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2024-2025学年河北省邢台市名校协作体高二下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.下列说法中，错误的命题是( )
A. 在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好
B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C. 设随机变量服从正态分布，则
D. 对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小
3.某学校高三班要从名班干部其中名男生，名女生中选取人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则 ．
A. B. C. D.
4.已知，则为( )
A. B. C. D.
5.从位同学中选派位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有人参加，星期六、星期日各有人参加，则不同的选派方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知随机变量的分布列如下，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型其中为自然底数拟合，设，其变换后得到一组数据：
由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为( )
A. B. C. D.
8.已知甲盒中有个球且都为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中
放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
放入个球后，从甲盒中取个球是红球的概率记为，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在某次数学测试中，学生的成绩，则( )
A.
B. 若越大，则越大
C.
D.
10.下列选项中正确的有( )
A. 随机变量，则
B. 将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”，“至少出现一个点”，则概率
C. 口袋中有个红球、个蓝球和个黑球．从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量则的数学期望
D. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为
11.已知红箱内有个红球、个白球，白箱内有个红球、个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的
球是红球的概率为，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 第次取出的球是红球的概率为
D. 前次取球恰有次取到红球的概率是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的二项展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中的常数项为 ．
13.某学校组织学生进行答题比赛，已知共有道类试题，道类试题，道类试题，学生从中任选道试题作答，学生甲答对这类试题的概率分别为，，若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为 ．
14.某次大型联考名学生参加，考试成绩满分分近似服从正态分布其中和分别为样本的均值和标准差，若本次考试平均成绩为分，分以上共有人，学生甲的成绩为分，则学生甲的名次大致是 名附：若随机变量服从正态分布，则，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
用，，，，，这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？运算结果以数字作答
无重复数字的四位偶数；
无重复数字且为的倍数的四位数；
无重复数字且比大的四位数．
16.本小题分
已知在的展开式中，前项的系数分别为，且满足求：
展开式中二项式系数最大项的项；
展开式中系数最大的项；
展开式中所有有理项．
17.本小题分
某市为吸引大学生人才来本市就业，大力实行人才引进计划，提供现金补贴，为了解政策的效果，收集了年人才引进就业人数数据单位：万，统计如下年份代码分别代表年其中，，，．
年份代码
引进人数
根据数据画出散点图，并判断，，，哪一个适合作为该市人才引进就业人数关于年份代码的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由
根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；所有过程保留两位小数
试预测该市年的人才引进就业人数．
参考公式：，．
18.本小题分
年月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的户居民由于台风造成的经济损失单位：元，将收集的数据分成，，五组，并作出如图所示的频率分布直方图．
遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过元和自家经济损失是否超过元有关；
项目 经济损失不超过元 经济损失超过元 总计
捐款超过元
捐款不超过元
总计
将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取户居民，抽取次，记被抽取的户居民中自家经济损失超过元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．
附：，．
19.本小题分
某校在周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第次答题，答对得分，答错得分，从第次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得分教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为，每次答题是否答对互不影响．
Ⅰ求甲前次答题的得分之和为分的概率．
Ⅱ记甲第次答题所得分数的数学期望为
(ⅰ)求，，，并猜想当时，与之间的关系式
(ⅱ)若，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：符合要求的四位偶数可分为两类，
第一类，在个位时有个；
第二类，或在个位时，首位从，，或，中选有种情况，十位和百位从余下的数字中选有种情况，
于是有个，
由分类加法计数原理知，共有四位偶数个．
符合要求的数可分为两类：第一类：在个位时有个；
第二类：在个位时有个．
故满足条件的四位数共有个．
符合要求的比大的四位数可分为四类：
第一类：形如，，，，共有个；
第二类：形如，，，共有个；
第三类：形如，，共有个；
第四类：形如，共有个．
由分类加法计数原理知，
无重复数字且比大的四位数共有个．
16.因为展开式的通项公式为，，
所以
依题意得，即，由已知，
所以，
所以的展开式有项，二项式系数最大的项为第项，
所以．
由知，，
设展开式中系数最大的项为第项，则
即，即
解得，所以或，
所以展开式中系数最大的项为和．
由为有理项知，为整数，得，，
所以展开式中所有有理项为和．
17.图像
适合作为该市人才引进就业人数关于年份代码的回归方程类型
将代入得．
18.由频率分布直方图可得，在抽取的户中，经济损失不超过元的有户，经济损失超过元的有户，补全表格数据如下：
项目 经济损失不超过元 经济损失超过元 总计
捐款超过元
捐款不超过元
总计
零假设：捐款数额超过或不超过元和自家经济损失是否超过元无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，即认为捐款数额超过或不超过元和自家经济损失是否超过元有关；
由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过元的居民的频率为，将频率视为概率，由题意知的可能取值为，，，，且，
，
，
，
，
从而的分布列为：
，．
19.解：前次的得分分别是
对，对，错，或错，对，对，
所以所求概率是
Ⅱ甲第次答题得分、分的概率均为，
则．
甲第次答题得分、分、分的概率分别为，，，
则．
甲第次答题得分、分、分、分的概率分别为，，，，
则．
当时，因为甲第次答题所得分数的数学期望为，
所以第次答对题所得分数为，答错题所得分数为分，其概率均为，
所以，
故猜想：，
由知数列是以为首项，为公差的等差数列，
根据等差数列的求和公式，
可得
当时，，
当时，，
因为随着的增大而增大，
所以的最小值为．
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