资源简介 (共81张PPT)微专题10 空间向量与立体几何2025届高考数学二轮复习【考情分析】应用空间向量解决立体几何问题是高考的热点内容、必考内容.试题主要是应用空间向量求解“角”,也可以应用空间向量证明或判断线、面的位置关系,试题主要以解答题的形式考查,试题难度中等.高考备考建议要熟练掌握各类角与空间向量的关系,并且能够熟练、准确地建立空间直角坐标系和确定点的坐标.微点1 应用空间向量判断线、面位置关系例1 [2022·全国乙卷]在正方体中,, 分别为, 的中点,则( )A.平面 平面 B.平面 平面C.平面平面 D.平面平面√[解析] 在正方体中,且 平面,又 平面,所以,因为,分别为,的中点,所以,所以,又 ,所以平面,又 平面,所以平面 平面 ,故A正确.以D为坐标原点,,,的方向分别为,, 轴正方向建立空间直角坐标系,设,则, , ,,,,,, ,则,,, ,,,,设平面 的法向量为,则有可取 .同理可得平面的一个法向量为,平面 的一个法向量为,平面 的一个法向量为,因为,所以平面 与平面不垂直,故B错误;因为,所以与 不平行,所以平面与平面不平行,故C错误;因为 ,所以与不平行,所以平面与平面不平行,故D错误.故选A.【规律提炼】应用空间向量判断和证明立体几何中线、面位置关系的策略:(1)准确建立空间直角坐标系.一般建系以对称为原则,以坐标最简化为原则,进而确定各个关键点的坐标,注意一些非特殊点可以通过共线条件,利用方程思想进行求解.(2)准确确定平面的法向量、直线的方向向量.线、面位置关系的判断有两种方法:一是直接应用向量方法判断线线的平行和垂直关系,然后根据线、面位置关系的判定定理和性质定理进行判断;二是应用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系进行判断.【巩固训练】1.[2024·山东菏泽二模]如图,在正方体中, ,,则下列结论中正确的是( )A.平面B.平面 平面C. 平面D.平面内存在与 平行的直线√[解析] 设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为 轴正方向,的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系,则,, ,,,, ,,,所以 ,,,,设平面 的法向量为 , 则即令,则,同理可得平面的一个法向量为 ,因为,所以 ,故A不正确;,故B不正确;,, ,则, ,所以 ,,又 ,所以 平面 ,故C正确;易知平面的一个法向量为 ,则 ,故D不正确.故选C.2.[2024·太原三模] 如图,在正方体中,,,分别是棱,, 的中点.证明:如图,以为坐标原点,,, 所在直线分别为,, 轴,建立空间直角坐标系,不妨设,则, , ,, ,可得, , .设平面的法向量为 ,则令,则,,可得 .因为,且 平面,所以平面 .(1)证明:平面 ;(2)证明: .解:由(1)可得 ,则 ,又 ,所以,所以 .微点2 应用空间向量求空间角例2 [2024·新课标Ⅱ卷] 如图,平面四边形中,,, ,, ,点, 满足,,将沿 对折至,使得 .证明:在中, ,, ,, ., ,得, ,又,, 平面 , 平面 ,又 平面, .(1)证明: ;(2)求平面与平面 所成的二面角的正弦值.解:连接, ,, ,,得 .又, ,, .又,,, 平面 , 平面 ,,即,, 两两垂直. 以为原点,,,所在直线分别为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,, , ,,由为 的中点, 得,得, ,, .设平面的法向量为 ,则 令,则 .设平面的法向量为 ,则令,则 .设平面与平面所成的二面角为 ,, ,.【规律提炼】应用空间向量求解空间角问题的策略:(1)明确各个角的范围:二面角的范围是,线面角的范围是,异面直线所成角的范围是,两个向量夹角的范围是.(2)明确两向量夹角与空间角的关系:两个平面法向量的夹角与其所成二面角相等或互补,求值之前要先判定所求的二面角是锐角还是钝角或直角,进而应用两平面法向量的夹角进行求解;直线方向向量与平面法向量的夹角与其对应的线面角的关系是相加等于 或相减等于 ,即三角函数值“互余”.(3)求解过程中要注意细节问题,比如角的范围问题、角的类型、函数值的符号、函数名等.【巩固训练】[2023·新课标Ⅱ卷] 如图,三棱锥中, ,, ,为 的中点.证明:如图,连接, ,, ,, ,又为的中点,, ,又, 平面 ,平面, .(1)证明: ;解:设 ,由可知与 均为等边三角形, .,,则 .,为直角三角形,且 , ., ,又, ,,, 两两垂直. 以为原点,以,, 所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系,如图,(2)点满足,求二面角 的正弦值.则, ,, ,设,则 ,又, . ,设平面 的法向量为 ,则 令,可得 .,设平面的法向量为 ,则令,可得 ., ,故二面角 的正弦值为.微点3 应用空间向量求空间距离例3 [2024·长沙二模] 如图,在三棱锥中,,, 两两垂直,,分别是, 的中点.(1)证明: ;解:方法一:证明:因为,,, ,平面,所以 平面 .以为坐标原点,以过且与 平行的直线为轴,以,所在直线分别为 轴、 轴建立空间直角坐标系(如图).设,,,则 , ,,, , ,所以, ,因为,所以 .方法二:(1)证明:取的中点,连接, ,如图.因为,分别是, 的中点,所以, ,又, ,所以,,又,且, 平面 ,所以 平面,又 平面,所以 .解:方法一:由(1)知 ,易知是平面 的一个法向量.因为直线与平面所成的角为 ,所以,即 .(2)设,,直线与平面所成的角为,求点 到平面 的距离.在中, ,在中,,即,可得 .因为,所以是平面的一个法向量,故点到平面的距离为 .方法二:因为,,, , 平面 ,所以 平面,即棱的长即为点 到平面 的距离.同理可得 平面,又 平面,所以 .连接,如图,易知 .由(1)知,,在 中,.因为,所以 平面 ,所以是直线与平面 所成的角,即 ,则 ,所以 .所以点到平面的距离为 .【规律提炼】应用空间向量方法求解距离问题的策略:1.点到平面的距离如图,已知平面 的一个法向量为, 是平面内的定点,是平面 外一点.过点作平面的垂线,交平面 于点,则是直线 的方向向量,且点到平面 的距离就是在直线 上的投影向量 的长度,因此.2.点到直线的距离设过点的直线的单位方向向量为,为直线外一点,点到直线的距离 .3.线面距离和面面距离直线到平面的距离和平面到平面的距离可以转化为点到平面的距离进行求解.【巩固训练】[2024·哈尔滨二模] 如图,已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2, 是的中点,是的中点,是 的中点.(1)证明:平面 ;证明:由题意知, 平面 ,,又 平面 ,所以,在平面内过点作 轴,使得 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则,,,,, ,得,, ,所以,, .设平面的法向量为 ,则令,得, ,所以 ,所以,又直线不在平面内,所以平面 .解:如图,连接 ,由(1)得,则 ,,又,所以点到直线 的距离.(2)求点到直线 的距离.微点4 应用空间向量求解探究性问题例4 [2024·南昌二模] 在如图所示的直三棱柱 中,,,为的中点,, 分别为, 的中点.解:和 不垂直,理由如下:以点为坐标原点,直线,,分别为 ,, 轴建立空间直角坐标系,如图,则,,, ,, ,,所以 , ,因为 ,所以和 不垂直.(1)判断和 是否垂直,并说明理由.(2)设,是否存在 ,使得平面 与平面的夹角的余弦值为?若存在,请求出 的值;若不存在,请说明理由.解:假设存在 使得平面与平面 的夹角的余弦值为 ,由(1)得,则 ,由,得 ,所以. 显然平面的一个法向量为 .设平面的法向量为 ,则取 ,得 .设平面与平面的夹角为 ,则 ,,而,可得 ,所以存在实数,使得平面 与平面的夹角的余弦值为 .【规律提炼】应用空间向量求解探究性问题的策略:(1)根据题意设变量,注意变量的范围.(2)根据条件,得到动点或相关元素满足的条件,列方程,进而得到参数的方程或方程组.(3)若题中动点涉及共线问题,则常常根据共线定理设出参数;若题中涉及两个共线条件,则可以设出两个参数,最后利用空间向量基本定理进行求解.【巩固训练】[2024·福建莆田三模] 如图,在四棱锥中,四边形 是正方形,,为侧棱上的点, 平面 .(1)证明: .证明:记,连接 ,由四边形是正方形,得是的中点, ,由,得 ,又, 平面, ,所以 平面,又 平面 ,所以 .(2)若,求平面与平面 的夹角的大小.解:由(1)知,,由,得,又 ,所以,, 两两垂直.以为坐标原点,,,的方向分别为,, 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图,设,则,所以 ,, .由 平面,得 是平面 的一个法向量,显然是平面 的一个法向量.设平面与平面的夹角为 ,则, ,可得 ,所以平面与平面的夹角的大小为 .解:假设在侧棱上存在一点,使得 平面,且 ,由(2)知,,, ,所以, ,则 ,.(3)在(2)的前提下,在侧棱上是否存在一点,使得 平面 若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.由(2)知平面的一个法向量为 ,由平面,得 ,即,则,解得 ,即,则 ,所以在侧棱上存在一点,使得平面 ,此时 .【深度挖掘】微点3 【巩固训练】中涉及求解点到直线的距离问题,解法中应用了勾股定理的方法,求解点到直线的距离问题也可以应用其他方法:(1)等面积法:因为,,三点坐标可知,所以可以应用向量法求解,,,,然后由三角形面积公式即可求得点到直线的距离;(2)三角函数法:由向量法易求 的值,进而可求,然后在中,可得点到直线 的距离为;(3)两点间距离法:设直线上一点,满足 ,且,进而可以求得点 的坐标,最后应用空间两点间距离公式求得 的值,即可得解.1.探究性问题一般都是采用待定系数法,通过解方程的方式求解,试题的求解过程应该依据相应题型的常规解法进行.2.应用空间向量求解立体几何的综合性问题,主要是解决计算问题,关键是确定对应平面的法向量,求解过程中依据相应题型按部就班地进行求解即可.3.对于不太好建立空间直角坐标系的问题,还要注意对定义和几何法的应用,求解空间角的重点在于如何通过平移将要求的空间角转化为平面角,再借助正余弦定理求解相应角的大小;求解空间距离时如果不好判断垂足位置,可借助等面积法或等体积法.例1 [2024·南京二模] 如图,在五面体中, 平面, 平面 .(1)求证: ;证明:因为 平面, 平面 ,所以 ,因为 平面, 平面 ,所以平面 ,因为平面 平面, 平面 ,所以 .解:因为 平面,,所以 平面,又 , 平面,所以, ,又因为 平面,, 平面 ,所以, ,又 ,,, 平面,所以 平面 .(2)若, ,点 到平面的距离为,求平面与平面 的夹角的大小.连接,,由,得,故,则 ,则 ,故为等腰直角三角形,所以, .如图,以为坐标原点,,, 所在的直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系,设,则,, ,,, ,所以, ,因为 ,所以,解得 .设平面的法向量为 ,平面的法向量为,因为, ,所以即 令,则 ,因为, ,所以即 令,则 .设平面与平面的夹角为 ,则 ,所以 .例2 [2024·成都三模] 如图,某种风筝的骨架模型是四棱锥,其中,, 交于点 .证明:因为, ,所以,均在 的垂直平分线上,所以, .因为,, ,所以 ,因为,所以 ,又因为,, 平面, 平面 ,所以 平面 ,因为 平面 ,所以平面 平面 .(1)求证:平面 平面 ;解:由(1)可知 ,以为原点,,所在直线分别为, 轴,过点且垂直于平面的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为,, ,所以,所以 ,从而由等面积法可知 ,由勾股定理得 ,(2)若,且二面角的大小为,求直线 与平面 所成角的正弦值.由(1)可知 ,所以 ,由(1)可知,,又平面平面, 平面, 平面,且二面角的大小为 ,所以 ,所以与轴所在直线的夹角为 ,所以 . 因为,, ,所以 , ,.设平面的法向量为 ,则令,得, ,所以平面的一个法向量为 .设直线与平面所成的角为 ,则,,所以直线与平面所成角的正弦值为 .例3 如图,在四棱锥中,,底面 为等腰梯形,,,为棱的中点, .证明:因为,为棱 的中点,所以 .如图,在平面内,过作,交于点,由底面 为等腰梯形,,得 ,所以,所以 , ,因为,所以,所以 ,所以 ,所以 .(1)证明: 平面 ;因为,,, 平面 ,所以 平面 ,因为 平面,所以 ,因为,, 平面 ,所以 平面 .(2)若,求直线与平面 所成角的正弦值.解:因为,,所以,由(1)知 .如图,取的中点,连接,则 ,因为 平面, 平面 ,所以 ,又,, 平面 ,所以 平面,连接 ,所以为直线与平面 所成的角.在正三角形中,,易知 ,在中, ,所以 ,所以 .所以直线与平面 所成角的正弦值为 .例4 [2024·济南三模] 如图所示,在多面体 中,四边形为矩形,四边形为梯形,平面 平面 ,,, .证明:连接,交于点,连接 ,如图,四边形为矩形,为 的中点.在中,,分别为, 的中点,,平面, 平面 ,平面 .(1)若点为的中点,证明:平面 ;解: , ,四边形为矩形, ,平面 平面 ,平面,平面 平面, 平面 ,又, 平面,, ., ,又, 平面, 平面 ,(2)求异面直线与 所成角的大小.平面,又 平面 ,故.在 中,,, .在中, ,,,, 直线与 所成的角即为 ,即直线与所成的角为 .例5 [2024· 新课标Ⅰ卷] 如图,四棱锥中, 底面,,, .证明: 平面, 平面,.又,,, 平面, 平面,平面 , .在中,, .,,,四点共面, ,又 平面, 平面 ,平面 .(1)若,证明:平面 ;解:方法一:以为原点,以, 所在直线分别为,轴,以过点 且与平面垂直的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则 ,, , ,., ,(2)若,且二面角的正弦值为,求 .设平面的法向量为 ,则 即不妨令,则, ,故., ,设平面的法向量为 ,则即 不妨令,则, ,故 .二面角的正弦值为, 平面与平面夹角的余弦值为 ,, ,可得, .方法二:如图所示,过点作于 ,过点作于,连接 .平面, 平面,平面 平面 ,又平面 平面, ,平面 .又 平面,,又, ,平面,得 ,根据二面角的定义可知,即为二面角 的平面角,即,又 为锐角,.设,则 ,由等面积法可得, ,则 ,又为等腰直角三角形, ,故,解得 ,即 .例6 [2024·四川资阳二模] 如图,在四面体 中,,,为 的中点.证明:取的中点,连接, ,如图,因为,,所以 ,且, ,因为,所以 ,则,即 ,所以,可得 ,又,, 平面 ,所以 平面 ,又 平面,所以平面 平面 .(1)证明:平面 平面 ;解:由(1)可得, ,, 平面 ,则 ,所以 ,又为的中点,所以 .因为,所以 .在中,, , ,(2)求点到平面 的距离.则 ,所以 ,则 .设点到平面的距离为,则 ,解得,即点到平面的距离为 . 展开更多...... 收起↑ 资源预览