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模型55 几何最值之费马点问题
跟踪练习
1. 如图, 在△ABC中, AB=BC=3,∠ABC=30°,点P为△ABC内一点,连接PA, PB, PC, 则PA+PB+PC的最小值为 ( )
2. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=30°,AC=3,BC=4,P是△ABC内部一点,则 PA+PB+PC的最小值为( )
C.6 D.5
3. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°,∠BAC=30°, P为△ABC内一点,分别连接PA, PB, PC, 当∠APB=∠BPC=∠CPA 时, PA+PB+PC= 则BC的长为 ( )
A.1 B. C. D.2
4. 如图, 在△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1, P 是△ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.
已知: 到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.若△ABC是锐角(或直角)三角形，则其费马点 P是三角形内一点，且满 足 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.(例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点).若 P 为△ABC的费马点,则 PA+PB+PC= ; 若AB=2 , BC=2, AC=4, P 为△ABC的费马点, 则 PA+PB+PC= .
1. A 解析:如图,将△ABP绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF, 连接PF, EC. 由旋转 的 性 质 可 知AB=BE=3, BP=BF,∠PBF=60°=∠ABE,∴△PBF是等边三角形,∴ PB=PF. ∵ PA=EF, ∴ PA+PB+PC=EF+PF+PC . ∵ EF+PF+PC≥EC, ∴当P, F在线段EC上时, PA+PB+PC的值最小,最 小 值 为 EC 的 长. ∵ ∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°,BE=BC,∴EC= BC=3 ∴ PA+PB+PC的最小值为 故选A.
2. D 解析: 如图, 将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△EDC, 连接PD, BE,∴∠PCD=60°,△APC≌△EDC,AP=DE,∴∠ACP=∠ECD, AC=EC=3, PC=CD,∴△CDP 是等边三角形, ∴ PD=PC,∵ ∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB=30°,∴ ∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°. 在Rt△BCE中, ∵∠BCE=90°, BC= ∵PA+PB+PC=DE+PB+PD≥BE,∴当P,D在线段BE上时,PA+PB+PC的值最小,最小值为BE的长， 即为5.故选D.
3. C 解析:如图,将△BPA绕点B顺时针旋转60°, 得到△BPA', 连接PP, 过点A'作A'N⊥CB,交CB的延长线于N.∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴AB=2BC,∠ABC=60°.
∵∠APB=∠BPC=∠CPA, ∴ ∠APB=∠BPC=
120°.由旋转的性质可得∠PBP'=60°, BP=BP',
∠BPA=∠BP'A'=120°,AP=A'P', AB=A'B=2BC,
∠A'BP'=∠ABP, ∴△BPP' 是等边三角形,
∴ BP=BP'=PP',∠BPP'=∠BP'P=60°.
∵ ∠BPC+∠BPP'=180°,∠BP'A'+∠BP'P=180°,
∴ C,P,P'三点共线,P,P',A'三点共线,∴ C,
P,P',A'四点共线,∴CP+PP'+A'P'=CP+PB+
∠PBC=∠ABP+∠PBC+60°=120°,
∴∠A'BN=60°. ∵A'N⊥BN,∴∠BA'N=30°,
(负值已舍去).故选C.
4. 解析： 如图， 以点C为旋转中心， 将△CPB顺时针旋转60°得到△CMN, 连接BN, 连接PM, 交BC于点Q, 由旋转可得△CMN≌△CPB,
∴ MN=BP, PC=CM,∠PCM=60°=∠BCN, BC=CN,
∴△PCM, △BCN都是等边三角形,
∴PC=PM, BN=CN,
∴ PA+PB+PC=PA+MN+PM,
∴当A, P, M, N四点共线时, PA+PB+PC有最小值.
∵ ∠BAC=90°, AB=AC=1, ∴BC=
∵AC=AB,NC=NB,∴AN垂直平分CB,
此时AN=AP+PM+MN=PA+PB+PC=AQ+QN=
∴ PA+PB+PC的最小值为
5. 5 2 解析: 如图1, 过A 作AD⊥BC, 垂足为D, 过B, C分别作∠DBP=∠DCP=30°, 则 PB=PC, P 为△ABC的费马点. ·
∴ PA=AD-PD=1, ∴ PA+PB+PC=5.
如图2, ∵AB=2 , BC=2, AC=4, BC =AC°, ∴∠ABC=90°. ∵BC/ = ∴∠BAC=30°. 将△APC绕点A 逆时针旋转60°得到△AP'C', 连接PP', 由旋转可得△APC≌△AP'C,∴AP'=AP,PC=P'C', AC=AC', ∠CAC'=∠PAP'=60°, ∴△APP'是等边三角形, ∠BAC'=90°. ∵ P 为△ABC的费马点, 即B, P, P', C'四点共线时，PA+PB+PC的值最小， 最小值为

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