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2024-2025学年江西省上饶市民校考试联盟高二下学期阶段测试(三)
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
2.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. B.
C. D.
3.等差数列的前项和记为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知具有线性相关关系的变量，，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.等比数列中，，公比，则( )
A. B.
C. D. 与大小不确定
6.由一组样本数据得到经验回归方程，那么下列说法正确的是( )
A. 若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱
B. 若越大，则两组变量的相关性越强
C. 经验回归方程至少经过样本数据中的一个
D. 在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，相应的观测值约增加个单位
7.已知数列的前项和为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列的前项和为，前项积为，若，则使取得最大值时的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，则( )
A. B. 是递增数列
C. D. 的前项和中最小
10.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则( )
附：，
A. 参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B. 从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C. 依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过
D. 假设调查人数为人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过
11.已知数列的前项和为，且，则( )
A.
B. 是等比数列
C. 是等差数列
D. 存在，，且，使得，，成等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列满足为正整数，且与的等差中项是，则首项 ．
13.某校对“学生性别和喜欢某热门软件是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该软件的人数占男生人数的，女生喜欢该软件的人数占女生人数若有的把握认为是否喜欢该软件和性别有关，则男生至少有 人．
14.斐波拉契数列的前两项都是，从第三项起，每一项都等于它前两项的和很多自然现象中都蕴含着这个数列，比如图中螺旋星系的星球分布呈螺旋形结构，这个结构中的每条曲线称为等角螺线现用图的方式近似地绘制等角螺线：由正方形构成一系列的长方形，正方形的边长为斐波拉契数列的连续项，在每一个正方形内绘制一个圆的，这些圆弧连结起来就近似的得到等角螺线将正方形的边长由小到大排列，已知第个正方形的边长为，第个正方形的边长为，则前个正方形中圆弧总长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了解某地区年月份电动汽车的销售情况，某机构经过调查，得到如下表所示的数据．
月份 月 月 月 月 月
月份代码
销售总额亿元
求关于的线性回归方程；
该机构随机调查了该地区位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性有人，女性有人，购买电动汽车的男性有人，女性有人，请问是否有的把握认为购买电动汽车与性别有关．
附：，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，；，其中．
16.本小题分
在数列中，．
证明：数列是等差数列．
求的通项公式．
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知公差不为的等差数列的前项和为，且成等比数列， ，数列满足
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度单位：随龄期单位：天的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了组混凝土试件在龄期分别为时的抗压强度的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中．
根据散点图判断与哪一个适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立关于的回归方程；
工程中常把龄期为天的混凝土试件的抗压强度视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为．
试预测该批次混凝土是否达标？
由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第天的抗压强度与第天的抗压强度具有线性相关关系，试估计在早期质量控制中，龄期为天的试件需达到的抗压强度．
附：
参考数据：．
19.本小题分
给定一个数列，对它的各项依次用“”号连接起来的表达式称为数项级数，其中，称为数项级数的通项或一般项，数项级数也常写作或数项级数的前项之和，记为，称它为数项级数的第个部分和，也简称部分和．若数项级数的部分和数列收敛于即，则称数项级数收敛，称为数项级数的和，记作或．
求数项级数的部分和；
判断数项级数是否收敛，若收敛，求数项级数的和；
若数项级数收敛，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题可知，，
所以，，
故所求的线性回归方程为．
由题可得列联表如下．
性别 购买种类 合计
非电动汽车 电动汽车
男
女
合计
因为，
故有的把握认为购买电动汽车与性别有关．
16.解：因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以数列是首项和公差均为的等差数列；
由可得，
则，
故；
由可得，
则
．
17.解：设等差数列的公差为，
因为成等比数列，，
所以
解得
所以，
即．
，
，
单调递增，
，
又
，
对一切恒成立，
，
实数的取值范围是．
18.解：由散点图可以判断，适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型．
令，先建立关于的线性回归方程，
由于
所以关于的线性回归方程为，
因此关于的线性回归方程为．
由知，当龄期为天，即时，
抗压强度的预报值，
因为，所以预测该批次混凝土达标．
令，得．
所以估计龄期为天的混凝土试件需达到的抗压强度为．
19.解：要求数项级数的部分和，
即求，
则有，
，得
故，
对于数项级数
其部分和为
因为，
所以，
故数项级数收敛，其数项级数的和为．
对于数项级数，设其部分和为．
当时，，，此时，数项级数不收敛．
当时，．
时，由，故
此时，数项级数不收敛；
时，，故，
此时，数项级数收敛于．
时，，
则，，，，，
此时，不会收敛于同一个常数，故数项级数不收敛．
综上，实数的取值范围为．

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