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模型54 旋转构造之奔驰模型
跟踪练习
1.如图, 点 D是等边△ABC内一点, 三角形ACE 是由 绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是( )
A.40°
C.105° D.55°
2.如图，等边三角形ABC内有一点 P，且 PA=3,PB=4,PC=5,则 ∠APB的度数为 ( )
A.150° B.135°
C.120° D.165°
3. 如图,△ABD 是等边三角形,以AD为边向外作△ADE,使∠AED=30°,且AE=3,DE=2,连接BE,则BE的长为 .
4.如图，P是等边三角形ABC内一点, 连接PA, PB, PC, 以BP为边作 且 连接CQ.
(1) 求证:
(2)若 求PC的长.
1. C 解析：如图，连接DE， 由旋转可知，△ACE ≌△ABD, ∴AE=AD=3, CE=BD=3, ∠BAD=∠CAE, ∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=60°, ∴∠BAD+∠DAC=60°, ∴∠CAE+∠DAC=60°, 即∠DAE=60°, ∴△DAE是等边三角形,∴ DE=AD=3,在△CDE中, 是等腰 直 角 三 角 形, 且 ∠DEC=90°, DE=CE, ∴ ∠EDC=45°, ∴ ∠ADC=∠ADE+ ,故选C.
2. A 解析: ∵△ABC为等边三角形,∴BA=BC,可将△BPC绕点 B 逆时针旋转60°得到△BEA, 连接EP, 如图, ∴BE= BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,∴△BPE为等边三角形,∴PE=PB=4,∠BPE=60°,在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4, ∴AE =PE +PA ,∴△APE为直角三角形, 且∠APE=90°, .故选A.
解析: 如 图,作EF⊥AE,且EF=DE,连接AF,DF,因为∠AEF=90°, 所以 ，所以△DEF是等边三角形,所以∠EDF=60°,易知∠ADF=∠BDE,又因为AD=BD,DE=DF, 所以△BDE≌△ADF(SAS), 所以BE= AF, 因为AE=3,EF=DE=2,所以
4. 解析: (1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°, AB=CB,
∴ ∠ABP+∠PBC=60°.
又∵∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=60°,
∴ ∠ABP=∠CBQ.
在△ABP和△CBQ中,
∴△ABP≌△CBQ(SAS),
∴ AP=CQ.
(2)连接PQ,如图所示.
由(1)知△ABP≌△CBQ,
∴∠BQC=∠BPA=150°.
∵BP=BQ,∠PBQ=60°,
∴△PBQ为等边三角形，
∴ PQ=PB=4,∠BQP=60°,
∴∠PQC=90°.
在Rt△PQC中, PQ=4, CQ=AP=3,

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