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2025年广东省茂名市高考数学第二次综合测试试卷
一、单选题：本题共8小题，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，不共线，且，则实数( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.二项式的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.设为坐标原点，为双曲线：的左焦点，圆：与的渐近线在第一象限的交点为，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列中，，，记数列前项和为，下列选项正确的是( )
A. 数列的公差为 B. 取最小值时，
C. D. 数列的前项和为
10.的内角，，的对边分别为，，，已知，，，下列选项正确的是( )
A. B. 可能成立
C. 可能是等腰三角形 D. 面积的最大值为
11.设为坐标原点，对点其中进行一次变换，得到点，记为，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 为图象上一动点，，若的轨迹仍为函数图象，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若，则 ______．
13.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______．
14.已知棱长为的正四面体，，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，为常数，且．
若，求函数的单调区间；
若方程有且仅有个不等的实数解，求的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，．
证明：；
若为线段上一点，且，，，四点共面，求三棱锥的体积．
17.本小题分
某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己次训练情况并将成绩满分分统计如下表所示．
成绩区间
频数
求上表中成绩的平均值及上四分位数同一区间中的数据用该区间的中点值为代表；
该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了次成绩，再从这次成绩中随机选次，设成绩落在区间的次数为，求的分布列及数学期望；
对这次训练记录分析后，发现某项动作可以优化优化成功后，原低于分的成绩可以提高分，原高于分的无影响，优化失败则原成绩会降低分，已知该运动员优化动作成功的概率为在一次资格赛中，入围的成绩标准是分用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆的焦距为，点在上，是的右焦点，设过点的直线与交于，两点．
求的方程；
直线不与轴重合，且平分．
求的值；
若点是直线与的交点，证明：．
19.本小题分
已知为一个连续函数，若数列满足：，，则称数列是关于的“可差数列”，记数列的前项和为．
若是关于的“可差数列”，求的通项公式及；
已知满足：，，若是关于的“可差数列”．
试求一个满足条件的的解析式；
证明：对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，．
参考答案
1.
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14.
15.解：由得：，解得，
所以，令得或，
，或，
所以的单调减区间为，单调增区间为，；
由题意得，，
令得或，
，或，所以的单调减区间为，单调增区间为，，
结合时，；时，，
所以要使方程有且仅有个不等的实数解，
只需，或，
又，所以，
解得或或，又，所以．
16.解：证明：由题意知，，
因为，
所以，又平面，又平面，
所以，又，平面，且，
所以平面，又平面，
所以．
因为平面，又，平面，
所以，，又，所以，，两两垂直，
如图以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，
不妨令，则，，
所以．
设，，则，
因为，，，四点共面，
则，
解得，
即，
所以．
17.解：依题意，平均值，
因为，，所以上四分位数落在区间，
且等于．
由样本数据可知，训练成绩在，，之内的频数之比为：，由分层抽样的方法得，
从训练成绩在中随机抽取了次成绩，在，之内的次，在之内的抽取了次，
所以可取的值有：，，，，，，
分布列为：
．
设事件，，分别表示动作优化前成绩落在区间，，，
则，，相互互斥，所以动作优化前，在一次资格赛中，
入围的概率，
设事件为“动作优化成功”，则，动作优化后，在一次资格赛中，
入围事件为：且事件，，相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率，
故，
由解得，又因为，所以的取值范围是．
18.解：因为椭圆的焦距为，所以椭圆的左右焦点分别是，，
又因为点在椭圆上，所以，
所以，所以，
所以椭圆的方程为：．
依题意设直线的方程为：，联立，消去得，
则，即，
设，，则，
由，的坐标可知轴，所以平分，等价于，
所以，即，
把，代入并化简得：，
把式代入上式得：，
化简得，所以经检验，符合，此时．
欲证，只需证：，
由可得，，
又因为，，，
所以，
所以，即．
19.解：因为，
所以，
因为，，
所以．
因为，，，
不妨令，
则，
即，
所以，得，，，
所以，即．
证明：由可知：，
因为，
当时，
，
所以，
，取，则，取，
当时，恒有成立．
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