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2024-2025学年河南省驻马店高级中学高二下学期4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为，且，则的公差( )
A. B. C. D.
4.已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
6.年月日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为( )
A. B. C. D.
7.有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有 ( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 展开式共项 B. 项系数为
C. 所有项的系数之和为 D. 所有项的二项式系数之和为
10.将两个各棱长均为的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则( )
A. 该几何体的表面积为
B. 该几何体的体积为
C. 过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D. 直线平面
11.在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则( )
A. 的最小值为 B. 以线段为直径的圆与轴相切
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面向量满足，，，则 ．
13.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则 ．
14.某校甲、乙等位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去人．用数字表示
有 种不同的安排方法；
由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有 种不同的安排方法．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有盒肉馅的“饺子”，盒三鲜馅的“饺子”和盒青菜馅的“饺子”，乙箱中有盒肉馅的“饺子”，盒三鲜馅的“饺子”和盒青菜馅的“饺子”问：
从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率．
16.本小题分
已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求
与所成角的余弦值；
与平面所成角的正弦值；
直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出的长，不存在说明理由．
17.本小题分
已知函数在处的切线为．
求实数的值；
求的单调区间
18.本小题分
已知定义在正实数集上的函数，．
设两曲线，有公共点为，且在点处的切线相同，若，求点的横坐标；
在的条件下，求证：；
若，，函数在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
设是函数的两个极值点，证明：．
参考答案
1.
2.
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4.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.设事件“取出饺子是肉馅”，，
设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，
事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，
设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”．
设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，

16.在平面内过作垂直于的直线，因为平面与平面垂直，
且平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，所以，，两两垂直，建立如图空间直角坐标系
则
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为
平面的法向量，
所以，
则与平面所成角的正弦值为；
假设存在，设，
设平面的法向量，
，取，则，，
则，
所以或
则点存在
所以或．

17.解：依题意可得：，即，
，
，
解得：．
由可得：，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
的单调减区间为，的单调增区间为．
18.函数的定义域为，设曲线的公共点，
求导得，依题意，，
即，由，得，，
所以点的横坐标为．
由知，设，，
求导得，当时，，当时，，
则函数在上递减，在上递增，
因此，
即当时，，所以．
依题意，，定义域为，
由，得，令，
由函数在定义域内有两个不同的零点，得直线与函数的图象有两个交点，
而，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，而，且当时，恒有，
则当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个不同零点，
所以实数的取值范围是．

19.，定义域为，
当时，，
当时，，当时，
在上单调递增，上单调递减；
当时，，
若，即时，，所以在上单调递增；
若，即时，
令，得，
当或时，，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，时，，当时，，
在上单调递增，上单调递减，
综上所述，当时，在上递增，上递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上递增，
在上递减；
当时，在上递增，上递减；
，
函数存在单调递减区间，在上有解，
，设，则，
当时，显然在上有解；
当时，，，
由韦达定理知，，
所以必有一个正根，满足条件，
当时，有，解得，
综上，实数的取值范围为；
由题意可知，，
有两个极值点，
是的两个根，则，
，
要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，
令，则，
在上单调递增，
则，即，
所以原不等式成立．

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