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微专题15 统计与成对数据的统计分析
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
独立性检验与回归分析问题是高考的必考内容，试题常常与概
率问题综合考查，试题难度中等，以解答题的形式为主.高考备考建
议熟练掌握独立性检验和回归分析的相关公式，注重计算能力和分
析能力的训练.
微点1 统计图表及数字特征的应用
例1（1）（多选题）[2024·广州一模] 现有十个点的坐标为 ,
, ,，它们分别与,, , 关于点
对称，已知,, ,的平均数为，中位数为，方差为 ，
极差为，则,, , 这组数满足( )
A.平均数为 B.中位数为
C.方差为 D.极差为
√
√
√
[解析] 因为,, ,分别与,, ,
关于点对称，所以 ，即
.
由平均数的性质可得,, , 这组数的平均数为，结合中位
数性质可知，， ， 这组数的中位数为，结合方差性
质可得，， ， 这组数的方差为，极差为.故选 .
（2）（多选题）[2024·济南模拟] 某次数学考试后，
为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取
了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分
布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，
A.
B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.5
D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
计算得到这100名学生中，成绩位于 内的学生成绩的方差为12，
成绩位于 内的学生成绩的方差为10，则( )
√
√
√
[解析] 对于A，在频率分布直方图中，所有直方
图的面积之和为1，则
，解得 ，故A错误；
对于B，前两个矩形的面积之和为
, 前三个矩形的面积之和
为 ，设该年级学生成绩的中
位数为，则 ，根据中位数的定义可得
，解得 ，故B正确；
对于C，估计成绩在80分以上的学生成绩的平均数为 ，故C正确；
对于D，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为，故D正确. 故选 .
【规律提炼】
利用频率分布直方图估计样本数字特征的方法：
（1）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面
积相等，由此可以估计中位数.
（2）平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘矩形底边中
点横坐标之和.
【巩固训练】
[2024·贵阳二模] 某工厂生产某电子产品配件，关键接线环节需要焊
接，焊接是否成功将直接导致产品“合格”与“不合格”，工厂经过大
量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的某性能指标有明
显差异，统计得到如图所示的“不合格”产品和“合格”产品该指标的
频率分布直方图.利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 ，
将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于 的产品判定为
“合格”.此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的
概率，记为 ；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概
率，记为 .假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相
应事件发生的概率.
（1）当漏检率时，求临界值和错检率 ；
解：因为 ，所以 ，
所以，解得 ，
所以 .
（2）设函数，当时，求 的解析式.
解：当时， ，
，此
.
当 时， ， ，
此时 .
综上，
微点2 独立性检验
例2 [2024·宁夏石嘴山三模] 某市电信公司为了解
当地市民对“亚运会”相关知识的认知程度，举办
了一次“亚运会”网络知识竞赛，满分100分.现从参
加了竞赛的男、女市民中各随机抽取100名市民的
竞赛成绩作为样本进行数据分析，对这100名男市民的竞赛成绩进行
统计后，得到如图所示的频率分布直方图.现规定成绩不低于80分的
市民获得优秀奖，则女市民样本中获得优秀奖的人数占比为 .
（1）根据题中信息完成如下列联表，依
据小概率值 的独立性检验，是否可
以认为该市市民在这次知识竞赛中是否获得
优秀奖与性别有关联？
性别 是否获得优秀奖 合计
优秀奖 非优秀奖 男
女
合计
单位：人
解：因为，
， ，所以抽取的男市民
中获得优秀奖的人数为25，抽取的女市民中获
得优秀奖的人数为5，可得如下 列联表：
附：，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
零假设为 是否获得优秀奖与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为该市市民在这次知识竞赛中是否获得优秀奖与性别有关联.
性别 是否获得优秀奖 合计
优秀奖 非优秀奖 男 25 75 100
女 5 95 100
合计 30 170 200
单位：人
（2）将样本分布的频率视为总体分布的概率，电信公司对在这次竞
赛中获得优秀奖的市民每人将发放50元手机话费充值卡作为奖励.从
该市所有参赛的市民中随机抽取10人，记电信公司发放的手机话费
充值卡的总金额为元，求 的数学期望.
解：由（1）可知，获奖的概率 ，
设 为抽取的10人中获得优秀奖的市民人数，
则 ，
所以 ，
因为,所以 .
【规律提炼】
独立性检验的求解策略：
（1）理解独立性检验的意义.零假设为与无关联，求得的
值，根据小概率值，比较与临界值的大小关系，从而判断是否
成立.的值越大，与的相关程度越强.
（2）有关结论的说法：比如若 ，根据小概率值
的独立性检验，我们推断不成立，即认为与 有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.05；若 ，根据小概
率值的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可
以认为成立，即认为与 无关联.
【巩固训练】
为了解某地初中学生体育锻炼的时长与学业成绩的关系，从该地区2
9 000名初中学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩
的数据如下表所示：
日均体育锻炼时长/小时
学业成绩优秀/人 5 44 42 3 1
学业成绩不优秀/人 134 147 137 40 27
（1）估计该地区29 000名初中学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数；
解：由表可知锻炼时长不少于1小时的人数占总人数的
，
则估计该地区29 000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为
.
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼时长的平均数（精确到 ）；
（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
解：估计该地区初中学生的日均体育锻炼时长的平均数为
.
（3）依据小概率值 的独立性检验，是否可以认为学业成绩
优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关联？
解：由题得列联表如下：
单位：人
学业成绩 日均体育锻炼时长 合计
其他 优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
零假设为 该地区成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小
于2小时无关联.
根据列联表中数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，即认为
学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关联.
微点3 线性回归问题
例3 [2024·陕西商洛模拟] 现阶段我国生活垃圾有填埋、焚烧、堆肥
等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已
逐渐成为主要方式，根据国家统计局公布的数据，对 年
全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数 进行统计，得到如下表格：
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
1 2 3 4 5 6 7 8
166 188 220 249 286 331 389 463
参考公式：样本相关系数 ；
经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
, .
参考数据：,, ,
，,, .
（1）根据表格中的数据，是否可用线性回归模型拟合与 的关系？
请用样本相关系数加以说明（精确到 ）；
解：由题知 , ，则样本相关系
数
，
因为与的样本相关系数 ，接近于1，所以与 的线性相关
程度很高，所以可用线性回归模型拟合与 的关系.
（2）求出关于的经验回归方程（系数精确到 ），并预测2024
年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；
解：由题可知 ，
则 ，
所以 .
当时， ，
所以预测2024年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为595.
（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）
中所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.
解：对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由（2）
所求的经验回归方程预测，理由如下（说出一点即可）
①经验回归方程具有时效性，不能预测较远的情况；
②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时
间内不再新建；
③受政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式.
【规律提炼】
线性回归分析的求解策略：
（1）理解线性回归分析的含义及相关概念.残差是观测值减去预测值
所得的差；经验回归直线是应用最小二乘法确定的，能够最佳拟合
已知数据规律的直线，可以依据经验回归直线进行预测相关数据；
经验回归直线恒过点，问题的难点是公式的应用.
（2）经验回归方程及相关系数的关系：任何一组数据都可以确定经
验回归方程，但是两组数据是否满足线性相关关系，散点图很难准
确判断，所以引入样本相关系数，, 越接近于1，线性相关
程度越强，反之越弱；，则，正相关，反之 ，负相
关， ，则两个数据满足线性函数关系.要注意样本相关系数公
式与 公式有很大关联，求解过程中注意计算的灵活性.
【巩固训练】
为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的
人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标
准的安家补贴费和生活津贴.某市政府从本年度的1月份开始进行人才
招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符
合一定标准的人员才能被录用.现对该市 月份的报名人员人数和
录用人才人数（单位：千人）进行统计，得到如下表格.
月份 1月份 2月份 3月份 4月份
3.5 5 6.5 7
0.2 0.33 0.4 0.47
（1）建立关于 的经验回归方程；
解：由题意得， ，
所以 ，
，
所以关于的经验回归方程为 .
附：经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,;, .
（2）假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴，若该市5
月份有8000名人员报名，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的
生活津贴的总金额.
解：将代入 ，得
， （万元），故估计该市对5月份招聘的
人才需要发放的生活津贴的总金额为1060万元.
微点4 概率与统计的综合应用
例4 [2024·辽宁抚顺模拟] 某兴趣小组调查并统计了某班学生期末考
试中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否
有关联.若从该班中随机抽取1名学生，设事件 “抽取的学生期末
考试中的数学成绩不及格”，事件 “抽取的学生建立了个性化错题
本”，则，， .
（1）求和 ；
解：因为，， ，
所以，， .
由，即，解得 ，
所以 .
由，即 ，
解得 .
（2）若该班级共有36名学生，请补充如下 列联表，依据小概
率值 的独立性检验，是否可以认为学生期末考试中的数学
成绩与是否建立个性化错题本有关联？
单位：人
个性化错题本 期末考试中的数学成绩 合计
及格 不及格 建立
未建立
合计
解： 列联表如下：
单位：人
个性化错题本 期末考试中的数学成绩 合计
及格 不及格 建立 20 4 24
未建立 4 8 12
合计 24 12 36
附：，其中 .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为学生期末考试中的数学成绩与是否建立个性化错题本有关联.
零假设为 期末考试中的数学成绩与是否建立个性化错题本无关联.
（3）为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班中抽
取一个容量为 的样本（假设根据新样本数据建立的列联表中，所
有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的 倍，且新列联表中的数
据都为整数），若要使得在犯错误的概率不超过0.001的前提下可以
肯定（2）中的判断，试确定 的最小值.
附：，其中 .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
解：由题知
，解得 .
要使新列联表中的数据都为整数，则需，
又因为，所以 的最小值为5，
所以的最小值是 .
【规律提炼】
概率与统计的综合应用的求解策略：
此类试题主要有三类：一是独立性检验与概率的综合应用；二是回
归分析与概率的综合应用；三是独立性检验与回归分析的综合应用.
一般来说两类知识内容的交叉点不是很多，因此求解此类试题的关
键是能够准确求解相应知识模块的问题.
【巩固训练】
[2024·陕西安康模拟] 某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有
一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置
（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所
有球中“准点球”的百分比,学员已经训练了1年，下表记录了
学员最近七周“准点球”的百分比.
1 2 3 4 5 6 7
52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3
参考公式和数据：对于一组数据,, , ,样本相关系数
,在经验回归直线 中，,
. ，,, ,
, .
（1）若，根据上表数据，计算与的样本相关系数 ，并说
明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与 线性
相关性很强；若，则认为与 线性相关性一般；若
，则认为与线性相关性较弱）（精确到 ）
解：由题可知 ，
故与 的线性相关性很强.
（2）求关于 的经验回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比
（精确到 ）；
解：由题可知 ，
，
所以关于的经验回归方程为 .
将代入得 ，
当时， ，
故预测第9周“准点球”的百分比为 .
（3）若现在认为学员“准点球”的百分比为 ，并以此为概率，现让
学员打3个球，以表示“准点球”的个数，求 的分布列及数学期望.
解：现在学员任打1个球是“准点球”的概率 ，
由题意得 ，则 ，
， ，
.所以 的分布列为
0 1 2 3
故 .
1.统计与概率的综合问题，常常涉及较多的是独立性检验与条件概率、
二项分布、超几何分布等，一般统计与概率的内容联系不大，因此
具体问题中主要就应用概率的知识解决概率问题，应用统计的知识
解决统计问题.
例1 [2024·长沙一模] 某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质
检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据制作了下表.
优质品 非优质品
更新前 24 16
更新后 48 12
（1）依据小概率值 的独立性检验，分析设备更新后能否提
高产品优质率？
附：,其中 .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
解：零假设为 设备更新与提高产品的优质率无关联，即设备更
新前与更新后的产品优质率没有差异.
由列联表中数据，经计算得到
，
根据小概率值 的独立性检验，我们可以推断 不成立，因此
可以认为设备更新后能够提高产品优质率.
（2）如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的
优质率.质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，
核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新
成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败.
①求经核查认定设备更新失败的概率 ；
解：根据题意，设备更新后的优质率为0.8.可以认为从生产线中抽出
的5件产品是否优质是相互独立的.
设表示这5件产品中优质品的件数，则 ，可得
.
②根据 的大小解释核查方案是否合理.
解：实际上设备更新后提高了优质率.
当这5件产品中的优质品件数不超过2时，认为更新失败，此时作出
了错误的判断，
由于作出错误判断的概率很小，因此核查方案是合理的.
例2 [2024·太原模拟] 贵州省“美丽乡村”篮球联赛在比赛间隙进行
芦笙舞、侗族大歌等非物质文化遗产表演，这项活动将体育运动与
当地民族民俗文化相融合，创造出独特的文体公共产品.为了打造更
具吸引力的赛事，某平台发起了群众观赛意见反馈调查，共收回了
200份调查问卷.
性别 关注赛事 不关注赛事
男 84 36
女 40 40
（1）通过进一步分析关注赛事群众的调查问卷得知，关注表演的女性
用户有24名，现从关注赛事的群众中抽取1人，设“抽取的1人为男性”为
事件，“抽取的1人关注表演”为事件 ，若 ，则以
此次调查的数据为依据，从平台用户中任意抽取1名用户，则该用户关
注表演的概率估计为多少
解：由题意可知，关注赛事的总人数为 ，其中男性有
84人，女性有40人，女性中关注表演的有24人，则不关注表演的女
性有16人.
设在关注赛事的84名男性中，关注表演的有 人，则不关注表演的男
性有 人，所以不关注表演的共有 人.
， ，
由，得 ，
解得 ，所以关注表演的男性有20人，
即在样本中关注表演的共有44人，在样本中的比例为 .
故从平台的所有用户中任意抽取一名用户，该用户关注表演的概率
估计为0.22.
（2）依据小概率值 的独立性检验，是否可以认为是否关注
赛事与性别有关联？
附：，其中 .
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
解：由题意得 列联表如下：
单位：人
性别 是否关注赛事 合计
关注赛事 不关注赛事 男 84 36 120
女 40 40 80
合计 124 76 200
零假设为 是否关注赛事与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，即认为
是否关注赛事与性别有关联.
2.解决非线性回归分析问题主要就是换元，因此求解过程中要能够根
据条件提醒，进行取对数或者直接换元求解.
例3 [2024·重庆万州区模拟] 某公司为了解年研发资金 （单位：亿
元）对年产值 （单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金
和年产值 的数据对比分析中，选用了两个回归
模型，并利用最小二乘法求得相应的关于 的经验回归方程分别为
， .
（1）求 的值；
解：因为， ，
所以，解得 .
（2）已知①中的残差平方和 ，②中的残差平方和
，请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程，并
利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值.
参考数据：，， ，
.
参考公式：决定系数 .
解：设经验回归方程①的决定系数为，由 ，
得 ；
设经验回归方程②的决定系数为，由 ，
得 .
因为 ，所以经验回归方程②的拟合效果更好.
当时， ，
所以估计年研发资金为20亿元时的年产值为295.02亿元.
例4 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对
柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均
产卵数（个）和平均温度 有关，现
收集了以往某地的7组数据，得到下面的散
点图及一些统计量的值.
5215 17 713 714 27 81.3 3.6
（1）根据散点图判断， 与
（其中，，，均为常数， 为
自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产
卵数关于平均温度 的回归模型？
（给出判断即可，不必说明理由）
解：由散点图可以判断，随着温度升高，产卵数增长速度变快，符
合指数函数模型的增长，
所以更适宜作为平均产卵数关于平均温度 的回归模型.
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出 关
于的经验回归方程.（计算结果精确到 ）
附：在经验回归方程中 ,
, .
解：将 两边同时取自然对数，得
，则 .
由题中的数据可得， ,
，
所以 ，则
，
所以关于的经验回归方程为，所以关于 的经验回
归方程为 .

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