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(共43张PPT)
微专题14 随机变量及其分布
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
此部分内容是高考命题的热点和重点，近几年试题与其他数学
知识综合考查，难度逐渐增加.试题以选填题、解答题的形式都有考
查，试题常常与统计、数列、函数等知识综合考查.高考备考建议提
升阅读能力，分析问题能力和逻辑推理能力，多做一些与实际联系
较为密切的试题.
微点1 离散型随机变量的分布列、期望和方差及其应用
例1 [2024·福建泉州二模] 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，
3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再
将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：主持人
请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由
抽奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人
先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机
打开甲选择之外的一个空箱子，记为 号箱.
（1）求 的概率；
解：设,,,分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，,, ,
分别表示主持人打开1，2，3，4号箱子.
由题意知，事件,,,发生的概率都是, ,
，， ，
由全概率公式得 .
（2）求 的期望及方差.
解：依题意可得， 的可能取值为1,3,4，
，， ，
故 的分布列为
1 3 4
所以 ，
所以 .
【规律提炼】
离散型随机变量的求解策略：
（1）规范求解步骤：首先确定变量的取值，其次求相应的概率，然
后列表，最后求期望和方差.
（2）熟记相应概率分布模型的期望、方差公式.离散型随机变量的方
差公式要记准：.若两个随机变量,满足
，则满足，.
（3）明确期望和方差的实际意义.描述了随机变量 的平均水
平， 描述了针对平均水平的波动幅度.具体问题中要能够根据两
个数字特征描述相应的实际问题情况.
【巩固训练】
[2024· 新课标Ⅱ卷] 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队
员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，
若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，
则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5
分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队
由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概
率为 ，各次投中与否相互独立.
（1）若， ,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的
比赛成绩不少于5分的概率.
解：若甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲在第一阶段比赛中
至少投中1次，乙在第二阶段比赛中也至少投中1次，
甲、乙所在队比赛成绩不少于5分的概率
.
（2）假设 .
（ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁
参加第一阶段比赛？
解：若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率
，若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比
赛成绩为15分的概率
，
,,, ,
,得， 应该由甲参加第一阶段比赛.
（ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参
加第一阶段比赛？
解：若甲参加第一阶段比赛，记甲、乙所在队的比赛成绩为，则
的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
.
若乙参加第一阶段比赛，记甲、乙所在队的比赛成绩为，则 的所
有可能取值为0，5，10，15，
同理可得 .
， 应该由甲参加第
一阶段比赛.
微点2 二项分布、超几何分布
例2 [2024·山东淄博模拟] 在一个不透明的密闭纸箱中装有 10个大小、形
状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出1
个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量 为小张摸出白球的个数.
（1）若小张每次从纸箱中随机摸出1个小球后放回纸箱，求 和 ；
解：因为小张每次从纸箱中随机摸出1个小球观察其颜色，连续摸4次，且
每次从纸箱中随机摸出1个小球后放回纸箱，所以随机变量 ，
所以， .
（2）若小张每次从纸箱中随机摸出1个小球后不放回纸箱，求 的分布列和 .
解：因为小张每次从纸箱中随机摸出1个小球观察其颜色，连续摸4次，
且每次从纸箱中随机摸出1个小球后不放回纸箱，所以随机变量 服
从超几何分布，则, ,3,4，
可得 , , ，
所以 的分布列为
所以 .
2 3 4
【规律提炼】
二项分布、超几何分布的求解策略：
（1）准确区分两种分布模型.二项分布：①有放回地抽取，每次抽取
事件发生的概率相同；②用样本的频率估计总体的概率，且是在总
体中进行抽取.超几何分布：①不放回地抽取；②总体中有两类事物
,共件，其中类有件，从中抽取件，其中类的个数为；
③在对应的抽取样本里研究而非总体.
（2）熟练掌握两种分布的概率计算公式和期望、方差计算公式.①若
，则 ，
， .
②若服从超几何分布，则， ，
， ，，其中，，，，， ，
，，，， ，
.
【巩固训练】
[2024·重庆万州区模拟] 某超市购进一批同种类
水果，按照果径大小分为四类：不达标果、标
准果、精品果、礼品果.质检技术人员从该批水
果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行
统计：,,,,（单位： ）.统计
后制成如图所示的频率分布直方图，并规定果径低于 为不达
标果，在到之间为标准果，在到 之间为
精品果， 及以上的为礼品果.
（1）现采用比例分配的分层随机抽样的方法
从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个
水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为 ，
求 的分布列与数学期望；
解：由题意知 ，解得
，所以这100个水果中礼品果的个数为 ，
采用比例分配的分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，
其中礼品果有 （个）.
随机变量 的可能取值为0,1,2，
则 ， ，
，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 .
（2）以频率估计概率，从这批水果中随机抽
取 个，设其中恰有2个精品果的概率
为，当最大时，求 的值.
解：由频率分布直方图知，从该批水果中随机抽取1个，取出的是精
品果的频率为 ，则 ，
所以， ，
.
要使最大，则
且 ，
解得，
因为 ,
，
所以，所以当最大时， 或 .
微点3 正态分布
例3 [2024·哈尔滨三模] 某市在高三年级开展
了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取
了500名学生的数据，根据他们的健康指数绘
制了如图所示的频率分布直方图.
（1）估计这500名学生的健康指数的平均数（同一组数据用该组区
间的中点值作代表）.
解：由题意得，平均数 .
（2）由频率分布直方图知，该市高三年级学
生的健康指数近似服从正态分布，
其中 近似为样本平均数， 近似为样本方
差
①求 ；
解：由（1）可知， ，
则 .
②已知该市高三年级的学生约有30 000名，记健康指数在区间
内的人数为，求 .
附：84.75≈9.21.若随机变量服从正态分布
，则 ，
，
.
解：由①可知1名学生的健康指数在区间 内的概率约为
.因为 ，所以
.
【规律提炼】
正态分布的求解策略：
（1）正态分布与二项分布的关系.正态分布是二项分布中的无限大
时的特殊情况，因此根据正态分布的有关性质可以求解二项分布问
题，比如求解二项分布概率最大项，可以结合正态分布当为均值时
概率最大进行研究.
（2）能够应用正态曲线的结构特征进行求解概率问题.正态曲线是一
个轴对称的钟形曲线，因此解决正态分布的概率问题的关键就是应
用轴对称进行求解，注意当 时概率最大.
（3）借助图象充分理解“ 原则”，数据不用特别记忆，具体问题
中能够利用轴对称和相应概率值求解指定概率值即可.
（4）准确应用正态分布求解实际问题.
【巩固训练】
[2024·陕西商洛模拟] 随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售
的新渠道.某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的
销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒
购物群数量/个 12 18 32 18
（1）求实数 的值，并用每组的中点值估计这100个购物群销售脐橙数量
的平均数.
解：由题意得，，解得 .这100个购物
群销售脐橙数量的平均数为
.
（2）假设所有购物群销售脐橙的数量，其中 为（1）中
的平均数， .若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，
记销售的脐橙数量在（单位：盒）内的群为“ 级群”，销售数
量小于256盒的购物群为“ 级群”，销售数量大于616盒的购物群为“特级
群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“ 级群”奖励100元，
对“ 级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数
按四舍五入取整数）
附：若，则 ，
， .
解：由题意得，,,则 , ，所以 ，故“级群”约有 （个）.
，故“特级群”约有 （个）.
依题意该脐橙基地大约需要准备
（元）奖金.
1.若能够判断变量服从二项分布，则需根据条件确定， ，最后依
据概率公式和期望、方差公式直接求值.
2.超几何分布的主要特点是总体数较少，可直接应用概率公式进行求解.
3.期望、方差主要应用公式计算求值，或者应用其意义进行优化判断.
例1 [2024·广州模拟] 小李参加了一个红包接龙游戏：他在红包里
塞了24元，然后发给朋友，如果猜中红包里的金额，那么 将获
得红包里的金额；如果未猜中红包里的金额，那么 将当前的红包
转发给朋友，如果猜中红包里的金额，那么， 平分红包里的金
额；如果未猜中红包里的金额，那么将当前的红包转发给朋友 ，
如果猜中红包里的金额，那么，，平分红包里的金额；如果
未猜中红包里的金额，红包里的金额将退回小李的账户.设，，
猜中的概率分别为，，，且，， 是否猜中互不影响.
（1）求 恰好获得8元的概率；
解：若恰好获得8元红包，则结果为未猜中，未猜中， 猜中，
故恰好获得8元的概率为 .
（2）设获得的金额为元，求 的分布列及数学期望.
解： 的可能取值为0，8，12，24，
， ，
， ，
所以 的分布列为
0 8 12 24
所以 .
例2 [2024·长沙模拟] 要获得某项英语资格证书必须依次通过听力
和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试.已知听
力和笔试各自允许有一次补考机会，两项成绩均合格方可获得证书.
现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每
次合格的概率均为，笔试成绩每次合格的概率均为 ，假设该同学
各次考试成绩合格与否互不影响.
（1）求该同学不需要补考获得证书的概率；
解：设“听力第一次考试成绩合格”为事件 ，“听力补考成绩合格”
为事件，“笔试第一次考试成绩合格”为事件 ，“笔试补考成绩合
格”为事件 .
不需要补考获得证书为事件 ，
则 .
（2）求该同学恰好补考一次获得证书的概率；
解：恰好补考一次获得证书为事件 ，
则 .
（3）在这项考试过程中，假设该同学不放弃所有的考试机会，记他
参加考试的次数为，求 的数学期望.
解：由题可知， 的可能取值为2，3，4，
，
，
，
所以的数学期望 .
例3 [2024·南宁模拟] 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随
机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量 ，定义其累积
分布函数为 .
（1）已知随机变量服从正态分布，且 的累积分布函数为
，求 .
解：由题得, ，
所以 .
（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等
待时间.已知随机变量 服从指数分布，其累积分布函数为
设 ，证明： .
附：若随机变量服从正态分布 ，则，
， .
证明：因为 ， ，所以 .
例4 某种药材的种植加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农
户按照药材质量将该种药材分为上等药材、中等药材、普通药材，
并分类装箱.已知某农户去年生产了8箱该种药材，其中上等药材2箱，
中等药材2箱，普通药材4箱.
（1）若在该农户去年生产的该种药材中随机抽取4箱，设 为其中上
等药材的箱数，求 的分布列和数学期望.
解： 的可能取值为0，1，2，
，， ，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 .
（2）已知每箱药材的利润如下表：
等级 上等药材 中等药材 普通药材
利润（元/箱） 4000 2000
今年市场需求增加，该农户计划增加产量，且生产的上等药材、中
等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加
箱，成本相应增加 元.假设你为该农
户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加
多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.
解：按原计划生产药材每箱的平均利润为
（元），则增加箱药材，利润增加 元，
成本相应增加 元，
所以增加的净利润为 .
设，则 .
当时， ，当时， ，
所以函数在上单调递增，在 上单调递减，
所以当时， 取得最大值，所以需要增加产量，增加20箱最好.

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