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微专题16 直线与圆
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
直线与圆作为高考中常考题目，在高考中多以小题形式出现，
重点考查直线与圆的位置关系、双切线问题、相关线段或面积的最
值问题等.备考过程中要强化记忆并能熟练应用有关结论，要学会和
掌握转化与化归的数学思想，能够将一些相关问题合理地转化为直
线与圆位置关系的问题.
微点1 直线的方程
例1（1）[2024·陕西神木三模]已知直线 ，直线
，,,.若“”是“ ”的充要条
件，则 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 若，则 ，
又因为，所以,，
则，解得 .故选B.
√
（2）（多选题）已知集合 ，
，则下列说法正确的是( )
A.，
B.当时，
C.当 时，
D.存在，使得
√
√
[解析] 对于选项A，方程表示过定点 ，且斜
率不为0的直线，所以 表示直线
上所有的点，所以, ，故A正确.
对于选项B，当时， ，
，由解得
所以，故B正确.
对于选项C，当 时，若 ，则；
若 ，则直线 与直线平行，
且，所以，解得 .
综上所述，或，故C错误.
对于选项D，若 ，则由选项C可知，
且，无解，故D错误.故选 .
【规律提炼】
解决直线的方程问题的要点：（1）熟悉不同形式的直线方程中的参
数的几何意义；（2）能够熟练地将直线的方程与直线相结合；（3）
要注意各种形式的直线方程的“短板”，要考虑到斜率不存在情况，
同时注意斜率为零时直线方程的特征.
【巩固训练】
1.（多选题）已知直线和直线与 轴围成的三
角形是等腰三角形，则实数 的值可能是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 设直线,的倾斜角分别为 , ，则, .
当围成的等腰三角形的底边在轴上时， ，
；
当围成的等腰三角形的底边在直线上时，或，
由且 ，得，
所以 ，
或 ；
当围成的等腰三角形的底边在直线上时， ，
则.
综上可得，实数 的值为或或或.故选 .
2.已知动点,分别在直线与
上移动，则线段的中点到坐标原点 的最短距离为__.
[解析] 由题可知,
动点,分别在直线 与
上移动，且线段的中点为， 点 在直线上运动，
又坐标原点到直线 的距离，
点到坐标原点的最短距离为 .
微点2 圆的方程
例2（1）[2024·海口模拟]下列方程中表示圆心在直线 上，半径
为 ，且过原点的圆的是 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为圆心在直线上，所以设圆心为 ,
因为圆的半径为，所以圆的标准方程为 ,
因为该圆过原点，所以，解得,
所以圆心为 或.
当圆心为时，圆的标准方程为 ;
当圆心为时，圆的标准方程为 .故选D.
（2）[2022·全国甲卷] 设点在直线上，点 和
均在上，则 的方程为______________________.
[解析] 由题可知，以和 为端点的线段的垂直平分线的方程
为，
与方程联立，得， ，
所以，半径,
所以 的方程为
【规律提炼】
求解圆的方程问题的策略：（1）用好待定系数法求解圆的标准方程
和一般方程.求解圆的标准方程关键是确定圆心和半径，当题中条件
涉及圆心和半径问题可以设出标准方程，通过解方程（组）的方法
进行求解，尤其是已知圆心所在的直线方程或与相切有关的条件时
首选标准方程.当已知三个条件时也可以设一般式，通过解三个方程
确定一般方程中的,,，尤其是已知圆上三个点的坐标时，首选一
般方程.（2）用好有关圆心和半径的相关结论.圆心满足到圆周上各
点的距离相等，两个弦的中垂线的交点是圆心，圆心到切点（切线）
的距离等于半径，切点和圆心的连线与切线垂直等等，均可确定圆
心和半径，进而直接写出圆的方程.
【巩固训练】
1.[2022·全国乙卷] 过四点，，， 中的三点的一
个圆的方程为
______________________________________________________________________________________________________________________.
[解析] 若选,, 三点，设圆的方程为
，把这三点的坐标分别代入可得
解得 所以圆的方程为
.
同理，若选,, 三点，则圆的方程为
.
若选,, 三点，则圆的方程为.
若选,, 三点，则圆的方程为
.
所以满足条件的圆的方程为
.
2.[2024·江西南昌三模] 设圆心在轴上的圆过点 ，且与直线
相切，则圆 的标准方程为_________________.
[解析] 设圆的圆心为，则该点到直线 的距离
，
由圆与直线相切，知圆的半径为 ，所以圆
的方程是.
因为圆过点 ，所以，解得.
所以圆 的标准方程是 .
微点3 直线与圆的位置关系
考向1 直线与圆相切或相交
例3（1）[2023· 新课标Ⅰ卷]过点与圆 相
切的两条直线的夹角为 ，则 ( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 由可得 ，可得圆心坐
标为，半径.
又点到圆心的距离 ，所以，
，故 .
（2）[2024·全国甲卷]已知是,的等差中项，直线
与圆交于，两点，则 的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.
√
[解析] 由题意知，,, 成等差数列，所以， ，
代入直线方程得 ，
即，令
解得故直线恒过点，设 .
圆的标准方程为，圆的半径 ,
设圆心为C，画出图形，如图所示，由图可知，当时，最小，
又 ,，所以当 时，
. 故选C.
考向2 直线与不完整的圆的位置关系相关问题
例4 [2024·厦门模拟]如图，圆 的半径为2，弦
平行于轴，将劣弧沿弦 翻折上去后恰好
经过原点，此时直线 与这两段弧有4
个交点，则 的值可能为( )
A. B. C. D.1
√
[解析] 因为将圆的劣弧沿弦 翻折上去后恰
好经过坐标原点，所以， .
当直线过点 时，将C的坐标
代入，可得 .
由题可知， 圆弧对应的圆的圆心在轴上，
设该圆心为 ，则 ，所以
，解得 ，
则翻折后劣弧所在圆的半径为2，故劣弧 所在圆的方程为
.
当直线与劣弧相切时，有 ，
解得或 （舍），
结合图形可知，当 时，
直线 与两段弧有4个交点.故选B.
考向3 直线与圆中的平面向量综合
例5 [2024·安徽合肥一模]已知直线 与圆
交于不同的两点,， 是坐标原点，且
，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设的中点为C，则，
，，，
，，即.
又直线 与圆交于不同的两点A，B，
，故 ，则，
, .故选C.
【规律提炼】
（1）解决直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆
心到直线的距离与半径的大小关系判断，并依据圆的几何性质求解；
解决直线与圆的弦长问题时，主要依据弦长的一半、弦心距、半径
构成的直角三角形进行求解.
（2）解决直线与不完整的圆以及由圆衍生的其他对称图形的位置关
系时，首先要研究该图形的性质，然后对相关临界点进行分析，进
而转化为直线与圆的位置关系，根据交点个数求解参数范围.
（3）解决直线与圆中的平面向量的综合问题，要利用转化与化归的
数学思想，结合平面向量的线性运算和数量积运算，将问题转化为
直线与圆的位置关系相关的问题进行求解.
【巩固训练】
1.若直线与曲线 恰有两个公共点，则
实数 的取值范围是______.
[解析] 直线过定点 .
由 ，可得 ，
所以曲线表示圆心为 ，
半径为1 的圆的上半部分，如图所示.
当直线 与曲线相切时，有 ，
解得（舍去）或.
当直线过点 时，，解得.
因为直线 与曲线恰有两个公共点，
所以，即 的取值范围是 .
2.直线与圆交于，两点，若 ，则
_____.
[解析] 设，，线段的中点坐标为 ，则
，且
，即
，两点在圆 上，，，
又 ，，故 .
微点4 圆与圆的位置关系
例6（1）[2024· 济南模拟]已知圆 的圆
心到直线的距离是，则圆 与圆
的位置关系是( )
A.外离 B.相交 C.内切 D.内含
√
[解析] 由题可得圆的标准方程为，
所以圆 的圆心为，半径为 .
由点到直线的距离公式得，又，所以.
由题得圆 的圆心为，半径为1，所以 .
因为，所以圆与圆 内含.故选D.
（2）（多选题）已知圆 与圆
，与两个圆都相切的直线叫作这两个
圆的公切线，若两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫作这两个
圆的外公切线，一条公切线上的两个切点之间的线段的长称为公切
线的长.则下列说法正确的是( )
A.无论取何值，圆心始终在直线 上
B.若圆与圆有公共点，则实数的取值范围为
C.若圆与圆的公共弦长为，则或
D.当时，圆与圆的外公切线的长为
√
√
√
[解析] 对于A，圆的圆心坐标为，点 恒在直线
上，故A正确；
对于B，若圆与圆 有公共点，则，
即，解得 或，故B错误；
对于C，将圆的方程与圆 的方程作差可得公共弦所在直线的
方程为，则圆心 到该直线的距离
，解得 或 ，
故C正确；
对于D，当时，圆与圆 的圆心距为3，
因为，所以圆与圆 外切，则外公切线的长为
，故D正确.故选 .
【规律提炼】（1）判断两圆的位置关系的核心是两圆心之间的距离
与两圆半径和、差之间的大小关系；（2）两圆的相交弦问题，其解
决方法为将两圆的方程相减后整理得到相交弦所在直线的方程，然
后转化为直线与圆的位置关系问题进行求解.
1.解决直线与圆的位置关系时，如果题干没有圆的方程，需要根据题
干中的条件先求出相应的方程，然后转化成熟悉的题型，此类题型
只要注意选择合适的方法进行转化即可.
例1 [2024·南昌模拟] 已知点,,，动点 满足
，则取得最小值时，点 的坐标为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，由，得，整理得点 的轨迹
方程是，
由，得 ，所以，
故当且仅当,A,C三点共线，且点 在A,C之间时，
取得最小值.
线段 的方程为，由可得
故当取得最小值时，点的坐标为 .故选C.
2.直线与圆综合应用相关试题通常会以不等式或者三角函数为载体，
解题的关键点是需要挖掘隐藏条件，将问题转化为直线与圆相关的
问题，此类相关试题中三角代换也是常见的转化方法.
例2 [2024·上海交大附中四模] 平面内的点集
所构成的区域的面积为
_____.
[解析] 点集 , }是以
为圆心，3为半径的圆上的点的集合，
又点在以 为圆心，1为半径的圆上，
所以平面内的点集
, }所构成的
区域为图中阴影部分（含边界），其面积为 .
3.圆与圆的位置关系问题中要注意，若问题不是直接讨论两圆的位置
关系，或者给出两圆的位置关系求参数时，以单圆的形式出现，则
一般会有个隐圆.我们需要挖掘隐藏条件或将一些不等式、不等关系
进行转化，找到另一个隐藏的圆，然后转化为判断圆与圆位置关系
相关的试题.
例3 [2024·郑州模拟] 已知点在圆 上运动，若对任
意点，在直线上均存在两点，，使得 ，
则线段 长度的最小值是_________.
若对任意点，在直线 上均存在两点，，
使得，则 上的点均在以为直径的
圆内或圆上，即以为直径的圆与圆 的位置关系为内切或内含.
[解析] 如图①，由题可知，圆的圆心为点，半径 .
如图②，设为直线 上一点，连接并延长，的延长线交圆于 .
当时，以为圆心，为半径作圆，交直线 于，两点，
此时，
又此时线段 的长度取得最小值，
所以此时线段 的长度取得最小值.
点到直线 的距离 ，
所以线段长度的最小值为 .

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