则 .
设点到平面的距离为,则 ,
解得,即点到平面的距离为 .

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