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(共37张PPT)
微专题12 条件概率、全概率与贝叶
斯公式
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
试题以选择题、填空题、解答题的形式进行考查，试题的难度
不大，常常涉及的文字量较大，与生产生活联系较多.高考备考要熟
练掌握条件概率、全概率、贝叶斯公式的定义和意义，以及相互间
的关系，要强化训练规范书写相应的步骤.
微点1 条件概率的判断及求解
例1（1）[2024·河北衡水三模]已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，
甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，， ，且每个人射击
相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，
甲命中的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 用事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三人射击一次命中，设事件
“每人各射击一次，在三人中恰有两人命中”，则， ，
则 .故选D.
（2）[2024·天津卷] 现有,,,, 五个活动，甲、乙都要选择三个
活动参加.甲选到活动的概率为__；已知乙选了活动，则他选到
活动的概率为__.
[解析] 方法一：甲从五个活动中选三个的可能情况有, , ,,
,,,,,,共10种，其中甲选到 活动的可能情况有,
,,,,，共6种，故甲选到 活动的概率.
乙选了活动有,,,,, 共6种可能情况，其中选到活
动有,, 共3种可能情况，故已知乙选了活动，他选到活动的
概率为 .
方法二：甲选到活动的概率为.
设“乙选到活动”， “乙选到活动”，则已知乙选了活动，
他选到 活动的概率为 .
【规律提炼】
（1）条件概率的判断：条件概率区别于两个事件的“交”，前者体现
出来的是先后顺序，一般有关键词“在…条件下”等，后者体现出来
的是同时发生“且”的含义.
（2）条件概率的求解.求解条件概率有两种方法：一是利用条件概率
公式，所以要求条件概率要先求交事件 的概率，
再求;二是利用古典概型 ，即所求条件概率等于
,交事件所含的样本点个数与事件 所含样本点个数之比，此法可
以理解为以事件的样本点集合为新的样本空间，其中满足, 同时
发生的样本点个数即为分子.两种方法在具体问题中各有优势，如果
条件中已知的是事件发生的概率，则可以选择第一种方法，若已知
的是事件发生的样本点个数，则选择后者较好.
（3）相关公式：①条件概率公式可以转化为 ，
此为概率的乘法公式，当事件,相互独立时， ，此
时；②若和 是两个互斥事件，则
，设与 为对立事件，则
.
【巩固训练】
1.[2024·四川绵阳模拟]袋子中有9个除颜色外完全相同的小球，其中
5个红球，4个黄球.若从袋子中任意摸出3个小球，则在摸出的小球颜
色不同的条件下，摸出2个红球和1个黄球的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 设“摸出的小球颜色不同”， “摸出2个红球和1个黄球”，
则， ，
所以 .故选B.
√
2.[2024·上海普陀区三模]已知，分别为随机事件， 的对立事
件，， ，则下列说法错误的是( )
A.
B.
C.若，相互独立，则
D.若，互斥，则
√
[解析] ，故A中说法错误，
B中说法正确；
若A，B相互独立，则 ，所以
，故C中说法正确；
若A，B互斥，则，, ，
所以 ，故D中说法正确.
故选A.
微点2 全概率公式的应用
例2（1）记，为随机事件，已知， ，
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 记 ，由全概率公式得
，即 ，解得，
.故选D.
√
（2）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的球，其中甲箱中有3个
红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.从甲箱中随机抽出2个
球，在已知至少抽到1个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为
__；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于或等于4，那么从甲箱中
随机抽出1个球，如果点数大于或等于5，那么从乙箱中随机抽出1个
球，若抽到的是红球，则它来自乙箱的概率是__.
[解析] 记事件表示“至少抽到1个红球”，事件 表示“抽到的2个球
都是红球”，则, ,,所以.
设事件 表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件 表示“抽到红球”，则,,, ,
所以,所以 .
【规律提炼】
若样本空间 中的事件,, ,满足：
（1）任意两个事件均互斥，即 ，,,2, ,,;
（2） ;
（3）若,,2, ,，则对任意事件 ，都有
，则称该公式为全概率公式.
求解全概率公式问题的关键是理解定义，其定义的关键体现在“全”
上，即涉及包含了事件 的全部情况.
解题步骤一般为：先判断是全概率公式问题，而后确定条件概率值，
代入公式进行求解即可.
【巩固训练】
[2024·天津北辰区三模] 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投
篮比赛，现甲、乙两人为一组参加比赛，每次由其中一人投篮，规
则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮.无
论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的
命中率均为 .由抽签法确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、
乙的概率各为 .第2次投篮的人是甲的概率为___；已知在第2次投篮
的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为___.
[解析] 设“第次是甲投篮”为事件，“投篮命中”为事件 ，
由题意可知，, ，
则, ，
所以第2次投篮的人是甲的概率为
.
在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为
.
微点3 贝叶斯公式的应用
例3（1）托马斯·贝叶斯 在研究“逆向概率”的问题中
得到了一个公式： .这个定理在实际生
活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是
，医院现有的技术对于该疾病检测的准确率为 ，即已知患
病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人 的可能性检
查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳
性的概率为 ，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果
为阳性的条件下，这个人患该疾病的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记“一个人患该疾病”， “检测结果为阳性”，则
， ，
，
所以 ，所以在医院给出
的检测结果为阳性的条件下，这个人患该疾病的概率为 .故选C.
（2）[2024·山东菏泽模拟]随着我国铁路的发展，列车的正点率有了
显著的提高.据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和
谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为 ，
复兴号的正点率为 ，今有一列车未正点到达该站，则该列车为
和谐号的概率为( )
A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.8
√
[解析] 设“经过的列车为和谐号”， “经过的列车为复兴号”，
“列车未正点到达”，
则,, , ，
于是 ，
所以该列车为和谐号的概率为
.故选D.
【规律提炼】
应用贝叶斯公式求解问题的策略：
（1）公式：，,2, ,.贝
叶斯公式的分母是全概率，分子是全概率中的一种情况，因此考查
贝叶斯公式一定要先求解全概率，进而求解所求概率即可；
（2）若全概率中的条件概率问题是正常思路，符合认知习惯，那么
贝叶斯公式体现的是“反其道而行”，若结论涉及这种条件概率问题，
则其应该是考查贝叶斯公式.
【巩固训练】
[2024·广东江门一中模拟] 现有1000个苹果，其中900个是大果，100
个是小果，现想用一台水果分选机筛选出来.已知这台分选机把大果
筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为 ，经过一
轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽出一个，
则这个“大果”是真的大果的概率为____.
[解析] 方法一：设苹果是大果为事件 ，经过分选机筛选后是“大果”
为事件，则由题意可知, ,
，，
所以 ，
所以这个“大果”是真的大果的概率为 .
方法二：根据题意，从1000个苹果中机器筛选出的大果有
（个），
而这些分选机筛选出来的 “大果”中真正的大果有
（个），
所以这个“大果”是真的大果的概率为 .
1.全概率问题其实就是“分类讨论”，求解过程中要对所有的情况都考
虑到，即不重不漏.其公式为： ，应该是先
求的交事件概率，而后应用概率的乘法公式转化应用条件概率求解.
2.条件概率的判断主要是依据关键词和“先后”的含义.
例1（1）[2024·江苏苏州三模] 已知, ,
，则 ____.
0.6
[解析] 因为 ，所以
，
所以 .
（2）[2024·河南商丘模拟] 已知,, ，
则 ___.
[解析] 因为,, ，所以
,，
故 .
例2 [2024·上海奉贤区三模] 若规定在一场羽毛球赛中，只有发球方
赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则
双方均不得分.但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球.
（1）在此比赛制度下，运动员甲每一回合比赛赢球的概率均为 ，
且各回合比赛相互独立.若第一回合运动员甲发球，求第二回合比赛
有运动员得分的概率.
解：设表示事件“第一回合运动员甲赢球”， 表示事件“第二回合
运动员甲赢球”，B表示事件“第二回合比赛有运动员得分”.
由已知得，,,, ，
, ，
则 ，
即第二回合比赛有运动员得分的概率为 .
（2）羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的
优势，若各回合比赛相互独立，且比赛双方运动员甲和乙的实力相
当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为 .求第一回合发球者在整场比
赛中先得第一分的概率，并说明这种规则是否合理.
解：不妨设运动员甲先发球，记表示事件“第 回合运动员甲赢
球”，，2， ，记 表示事件“运动员甲先得第一分”，
则 ，
则 ，所以 ，即第一回合发球者在
整场比赛中先得第一分的概率大于 ，
则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理
上的优势，所以这种规则不合理.
例3（1）抛掷两颗质地均匀的骰子各一次，其中白色骰子与黑色骰子各
一颗，记“白色骰子的点数为4或5”， “两颗骰子的点数之和大于
8”，则___， __.
[解析] 易知 .抛掷白、黑两颗骰子各一次，试验的样本空间
有36个样本点，用中的, 分别表示抛掷白、黑两颗骰子所得的点
数，则,,，,,,, , ,，
共有10个样本点，所以， ，
所以， .
（2）在某一季节，疾病的发病率为，患者中 表现出症状
；疾病的发病率为，患者中表现出症状；疾病 的发
病率为，患者中表现出症状 .则以下结论中错误的是
( )
A.任意一位患者有症状 的概率为0.02
B.患者有症状时患疾病 的概率为0.4
C.患者有症状时患疾病 的概率为0.45
D.患者有症状时患疾病 的概率为0.25
√
[解析] 设“患疾病”，，2，3，“患者有症状 ”.由题意可知，， ，，，.
由全概率公式可 ，因此选项A中结论正确；
由贝叶斯公式可知
，因此选项B中结论正确；
，因此选项C中结论正确；
，因此选项D中结论错误.
故选D.

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