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2024-2025学年山东省潍坊市安丘一中等四校高二下学期4月四校联合阶段性调研检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是等差数列的前项和，若，则的公差是( )
A. B. C. D.
2.已知离散型随机变量的分布列如下表：
若离散型随机变量，则( )
A. B. C. D.
3.已知在等比数列中，，，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
4.随机变量X服从正态分布X~N(1,).若P(1X<3)=0.2,则P(X<1||X|>1)=（）
A. B. C. D.
5.已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则，相互独立 B. 若，相互独立，则
C. 若，则 D. 若，则
6.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知数列的前项和为，，则下列选项中不正确的是( )
A. B.
C. 数列是等比数列 D. 数列的前项和为
8.某人在n次射击中击中目标的次数为X，且X~B(n, 0.7)，记= P(X=k)，k=0,1,2,,n,若是唯一的最大值,则E(X)的值为( )
A. 7 B. 7.7 C. 8.4 D. 9.1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的命题是( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
B. 口袋中有大小相同的个红球、个蓝球和个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望
C. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
D. 对标有不同编号的件正品和件次品的产品进行检测，从中任取件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是．
10.下列各式中能够说明随机事件与随机事件相互独立的是( )
A. B.
C. D.
11.设为数列的前项和，为数列的前项积，若，，则以下结论正确的是( )
A. B. 数列是单调递增数列
C. D. 当取最大值时，或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，则 ．
13.现有件商品，其中件瑕疵品件合格品，若从这件商品中任取件，则至少有一件瑕疵品的概率为 ．
14.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：记作数列，若数列的前项和为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，且满足
求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
记，求数列的前项和为．
16.本小题分
随着社会经济的发展，越来越多的人在抵达目的地后选择租车游玩，拉动了许多租车公司的业务，某租车公司为继续开拓市场，提升服务质量，迎接暑假旅游旺季的到来，对近年的暑假的租车业务量单位：十万元进行了汇总研究，情况如下：
年份 年 年 年 年 年
业务量
经过数据分析，已知年份与业务量具有线性相关关系．
假设年为第年，求第年的业务量关于的经验回归方程，并预测年暑假的业务量
该公司从年暑假租车的客户中随机抽取了名客户进行调研，现将名客户的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整并根据小概率值的独立性检验，分析青年群体和中老年群体对租车服务的评价是否有差异．
好评 差评 合计
青年
中老年
合计
附：经验回归直线方程，其中，
独立性检验中的，其中．
临界值表：
17.本小题分
已知为等差数列的前项和，满足，．
求数列的通项公式
若，求数列的前项和
18.本小题分
在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数即下四分位数与第百分位数即上四分位数四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图所示已知，两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图所示．
估计，两个班级平均分较高的是哪个班级直接给出结论即可，不必说明理由
据统计，两个班级中高于分的共人，其中班人，班人，从中抽取人作学习经验分享，设这人中来自班的人数为，求的分布列和数学期望．
在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于分，求该生来自班和班的概率分别是多少
19.本小题分
对于数列，若存在常数，对任意，恒有，则称数列是数列．
已知数列的通项公式为，证明：数列是数列；
已知是数列的前项和，，证明：数列是数列；
若数列，都是数列，证明：数列是数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.B
5.
6.
7.
8.A
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得，
又，
为等差数列，首项为，公差为，
，
．
，
，
，
得，
，
．
16.解：，，
，
，
．
时，，
预测年暑假的业务量约为十万元．
列联表如下：
好评 差评 合计
青年
中老年
合计
，
根据小概率值的独立性检验，青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异．
17.解：设等差数列 的公差为 ，
由题意可得：
解得：
所以，
即数列的通项公式为；
由知 即
所以

．
18.解：根据成绩箱型图可知班的平均分较高．
由题可知，的可能取值为，，，，
，，，，
．
设事件“该同学来自班”，事件“该同学分数高于分”，
，，，，
所以，
，
，
则该同学来自班的概率为，来自班的概率为．
19.解：因为，易知，
所以，
于是，所以为数列．
因为，当时，，解得；
当时，，两式相减得，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以．
于是
故．
因此数列是数列．
若数列，是数列，则存在正数，，对任意，
有；．
注意到．
同理，．
记，，则有．
所以，
．
因此，数列是数列．

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