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2024-2025学年河南省南阳市部分学校（新未来联考）高一下学期4月质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列与角终边相同的角为( )
A. B. C. D.
2.在中，，，且的面积为，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知，则的最小正周期为( )
A. B. C. D.
6.若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是( )
A. 先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
B. 先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
C. 先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位
D. 先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位
8.如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若是第一象限角，则是锐角
B.
C. 若，则为第三或第四象限角
D. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角
10.在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 已知，则
C. 已知，，，则最小内角的度数为
D. 若，，，则满足条件的三角形有两个
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 若且，则是的一条对称轴
B. 若且点是的一个对称中心，则的最小值为
C. 若且在区间上单调递增，则的取值范围为
D. 若，且方程在上恰有一解，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为 ．
13.若为的外心，，则的值为 ．
14.已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为坐标轴原点，角的始边与轴的非负半轴重合，且终边过点．
求与同向的单位向量；
求的值．
16.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，若．
求角；
若，，求的面积．
17.本小题分
已知，为单位向量，且与的夹角为．
若与共线，求实数的值；
求的值；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，某大风车的半径为米，按逆时针方向匀速转动，每秒旋转一周，它的最低点离地面米风车圆周上一点从最低点开始，运动秒后与地面的距离为米
求函数的关系式；
求转动一周，点距离地面不超过米的时长．
19.本小题分
在中，内角的对边分别是，记的面积为，且．
求角的大小；
若，，分别为的中线和角平分线．
若的面积为，求的长；
求长的最大值．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；
因为角的始边与轴的非负半轴重合，且终边过点，
所以，
．

16.因为，据正弦定理可得，
且，则，可得，解得：；
由余弦定理，可知，
代入数值，可得，
解方程可得，
则．

17.因为与共线，
则存在唯一实数，使得，
所以，解得
所以；
因为，为单位向量，且与的夹角为，
所以，
则；
因为向量与的夹角为锐角，
所以且向量与不共线，
由，得，
即，解得，
当向量与共线时，
则存在唯一实数，使得，
所以，解得，
因为向量与不共线，所以，
综上所述，实数的取值范围为．

18.解：如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，
则圆心为，圆的半径为，
因为每秒旋转一周，可得每秒弧度，则秒后转弧度，即，
又因为大风车的半径为米，最低点离地面米，
过点作，可得
所以运动秒后与地面的距离为，
即函数的关系式为．
解：由知，
令，即，可得，
解得，所以，
因为，
当时，可得，时长为秒；
当时，可得，时长为秒；
所以转动一周点距离地面不超过米的时长为秒

19.因为，
所以，
所以，
又因为，所以；
由，得，
由余弦定理得，
所以，
因为为的中线，
所以，
则，
所以；
由余弦定理得，
所以，
因为为的角平分线，所以，
由，得，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以当时，取得最大值，
即长的最大值为．

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