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模型56 几何最值之垂线段最短
跟踪练习
1. 如图, 在 Rt△ABC中, ∠C=90°,AD 是∠BAC的平分线, 点 E 是AB 上任意一点.若CD=5, 则 DE的最小值等于 ( )
A.2.5 B.4 C.5 D.10
2. 如图, 在△ABC中, AB=3, AC=4,BC=5, 点 P 为边 BC上一动点,PE⊥AB于点 E, PF⊥AC于点 F,则EF的最小值为 .
3. 如图, 在矩形ABCD中, AC=8,∠BAC=30°, 点 P 是对角线AC上一动点， 连接BP.
(1)如图1，线段BP 的最小值为 ;
(2)如图2, 点Q为BP的中点,连接DQ，当线段BQ取得最小值时, DQ的长为 ;
(3) 如图3, 以AP, BP为邻边作平行四边形APBQ，连接PQ， 与AB交于点O，则线段PQ的最小值为 .
4. 如图, △ABC为等边三角形，其边长为6，AD⊥BC,垂足为点 D,点E,F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE, EF, 则CE+EF的最小值为 .
如图, 在矩形ABCD中,BC=10,∠ABD=30°,点 M,N分别是线段DB，AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 .
1. C 解析: 当 DE⊥AB时, DE的值最小,∵ AD是∠BAC的 平 分线, ∠C=90°,CD=5, ∴DE=CD=5, 故选 C.
2. 2.4 解析: 如图,连接AP,∵在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5, ∴ AB +AC =BC ,即∠BAC=90°, 又∵ PE⊥AB, PF⊥AC,∴四边形AEPF 是矩形, ∴EF=AP, 根据垂线段最短， 得AP的最小值即为Rt△ABC 的斜边BC上的高, 此时由 可得AP=2.4,∴ EF的最小值为2.4.
3. (1) 2
解析： (1)根据垂线段最短， 得当BP⊥AC时, BP取得最小值, 此时∠APB=90°,
∵四边形ABCD为矩形，
∴ ∠ABC=90°, ∵AC=8, ∠BAC=30°,
∴ AB=AC·cos∠BAC= 4
∵∠BAP=30°, ∠APB=90°,
(2) 如图, 过点Q作MN⊥BC交BC于点N, 交AD于点 M.
由题意得，BQ取最小值时，BP⊥AC，此时 ∵四边形ABCD为矩形, AD=BC=4, ∠BAC=30°, ∠ABC=90°, ∴∠ACB=60°, 又∵∠PBN=30°,BP⊥AC,MN⊥BC, ∴ QN= BQ= / ,
∵∠MNB=∠ABC=∠BAD=90°,
∴四边形ABNM 为矩形,
在Rt△QMD中,
(3) ∵四边形APBQ为平行四边形, O为AB,PQ的交点,∴O为AB,PQ的中点, 要求线段PQ的最小值， 即求线段PO的最小值，
∵点O为AB的中点， 为定点，
∴当 PO⊥AC时, 线段PO取得最小值,此时∠APO=90°,
直击中考
解析: 如图, 过点C作CF⊥AB,分别交AD于点E， 交AB于点F，此时，CE+EF的值最小, 为CF的长.∵△ABC为等边三角形，其边长为6， ∴CE+EF的最小值为
5. 15
思路探寻
作点A关于直线BD的对称点A'，连接MA', AA', BA', 过点 A'作A'H⊥AB于 H.先证明△ABA'是等边三角形，求出A'H，再根据垂线段最短得AM+MN的最小值为A'H的长.
解析：如图，作点A关于直线BD的对称点A',连接MA',AA',BA',过点A'作A'H⊥AB于 H, ∴ BA=BA', ∠DBA'=∠ABD=30°,∴∠ABA'=60°, ∴△ABA'是等边三角形,∵四边形ABCD是矩形, ∴ AD=BC=10,在 Rt△ABD 中, ∵ A'H⊥AB, ∴AH=HB=5 , ∴A'H= AH=15, ∵AM+MN=A'M+MN≥A'H=15, ∴ AM+MN的最小值为 15.

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