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模型62 相似之角平分线定理
跟踪练习
1. 如图,AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于点E, 点F, G分别是AB, AC边上的点，DF=DG.现有以下结论：①AB:AC=BD:DC;②AG+AF=2AE;③AB=AG; ④S△ADG=S△ADF+2S△DEF,其中正确的结论个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 如图,在△ABC中,AB=2,AC=3,AD是△ABC的角平分线,点 E 是AD上一点, 且∠ABE=∠C, 则△ABE与△ADC的周长比为 ( )
A.1 :4 B.4:9 C.1 :2 D.2:3
3.阅读下面材料，并解答所提出的问题.三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.
已知: 如图1, △ABC中, AD是角平分线.求证：
证明: 如图2, 过C作CE∥DA,
交BA的延长线于点 E.
∴ ∠1=∠E, ∠2=∠3.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴ ∠1=∠2, ∴ ∠3=∠E,
∴ AC=AE, ∵ CE∥DA,
(1)上述证明过程中，用到了什么定理 (写出一个定理即可)
(2)用三角形内角平分线性质定理解答问题：
已知: △ABC中, AD是角平分线,AB=5, AC=4, BC=7, 求 BD的长.
4. 阅读下面材料，并解答后面的问题.折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如，如图1，在△ABC中，AB>AC, 怎样证明∠C>∠B 呢
如图2,把AC沿∠A 的平分线AD翻折，因为AB>AC，所以点 C落在AB上的点C'处.于是, 由∠AC'D>∠B, 可得∠C>∠B.
在△ABC中, ∠B=2∠C, 点D为BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在AB,BD,CD,AC四条线段中,某两条或某三条线段之间存在的数量关系.
(1)如图3, 当AD⊥BC时, 求证:AB+BD=DC;
(2) 如图4, 当AD是∠BAC的平分线时, 写出AB, BD, AC的数量关系，并证明.
5. 如图, 已知菱形ABCD,E,F是动点, 边长为4, BE=AF,∠BAD=120°,则下列结论正确的个数是 ( )
①△BEC≌△AFC;
②△ECF为等边三角形；
③∠AGE=∠AFC;
④若AF=1, 则
A.1 B.2 C.3 D.4
6. 如图,△ABC中, E是BC的中点, AD是∠BAC的平分线, EF∥ AD交AC于点 F若 AB=11, AC=15, 求FC的长.
1. C
思路探寻
过点D作DM⊥AC, 垂足为点M,根据角平分线的性质及三角形面积公式可判断①正确；根据全等三角形的判定方法AAS及HL 可得△AED ≌△AMD, Rt△DEF ≌Rt△DMG，再根据线段之间的转化可判断②正确； 利用全等三角形的性质可判断④正确； 若AB=AG， 则可推出E为 BF的中点， 但题中无此条件， 由此可判断③错误.解析:如图, 过点 D 作DM⊥AC, 垂足为点M, ∵ AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB, ∴ DE=DM, ∠EAD=∠DAG.设点A到BC的距离为h，
∴ AB:AC=BD:DC, 即①正确.
∵ DE⊥AB, DM⊥AC, ∴ ∠AED=∠AMD=90°, 在△AED 和△AMD 中, ∠AED=∠AMD, ∠EAD=∠DAG, DE=DM,∴△AED ≌△AMD(AAS) , ∴AE=AM.在Rt△DEF 和 Rt△DMG 中, DE=DM,
DF=DG,∴Rt△DEF≌Rt△DMG(HL),∴ EF=MG, ∵ AG=AM+GM, AF=AE-EF,∴ AG+AF=AM+GM+AE-EF=2AE, 即②正确. 即④正确. 若 AB=AG, 易 得△BAD ≌△GAD, ∴ BD=GD, 又 ∵ DF=DG,∴ BD=DF,
∵ DE⊥AB, ∴ E为BF的中点, 但题中无此条件，故③错误.故正确的结论有3个，故选C.
2. D 解析: ∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAE=∠CAD,又∵∠ABE=∠C,
∴△ABE∽△ACD, ∵AB:AC=2:3,
∴△ABE与△ADC的周长比为2:3, 故选D.
3.解析： (1)证明过程中用到了等腰三角形的判定定理.
(2) ∵AD是角平分线,
又∵AB=5, AC=4, BC=7,
4. 解析: (1)证明: 如图1, 在DC上截取DE=BD, 连接AE,
∵AD⊥BC,
∴AB=AE, ∠ABD=∠AED,
∵∠ABD=2∠C,
∴∠AED=2∠C,
∵∠AED=∠C+∠EAC,
∴∠C=∠EAC,
∴ EC=AE=AB,
∴ CD=DE+EC=AB+BD.
(2)AB+BD=AC. 证明如下:
如图2, 在AC上截取AF=AB, 连接DF,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴ ∠BAD=∠FAD,
在△ABD和△AFD中,
∴△ABD≌△AFD(SAS),
∴ ∠AFD=∠B=2∠C, BD=DF,
∵∠AFD=∠C+∠FDC,
∴∠FDC=∠C,
∴ FC=FD=BD,
∴ AC=AF+FC=AB+BD.
直击中考
5. D 解析: ∵四边形ABCD是菱形,∴ AB=BC=CD=AD, AB∥CD, ∴ ∠B+∠BCD=180°, ∵ ∠BCD=∠BAD=120°,∴∠B=60°, ∴△ABC, △ACD是等边三角形, ∴∠B=∠ACB=∠CAF=60°, BC=AC,又∵BE=AF,∴△BEC≌△AFC(SAS),故①正确; ∵ △B E C ≌ △A FC ,∴C E = C F , ∠B C E =∠A C F ,∵∠BCE+∠ECA=∠BCA=60°, ∴∠ACF+∠ECA=∠ECF=60°, ∴△CEF是等边三角形, 故②正确; ∵∠AGE=∠CAF +∠AFG=60°+∠AFG, ∠AFC=∠CFG+∠AFG=60°+∠AFG, ∴∠AGE=∠AFC, 故③正确; 如图, 过点E 作EM∥BC交 AC于点 M,易证△AEM是等边三角形,∵AF=BE=1,∴EM=AE=3,∵AF∥EM, 故④正确.故①②③④都正确. 故选D.
6. 解析: 方法一: ∵AD是∠BAC的平分线,AB=11, AC=15, ∵E是BC的中点,
方法二：过点B作BM∥AD交CA的延长线于点 M, 如图1所示. ∵ BM∥AD,AD是∠BAC的平分线, ∴∠M=∠CAD=∠BAD=∠ABM, ∴ AM=AB=11. ∵ E 是BC的中点, BM∥AD∥EF,∴ EF为△CBM的中位线，
方法三: 过点E作EN∥AB交AC于点N,如图2所示. ∵E是BC的中点, EN∥AB, ∴ EN为△ABC的中位线, ∴ CN= ∵AD是∠BAC 的 平 分 线, ∴ ∠BAD=∠CAD.∵ EN∥AB, AD∥EF, ∴ ∠NEF=∠BAD,∠NFE=∠CAD, ∴ ∠NFE=∠NEF, ∴NF=

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