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(共36张PPT)
微专题13 事件与概率问题
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
事件与概率问题一般都会与其他的概率知识进行综合考查，试
题基础性比较强，易于求解.试题以解答题和选择题、填空题的形式
都有考查.应充分理解相应的概念，具体问题中能够熟练的应用相互
独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式、对立事件的减法公式
求解相应的概率问题.
微点1 古典概型的简单应用
例1（1）[2022·全国甲卷] 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个
点在同一个平面的概率为___.
[解析] 从正方体的8个顶点中任选4个，有 （种）情况.这4个
点在同一个平面时，可以是正方体的同一面上的4个顶点，也可以是
正方体对角面上的4个顶点，共有 （种）情况.故所求概率
.
（2）[2023·天津卷] 甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和
白球，其总数之比为 ，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为
，， .现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是
黑球的概率为___；将三个盒子中的球混合后任取一个球是白球的概
率为__.
[解析] 设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为,, ，，
所以三个盒子中球的总个数为 ，由题得甲盒中黑球的个数为
，白球的个数为 ，乙盒中黑球的个数为，白
球的个数为 ，丙盒中黑球的个数为,白球的个数为 .
记“从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球”为事件，
则 .
记 “将三个盒子中的球混合后任取一个球是白球”为事件 ，因为黑球总
共有（个），白球共有 （个）,
所以 .
【规律提炼】
古典概型问题的求解策略：
（1）古典概型计算公式：事件的概率，其中
和分别表示事件和样本空间 包含的样本点个数.
（2）古典概型是最基本的概率模型，应用古典概型求解问题的难点
在于确定和的值，常常会应用排列、组合等知识进行求解，
有些问题中还需要列出所有的样本点进行求值.
【巩固训练】
1.[2024·成都三模]现从11所学校中任选3所学校的代表交流发言，则
排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 从11所学校中任选3所学校共有 （种）选法，其中
排名为第一名或第五名的学校被选中的情况可以分为三类：
第一类，只选中排名为第一名的学校，有 （种）选法；
第二类，只选中排名为第五名的学校,有 （种）选法；
第三类，同时选中排名为第一名和第五名的学校，有 （种）
选法.
故共有（种）选法，故所求概率为 .故选D.
2.[2024·陕西安康模拟]甲、乙、丙、丁四人相约随机参观,, 三个
展区，每个展区至少有一人，每人只参观一个展区.设事件 表示“甲
与乙不到同一展区”，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，样本空间包含的样本点有 （个），其
中包含的样本点有（个），则 .故选A.
√
微点2 事件的关系与概率的综合应用
例2（1）[2024·山东菏泽模拟]现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到
,, 三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学，
每名同学只去一个社区.设事件 “恰有两人在同一个社区”，事件
“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件 “丙同学和丁同学在同
一个社区”，则下面说法正确的是( )
A.事件与相互独立 B.事件与 是互斥事件
C.事件与相互独立 D.事件与 是对立事件
√
[解析] 对于A，依题意知，甲、乙、丙、丁中必有两人在同一社区，
即事件A是必然事件，，显然 ，
，所以事件A与B相互独立，故A正确；
对于B，由 ，得事件A与B不是互斥事件，故B错误；
对于C，显然事件B与事件C不可能同时发生，即 ，
又 ，所以事件B与C不相互独立，故C错误；
对于D，显然事件B与C可以同时不发生，所以事件B与C不是对立事
件，故D错误.故选A.
（2）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和 .假定两球是否落入
盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为__;甲、乙两球至
少有一个落入盒子的概率为__.
[解析] 甲、乙两球落入盒子的概率分别为， ，且两球是否落入盒
子互不影响，所以甲、乙两球都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
【规律提炼】
事件的关系与概率的综合应用问题的求解策略：
（1）明确事件的关系：两个事件可以是互斥事件、对立事件、相互
独立事件等，涉及的概率运算公式有互斥事件的加法公式、对立事
件的减法公式、相互独立事件的乘法公式等.
（2）事件的关系与概率的综合应用：此类内容在概率问题中都会涉
及，具体问题中要先判断事件的关系，然后确定事件的概率，最后
根据题意进行有关事件概率的加法、减法、乘法运算，运算过程中
要先用大写英文字母设出各个事件，而后应用事件关系，准确进行
各个概率的运算.
【巩固训练】
[2022·全国甲卷] 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，
每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，
总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别
为，， ，各项目的比赛结果相互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
解：记“甲学校获得冠军”为事件 ，则 ，
故甲学校获得冠军的概率是0.6.
（2）用表示乙学校的总得分，求 的分布列与期望.
解： 的所有可能取值为0，10，20，30，
则 ，
，
，
，
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
.
所以 的分布列为
微点3 与频率分布直方图有关的概率
例3 新课标Ⅱ卷］ 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病
者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如
图所示的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于
的人判定为阳性，小于或等于 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率
是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判
定为阳性的概率，记为 .假设数据在组内均匀分布.以事件发生的
频率作为相应事件发生的概率.
（1）当漏诊率时，求临界值和误诊率 ;
解：当漏诊率时，由题意得 ，
解得 ，此时误诊率 ，
因此，当漏诊率时，临界值 ，误诊率 .
（2）设函数.当时，求 的解析式，
并求在区间 的最小值.
解：当 时，
，
，
，的最小值为 ；
当 时，
，
，
，的最小值为 .
综上，
在区间 的最小值为0.02.
【规律提炼】
与频率分布直方图有关的概率问题的求解策略：
（1）以频率估计概率.频率分布直方图中矩形的面积是频率，应用过
程中一般将频率作为概率进行运算.
（2）区间范围的概率问题.由频率分布直方图的结构特点可知其横坐
标是个范围量，故其解决的概率问题是区间范围的概率问题，因此
当问题中涉及分位数或者某区间的概率问题时，都是对各个横坐标
区间进行相应划分，转化为求解其面积的问题，如例中已知
的值求解的值就是如此.
【巩固训练】
[2024·陕西商洛模拟] 为了解学生
的周末学习时间（单位： ），高
一年级某班班主任对本班40名学
生某周末的学习时间进行了调查，
将所得数据按， ，
进行分组，整理绘制出如图所示的频率分布直方图.
（1）①求该班学生周末的学习时间不少于 的人数；
解：由题图可知，该班学生周末的学习时间不少于 的频率为
，
则该班学生的周末学习时间不少于的人数为 .
解：由题图可知，该班学生的周末学习时间在 的人数为
，周末学习时间在的人数为 ，
从中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，则抽取的6人中周
末学习时间在的有4人，周末学习时间在 的有2人.
设检测的3人的周末学习时间在同一组为事件 ，则 .
②用比例分配的分层随机抽样的方法在
和 中共抽取6人成立学习小队，
再从该小队选派3人接受检测，求检测的
3人的周末学习时间在同一组的概率.
（2）①估计该班同学周末学习时间的 分位数；
解：周末学习时间在以下的频率为 ，
周末学习时间在以下的频率为 ，
所以分位数在区间内，则 ，
所以估计该班同学周末学习时间的 分位数为8.75.
②将该班学生周末学习时间从低到高排列，估计第10名同学的周末
学习时间.
解：，所以问题相当于求 分位数，所以估计
第10名同学的周末学习时间为8.75.
古典概型、相互独立事件、概率的乘法公式、互斥事件的概率
加法公式和对立事件的减法公式，在概率问题中基本都会有体现，
一定要注意各类概率运算的条件，即先判断事件的关系，而后要注
意通过设事件的形式表述清楚.
例1 [2024·山东烟台三模] 为提高学生对航天科技的兴趣，培养学生
良好的科学素养，某学校组织学生参加航天科普知识挑战赛，比赛
共设置，， 三个问题，规则如下：①每位参赛者计分器的初始
分均为50分，答对问题，， 分别加10分，20分，30分，答错任
一题减10分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小
于40分或答完三个题后累计分数不足80分时，答题结束，挑战失败；
当累计分数大于或等于80分时，答题结束，挑战成功；③每位参赛
者按问题，， 顺序作答，直至答题结束.设甲同学能正确回答出
问题，，的概率分别为，， ，且各题回答正确与否互不影响.
（1）求甲同学挑战成功的概率；
解：用表示事件“甲第个问题回答正确”， 表示事件
“甲第个问题回答错误”，
则, , ，,, .
设 “甲同学挑战成功”，
则 ，
即甲同学挑战成功的概率为 .
（2）用表示甲同学答题结束时答对问题的个数，求 的分布列和
数学期望 .
解：由题意知， 的可能取值为0，1，2，
,
，
，
故 .
0 1 2
所以 的分布列为
例2 [2024·广东东莞模拟] 袋中装有大小相同的4个黑球， 个白球， 个黄球.
（1）当， 时，从袋中依次不放回地取出3个球，记取出的黑球
的个数为，求 的分布列及数学期望；
解：根据题意， 的可能取值为1，2，3，
则 ， ， ，
所以 的分布列为
1 2 3
所以 .
（2）当， 时，从袋中每次有放回地取出1个球，在第一次取出
的是黑球的条件下，求四次以内（含四次）取出三种颜色的球的概率.
解：当， 时，袋中有4个黑球，4个白球和4个黄球.每次有放回
地取出黑球、白球、黄球的概率均为 .
在第一次取出的是黑球的条件下，三次取出三种颜色的球的概率为
；在第一次取出的是黑球的条件下，四次取出三种颜色的球
的概率为 .
故在第一次取出的是黑球的条件下，四次以内（含四次）取出三种颜色的
球的概率为 .

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