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2024-2025学年山东省泰安市新泰中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
3.的内角的对边分别为，且，则( )
A. B. C. D.
4.如图是水平放置的四边形的斜二测直观图，且轴，轴，则原四边形的面积是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则 三点共线
A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、
6.已知圆锥的顶点为点，高是底面半径的倍，点，是底面圆周上的两点，当是等边三角形时面积为，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值( )
A. B. C. D.
8.已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中不正确的有( )
A. 已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得
B. 若向量，共线，则点，，，必在同一直线上
C. 若点为的重心，则
D. 若且，则
10.如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线
C. 与平行 D. 直线与共面
11.在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的取值范围为
C. 的最小值为
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是 ．
13.如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点则的最小值为
14.如图，在四边形中，已知，点在边上，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在正方体中，，，，分别是，，，的中点．求证：
；
平面．
16.本小题分
已知向量，向量与向量的夹角为，且．
求向量；
设向量，向量，其中，若，试求的取值范围．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
求的面积；
若，求．
18.本小题分
如图，在梯形中，已知，，，点、分别在直线和上，且，，连接交于点．
设，用和表示，并求实数的值；
若，求实数的值；
求的取值范围．
19.本小题分
“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点已知中，角，，的对边分别为，，，，，点是的“费马点”．
求角
若，求的周长
若，，求实数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：如图所示，取的中点，连接，，易证四边形是平行四边形，
所以 ．
又因为在平面中，，
所以四边形为平行四边形，
所以 ，
所以 ．
取的中点，连接，，
则 且，
又 且，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以 ．
又平面，平面，
所以 平面．
16.设向量，向量，
则，
即
解得，或，
故，或，
向量，，则，
又向量，
，，
则，
，，
故
17.由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
由正弦定理得：，则，则，．
18.如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，
可得，
则，可得，
设，
可得，解得
所以，
若，
且三点共线，则，
可得，解得．
因为，设，
则，
若，则，解得．
因为，
则，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围为．
19.解：因为，
由正弦定理得．
即：，
所以，
所以，即，所以，得．
设，，，
因为，
所以，
由得：，
即， 由余弦定理得，即，，
解得所以的周长为
不妨设，，且，
由余弦定理得，
，
，
，
，
，即．
又，
，
，，
，解得或舍去．
当且仅当时，等号成立．
实数的最小值为．
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