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模型60 相似之一线三等角模型
跟踪练习
1. 如图， 已知D，E，F分别为等腰三角形ABC的边BC, CA, AB上的点, 如果AB=AC, ∠FDE=∠B,BD=2, CD=3, CE=4, AE=1, 那么AF的长为 ( )
A.3.5 B.4 C.4.5 D.5
2.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点 D 的直线翻折∠A，使点 A落在BC边上的点 F处，折痕交AC于点E, 当BF=1, 时，则AD的长是 ( )
A B. C.2 D.
3.如图， 已知在四边形ABED中，点 C是线段AB的中点， 且∠A=∠B=∠DCE, BE=2, AD=8, 那么AC= .
4. 如图, 在△ABC中, AB=AC, 点P, D分别是BC, AC边上的点,且∠APD=∠B.
(1)求证: AC·CD=CP·BP;
(2)若AB=10, BC=12, 当PD∥AB时, 求BP的长.
5. 如图, 在平面直角坐标系xOy中，边长为4的等边三角形OAB的边 OA在x轴上，C, D, E分别是 AB, OB, OA边上的动点, 且满足BD=2AC, DE∥AB, 连接CD, CE, 当点E的坐标为 时,△CDE 与△ACE相似.
1. A 解析: ∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠FDE=∠B, ∴∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠CDE,∴∠BFD=∠CDE,又∵∠B=∠C,∴△BDF∽△CED,∴BD:CE=BF:DC,∵BD=2,CD=3, CE=4, ∴ BF=1.5.∵AB=AC=1+4=5, ∴AF=5-1.5=3.5.故选A.
2. B 解析: ∵△ABC 的边长为4, 由翻折性质得△ADE≌△FDE, ∴AD=DF, AE=EF, ∠DFE=∠A=60°, ∴∠DFB+∠EFC=120°.∵∠C=60°,
∴ ∠EFC+∠CEF=120°, ∴∠CEF=∠DFB.
∵ ∠B=∠C=60°, ∴△BDF∽△CFE,
故选B.
3. 4 解析: ∵ ∠A=∠B=∠DCE, ∠ADC=180°-∠A-∠ACD, ∠BCE=180°-∠DCE-∠ACD, ∴ ∠ADC=∠BCE, ∴△ACD∽△BEC, ∴ AD: BC=AC: BE.∵点C是线段 AB的中点, ∴AC=BC, ∴ AC =AD.BE=16,∴ AC=4.
4. 解析: (1) 证明: ∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠C.
∵ ∠APD=∠B, ∴∠APD=∠B=∠C.
∵∠APC=∠BAP+∠B, ∠APC=∠APD+∠DPC,
∴ ∠BAP=∠DPC, ∴△ABP ∽△PCD,
∴ BP:CD=AB:CP,∴AB·CD=CP·BP.
∵ AB=AC, ∴AC·CD=CP·BP.
(2) ∵ PD∥AB, ∴∠APD=∠BAP.
∵∠APD=∠C, ∴∠BAP=∠C.
∵∠B=∠B, ∴△BAP ∽△BCA,
∵AB=10, BC=12,∴ =BP ,
( .0)或 解析: ∵ DE∥AB,∴△ODE ∽△OBA, ∴△ODE 也是等边三角形,则OD=OE=DE. 设 E(a,0),则OE=OD=DE=a,BD=AE=4-a.∵△CDE与△ACE 相似，∴分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时,∠DCE=∠CEA,∴CD∥AE,∴四边形AEDC是平行四边形,∴AC=DE=a. ∵BD=2AC, ∴4-a=2a, ② 当△CDE∽△AEC 时, ∠DCE=∠EAC=60°=∠B, 又· ∴∠ECA= ∠BDC, ∴△BDC ∽△ACE, 综上所述，点E的坐标为( ,0)或

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