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模型65 相似之手拉手模型
跟踪练习
1.如图,将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C',连接BB', CC',则BB':CC'等于 ( )
A. AB:AC B. BC:AC
C. AB:BC D. AC:AB
2. 如图,△ABC和△BDE都是等边三角形,点D是AC上的点，连接AE， 下列相似三角形成立的有( )
①△BCD∽△BEO;
②△AOD ∽△EOB;
③△AOE ∽△DOB;
④△BOD∽△BDA.
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
3. 如图, Rt△ABC与Rt△EDC, 直角顶点重合于点 C，点 D在AB上，∠BAC =∠DEC 且 连接AE, 若BD=2, AD=7, 则AE的长为 ( )
A.2 B.
4. 如图, 矩形 ABCD中, AD=6, DC=8, 点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF,BEF= BG⊥EF于点 G,连接CG, 当CG最小时, 求 CE的长.
5. 如图， ∠DBC=30°, ∠BDC=90°, ED⊥AD交AB于点 E, 求DE的长.
6. 【问题背景】如图1, 在矩形 ABCD 中, AB=2 , ∠ABD=30°, 点 E 是 边 AB的中点, 过点E作 EF⊥AB交 BD于点 F.
【实验探究】
(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点 B 按逆时针方向旋转90°，如图2所示，则可得到结论： ②直线AE与 DF所夹锐角的度数为 .
(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究(1)中的结论是否仍然成立 并说明理由.
【拓展延伸】
在以上探究中，当△BEF旋转至D，E，F三点共线时，则△ADE的面积为 .
模型进阶
跟踪练习
1. 如图, △ABC 的 三边 CB, AB, AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点， 证明：
2.如图所示，在△ABC 中, DE ∥ BC, AD=5,BD=10, AE=3.
(1)求 CE的长.
(2)在△ABC中, 点D, E, Q分别在边AB, AC, BC上, 且DE∥BC, AQ交DE于点 P. 小明认为 你认为小明的结论正确吗 请说明你的理由.
3. (1) 如图1, 在△ABC中, 点 D, E在 边 BC上, BD:DE:CE=1:2:3,FG∥BC, 分别交线段AD,AE于M, N两点, 则 FM : MN : NG=
(2)如图2, 在△ABC中,∠BAC=90°， 正方形DEGF的四个顶点在△ABC的三边上，线段 FG 分别交线段AD, AE于M, N两点, 若BD=4, EC=9, 求MN的长.
(3)如图3,在△ABC中,∠BAC=90°，正方形DEGF的四个顶点在△ABC的三边所在的直线上，DA与 EA的延长线分别交直线 FG于M, N两点, 求证:
4. 已知: 如图, 等腰△ABC中, 底边BC=12, 高AD=6.
(1) 在△ABC内作矩形 EFGH,使 F, G 在 BC上, E, H分别在AB, AC上, 且长是宽的2倍, EH与AD的交点为 K. 求矩形 EFGH的面积.
(2)在(1)的基础上，再作第二个矩形，使其两个顶点在 EH上，另外两个顶点分别在AB，AC上，且长是宽的2倍，则第二个矩形的面积为 .
(3)在(2)的基础上，再作第三个矩形，使其两个顶点在第二个矩形的边上，另外两个顶点分别在AB，AC上，且长是宽的2倍， 则第三个矩形的面积为 ；
(4)按照这样的方式操作下去，根据上述计算猜想第四个矩形的面积为 ； 第n个矩形的面积为 .(用含 n的式子表示)
5.如图1, 在△ABC中, D, E分别是AB, AC的中点, 延长DE至点 F, 使EF=DE,连接FC, 易知△ADE≌△CFE.
(1) 探究: 如图2, AD 是△ABC
的中线, BE交AC于点 E, 交AD
于点 F, 且AE=EF, 求证: AC=BF.
(2)应用: 如图3, 在△ABC中,∠B=60°, AB=4, BC=6, DE 是△ABC的中位线. 过点 D, E作DF∥EG, 分别交边BC于点 F,G, 过点A 作 MN∥BC, 分别与FD, GE的延长线交于点 M, N.
①四边形 MFGN的面积S是否会发生变化 如果变化，请直接写出S的范围；如果不变，请直接写出S的值.
②四边形 MFGN的周长C是否会发生变化 如果变化，请直接写出C的范围；如果不变，请直接写出C的值.
直击中考
6. 图1, 图2是人教版八年级《数学》教材“实验与探究”中的两个图形.受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答.
【问题一】如图1,正方形 ABCD的对角线相交于点 O，点O 又是正方形A B C O的一个顶点, OA 交AB于点 E, OC 交BC于点 F,则AE与 BF的数量关系为 .
【问题二】受图1启发，兴趣小组画出了图3，直线m，n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD, BC交于点 E, F, 直线n分别与AB, CD交于点 G, H,且 m⊥n.若正方形ABCD的边长为8，求四边形OEAG的面积.
【问题三】受图2启发，兴趣小组画出了图4，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边 CD上,顶点 E 在 BC的延长线上， 且BC=6, CE=2. 在直线BE上是否存在点 P， 使△APF为直角三角形 若存在，求出 BP 的长度；若不存在，说明理由.
7.已知: 点C, A,D 在 同 一 条 直 线 上,∠ABC=∠ADE=α, 线段BD, CE交于点 M.
(1)如图1, 若AB=AC, AD=AE.
①线段BD与 CE 有怎样的数量关系 并说明理由；
②求∠BMC的大小.(用α表示)
(2) 如图2, 若AB=BC=kAC,AD=ED=kAE, 则线段BD与CE的数量关系为 ，∠BMC= ; (用α表示)
(3) 在(2) 的条件下, 把△ABC绕点A 逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，连接EC并延长交BD于点 M，则∠BMC= . (用α表示)
1. A 解析: ∵△ABC绕点A 旋转任意角度得到△AB'C', ∴∠B'AB=∠C'AC, AB'=AB, AC'=AC, ∴△ABB' ∽△ACC', 故选 A.
2. D 解析: ∵△ABC和△BDE都是等边三角形, ∴∠C=∠ABC=∠CAB=∠EDB=∠DBE=∠DEB=60°, ∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD, ∴ ∠CBD=∠ABE, ∴△BCD∽△BEO, 故①正确; ∵ ∠AOD=∠BOE,∠DAB=∠DEB=60°,∴△AOD ∽△EOB,故②正确；∵△AOD ∽△EOB,∴A = B,又∵ ∠AOE=∠DOB, ∴△AOE ∽△DOB,故③正确;∵∠DBA=∠DBO,∠DAB=∠ODB=60°, ∴△BOD∽△BDA, 故④正确, 所以相似三角形成立的有4对，故选D.
3. D 解析: ∵ BD=2, AD=7, ∴ AB=BD+AD=9, 在 Rt△ABC中, 在Rt△BCA与 Rt△DCE中, ∵ ∠BAC=∠DEC, ∴ tan∠BAC=tan ∠DEC, ∴BC:AC=DC:CE,∵ ∠BCA=∠DCE=90°, ∴∠BCA-∠DCA=∠DCE-∠DCA,即∠BCD=∠ACE,∴ △B C D∽△A CE , ∴B C :A C=BD:AE, ∴3: 6 =2:AE, ∴AE=4 故选D.
4. 解析: 如图, 过点B作BP⊥AC于点P,连接PG.
∵ AD=6, DC=8, 四边形ABCD为矩
∴AC=10.
∴△ABC∽△EBF, ∴∠CAB=∠FEB,
又∵∠APB=∠EGB=90°,
∴△ABE∽△PBG, ∴∠BAE=∠BPG,即在点E 运动的过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAE，
∴ 当 CG⊥PG 时, CG 最 小, 设此时 ∵ CG⊥PG, ∴ ∠PCG=∠BPG=∠BAC, 把 代入,解得CP=x,
又 ∵ C P = B C· sin∠C B P =
5. 解析: 如图, 连接EC, ∵∠ADE=∠BDC=90°, ∠DAB=∠DBC=30°, 又 ∵ ∠ADB=∠ADE+∠EDB, ∠EDC=∠BDC+∠EDB,
∴ ∠ADB=∠EDC, ∴△ABD∽△ECD, 又 ∵ ∠DBC+∠DCB=90°, ∴ ∠DBC+∠ECB+∠EBD=90°, ∴∠BEC=90°.
又：
直击中考
6.解析： 【实验探究】(1)① ②30°提示: 在题图1中, ∵∠ABD=30°, ∠DAB=90°, EF⊥BA,
如图1, 设AB与 DF交于点O, AE与DF交于点H,
∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，
∴△FBD∽△EBA,
又∵∠DOB=∠AOF,
∴∠DBA=∠AHD=30°,
∴直线AE 与 DF 所夹锐角的度数为30°.
(2)结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与BD交于点O,AE与DF交于点H,
∵将△BEF绕点B 按逆时针方向旋转，
∴∠ABE=∠DBF,
又∵
∴△ABE∽△DBF,
又∵∠DOH=∠AOB,
∴ ∠ABD=∠AHD=30°,
∴直线AE与 DF所夹锐角的度数为30°.
【拓展延伸】 或
提示：①如图3，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于点 G,
在题图1中，
点E是边AB的中点, ∠DAB=90°,
∴BE= , AD=2, DB=4,
∵∠EBF=30°, EF⊥BE,
∴ EF=1. ∵ D, E, F三点共线,
∴ ∠DEB=∠BEF=90°,
与(2)同理可得△ABE∽△DBF,
∴∠DEA=30°,
∴△ADE的面积为
②如图4， 当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE, 交EA的延长线于点 G,
同① 可 得, 则 则△ADE的 面 积为
故当△BEF旋转至D，E，F三点共线时，△ADE的面积为 或
模型进阶
跟踪练习
1.解析: 证明: 如图, 过点C作CN∥XZ交AY于点 N,则
2. 解析: (1) ∵ DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC,
又∵AD=5, BD=10, AE=3,∴ CE=6.
(2)小明的结论正确，理由如下：在△ABQ中, 由于DP∥BQ,∴△ADP∽△ABQ, ∴DP=APQ,同理可得
3.解析: (1)1:2:3 提示: ∵ FG∥BC,
设
则 FM=kBD, MN=kDE, NG=kCE,
∵ BD:DE:CE=1:2:3,
∴ FM:MN:NG=kBD:kDE :kCE=
1 :2:3.
(2) ∵∠BAC=90°, ∴∠B+∠C=90°.
∵四边形DEGF是正方形，
∴ ∠C+∠CGE=90°, DF=EG=DE,
∴∠B=∠CGE,
又∵∠BDF=∠GEC=90°,
∵BD=4, EC=9,
∴ EG=6, 即正方形DEGF的边长为6.易知FG∥DE,
即
解得
(3) 证 明: 在 正 方 形 DEGF 中,∵ DE∥FG, ∴CE∥NG,
∵∠BAC=90°, 四边形DEGF是正方形,
∴ ∠C+∠ABC=90°, ∠BFD+∠ABC=90°, GE=DF=DE,
∴∠C=∠BFD,
又∵∠BDF=∠GEC=90°,
∴△BDF∽△GEC, ∴BDE=DFCE,
∴ BD·CE=GE·DF=DE ,
4. 思路探寻
(1) 由题意推出△AEH∽△ABC,设矩形 EFGH的宽为x, 长为2x,然后用x表示出EH，AK，根据相似三角形对应边成比例即可求出x，进而可得矩形的长和宽， 由此可得矩形EFGH的面积.
(2)求出EH,AK的长度以后,与(1)同理，即可推出第二个矩形的面积.
(3)与(1) (2)同理, 即可推出第三个矩形的面积.
(4)根据第一、第二、第三个矩形面积的推理过程即可推出第四个矩形的面积，通过分析总结， 即可得出第n个矩形的面积.
解析: (1)设矩形EFGH的宽为x, 长为2x. 由题意可得△AEH∽△ABC, 即 解得x=3.∴矩形 EFGH的面积为3×6=18.
(2) 提示：如图，设作的第二个矩形在AB上的顶点为 M，在AC上的顶点为N, MN与AK的交点为 P.
由(1)得EH=6, AK=3.
与(1)同理可得MN=3, PK=
∴第二个矩形的面积为
(3) 提示: 根据(1)和(2)的结论，同理可得第三个矩形的面积为
提示: 根据(1) (2)
(3)所得的结论可以推出第四个矩形的面积为 ，第n个矩形的面积为
5.解析: (1)证明: 如图1,延长AD至点M,使 MD=FD, 连接MC.
∵ AD是△ABC的中线, ∴ BD=CD,在△BDF和△CDM中,
∴△BDF≌△CDM(SAS),
∴ MC=BF, ∠M=∠BFD.
∵ EA=EF, ∴∠EAF=∠AFE,又∵ ∠AFE=∠BFD, ∴∠M=∠MAC,∴ AC=MC, ∴AC=BF.
(2)①四边形MFGN的面积S不发生变化，S的值为( 提示： 如图2，过点A 作AH⊥BC于点H.
∵MN∥BC, FM∥GN,
∴四边形MFGN是平行四边形，
∴ MF=NG, MN=FG.
∵ DE是△ABC的中位线,
∴四边形 DFGE是平行四边形，
∵在 Rt△ABH中, ∠B=60°, AB=4,
∴ 四边形 MFGN的面积 S=FG·AH=
由以上易知平行四边形 MFGN的底和高长度一定，所以四边形 MFGN的面积S不发生变化，面积是(
②四边形 MFGN的周长C会发生变化，C的范围为 提示： 由①可知四边形 MFGN的周长C=2(MF+FG) =2MF+6,
∵ MF的长不是定值, ∴四边形 MFGN的周长C会发生变化.
当 MF⊥BC时, MF最短,
此时四边形MFGN的周长最小，
由①知，此时
∴四边形 MFGN的周长C的最小值为
由①知BH=2, ∴ CH=BC-BH=4,
∴当点A与点N重合， 点C与点G重合时， 四边形 MFGN的周长最大，如图3所示.
四边形 MFGN的周长C的最大值为
故四边形 MFGN的周长C的范围为
直击中考
6.解析: 【问题一】AE=BF 提示: ∵正方形 ABCD的对角线相交于点O，∴OA=OB, ∠OAB=∠OBF=45°,∠AOB=90°.
∵四边形A B C O是正方形, ∴∠EOF=90°,
∴∠AOB-∠EOB=∠EOF-∠EOB,即∠AOE=∠BOF,
∴△AOE≌△BOF(ASA),
∴AE=BF.
【问题二】如图1, 连接OA, OB,
∵点O是正方形ABCD的中心，
∠OAE=∠OBG=45°, OA=OB, ∠AOB=90°.
∵m⊥n, ∴∠EOG=90°,
∴ ∠EOG-∠AOG=∠AOB-∠AOG,即∠AOE=∠BOG,
∴△AOE≌△BOG(ASA),
【问题三】在直线BE上存在点 P，使△APF 为直角三角形.
①当∠AFP=90°时, 如图2, 延长EF,AD相交于点 Q,
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴ ∠BAD=∠B=∠E=90°,
∴四边形ABEQ是矩形, ∠EFP+∠EPF=90°,
∴AQ=BE=BC+CE=8, EQ=AB=6,
∵ ∠AFP=90°, ∴ ∠EFP+∠AFQ=90°,
∴∠EPF=∠AFQ,
∴BP=BE-EP=7.
②当∠APF=90°时, 如图3,
同①的方法得, △ABP∽△PEF,
∵ PE=BE-BP=8-BP,
解得BP=2或BP=6.
③当∠PAF=90°时, 如图4,
过点 P作AB的平行线交 DA的延长线于点 M, 延长EF, AD 相交于点 N,易得四边形ABPM是矩形，
∴ PM=AB=6, AM=BP, ∠M=90°,
易得四边形ABEN是矩形，
∴ AN=BE=8, EN=AB=6,
∴FN=EN-EF=6-2=4,
同①的方法得, △AMP∽△FNA,
∴ BP=AM=3.
综上，BP的长度为2或3或6或7.
7.解析: (1)①BD=CE, 理由如下:
∵AD=AE, ∠ADE=α,
∴∠AED=∠ADE=α,
∴ ∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α,同理可得∠BAC=180°-2α,
∴ ∠DAE=∠BAC,
∴ ∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴ BD=CE.
②∵△ABD≌△ACE,
∴ ∠BDA=∠CEA,
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,
∴ ∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°-2α.
提示:∵AD=ED, ∠ADE=α,
同理可得
∴ ∠DAE=∠BAC,
∴ ∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE,
即∠BAD=∠CAE.
∵AB=kAC, AD=kAE,
在△ABD与△ACE中,
∴△ABD∽△ACE,
∴ BD=kCE.
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,
(3)作出旋转后的图形如图所示.
提 示: ∵ AD=ED, ∠ADE=
同理可得
∴∠DAE=∠BAC.
∵AB=kAC, AD=kAE,
在△ABD与△ACE中,
∴△ABD∽△ACE,
∴∠BDA=∠CEA,
∵ ∠B M C =∠M C D +∠M D C ,∠MCD=∠ACE=∠CED+∠ADE=∠CED+α,
∴ ∠BMC=∠CED+α+∠CEA

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