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2024-2025学年江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学高二下学期第一次阶段联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.数字，，，可以组成不同的三位数共有( )
A. 个 B. C. 个 D. 个
3.设，则曲线在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则在下列区间上，单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.设，若函数，有大于零的极值点，则 ．
A. B. C. D.
7.已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数，其导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值
10.下列说法中正确的是( )
A. 由数字，，，，可以组成个没有重复数字的正整数．
B. 由数字，，，可以组成个没有重复数字且比大的正整数．
C. 名工人各自在天中选择天休息，且每天最多只能个人休息，则共有种不同的休息方法．
D. 现有位女生和位男生站成一排照相，要求女生甲排在两端且位男生中有且只有位相邻，则不同的站法有种．
11.设函数，则( )
A. 是的极大值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为 ．
13.如图所示，用红、黄、蓝种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有 种
14.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某种产品的加工需要经过道工序．
若其中、两道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序
若其中、、三道工序必须相邻．问有多少种加工顺序
若其中、两道工序都不能放在第三和第六位置，道工序不能放在第五位置，问有多少种加工顺序
注：以上问题作答要写出必要的数学式，结果用数字表示
16.本小题分
已知函数，当时取得极大值．
求的值；
求函数在上的最大值与最小值．
17.本小题分
函数，．
求函数的单调区间；
当时，若不等式恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
设函数．
若，
求曲线在点处的切线方程；
当时，求证：．
若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
若存在一个数，使得函数定义域内的任意，都有，则称有下界，是的一个下界．
求函数的下界的取值范围；
判断是否是下界为的函数，并说明理由；
若函数是的一个整数下界，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.先从另外道工序中任选道工序放在最前面与最后面，有种不同的排法，
再将其余的道工序全排列，有种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序．
先排这道工序，有种不同的排法，
再将它们看作一个整体，与其余的道工序全排列，有种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序．
若安排在第五位置，则 有种安排方法，余下的有种安排方法，
合计有种加工顺序；
同理，若 被安排在第五位置，也有种加工顺序；
若、两道工序都不被安排在第五位置，则 、可选第一、二、四位置中的两个即有种方法，
有余下四个位置中除第五位置的三个位置可选，有种方法，
余下的有种方法，合计有种加工顺序，
综上所述共有加工顺序．

16.解：因为，所以，
因为时取得极大值；
所以，，．
当时，，
由解得或；由解得 ，
所以在上单调递增，在上单调递减；
时取得极小值，不符合题意，所以舍去．
当时，，
由解得或；由解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
时取得极大值，符合题意．
综上可得：．
由可知，，，
在，上单调递增，在上单调递减；
所以在上极大值为，极小值为 ，
又由于，
函数在上的最大值是，最小值是．

17.由题意得，，
当时，则，在上单增，
的递增区间为；
当时，令，则；令，则．
的递增区间为，递减区间为．
当时，令，，
则，，
由题意，得．
因为，
令，则；令，则，
在上递减，在上递增，
，
故
在上递增，
又，
，
实数的取值范围为．

18.当时，，可得，
则，
可得曲线在点处的切线方程为，即．
令，
则，
当时，可得在上单调递减，
又因为，所以，即，即，
即当时，．
由函数，可得，
令，
当时，，即在区间上单调递增．
因为，所以，
所以函数在区间上没有零点，不符合题意；
当时，函数的图像开口向上，且对称轴为直线，
由，解得，
当时，在区间上恒成立，
即在区间上单调递减．
因为，所以，
所以函数在区间上没有零点，不符合题意．
综上可得，，
设使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
因为，要使得函数在区间上存在唯一零点，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为．

19.解：由函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，
对任意的，，则，所以，，
因此，函数的下界的取值范围为．
解：令，其中，可得，
因为函数和在上均为增函数，
故函数在上为增函数，且，
当时，，即函数在上单调递减；
当时，，即函数在上单调递增，
所以，，故，
所以函数是下界为的函数．
解：由函数，可得，
设，则，故在区间上单调递增，
又由，，
所以必然存在，满足，
当时，当时，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，取得最小值，则，
由，可得，所以，
又由对勾函数在区间上单调递增，
所以当时，，所以，
因此，整数 的最大值为

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