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2024-2025学年江苏省丹阳高级中学高一预备年级下学期第一次阶段考试（3月）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为( )
A. ，或 B.
C. ，或 D.
3.已知，且是关于的方程的一个根，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为( )
( )
A. B. C. D.
5.当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.年月日时分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道已知火箭的最大速度单位：与燃料质量单位：、火箭除燃料外的质量单位：的函数关系为若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为，则火箭需要加注的燃料质量为 参考数值：，结果精确到
A. B. C. D.
7.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.若命题“，”是真命题，则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正数，满足，则( )
A. B. C. D.
10.下列计算正确的有( )
A.
B.
C. 若，，则
D. 若，则
11.已知函数和在上的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 方程有且只有个不同的解 B. 方程有且只有个不同的解
C. 方程有且只有个不同的解 D. 方程有且只有个不同的解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.方程的解为 ．
13.已知集合，，若，则实数的取值集合为 ．
14.正实数满足，当取得最大值时，的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列各式的值：
；
；
已知，求的值．
16.本小题分
已知集合，，．
当，求
当且，求的范围．
17.本小题分
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费元．已知这种水果的市场售价大约为元千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为单位：元．
求的函数关系式；
当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
18.本小题分
法国数学家佛郎索瓦韦达于年在著作论方程的识别与订正中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程
例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题：
已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值；
已知实数、满足，，求的值；
已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值．
19.本小题分
已知函数；
若不等式的解集是且，求实数的值；
若，，解不等式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.原式，
．
原式，
．
原式，
因为，所以，故．
16.解：由题意得，集合，
当时，
所以；
由题意，
当时，恒成立，
当时，，解得，
所以当时，，
由题意，同时满足集合，
当时，成立，
当时，，则，所以，
综上，，即的范围为．
17.解：．
由得
，
当时，；
当时，
，
当且仅当时，即时等号成立．
因为，所以当时，．
故当施用肥料为千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为元．
18.由，，，
可将可看作方程的两个不相等的实数根，
由韦达定理，，
所以；
由，，
可将可看作方程的两个实数根，
由解得或，
则有或，
当时，；
当时，．
所以的值为或．
由题意和韦达定理，可得，，
且，解得，
故
因，又，故必为的因数，
则的值可能为，
则实数的值可能为，又，
故的所有取值为．
19.由得，，
因为不等式的解集是，
则是方程的两根，
所以有，解得．
则，
验证：由解得，或，满足题意．
故实数的值为．
若，则，
不等式即，
当时，恒成立，则，又已知，则；
当时，．
当时，，且函数开口向下，过定点，
则方程有且只有一个正根，
设方程的两根为，由，则
，
由不等式解得，又，所以；
当时，，且函数开口向上，
则恒成立，则；
当时，，不等式为，
解得，由，得，或；
当时，，且函数开口向上，
设方程的两根为，
则由韦达定理知，，则方程两根均为正根，
且，，
故由不等式解得，或，
又，所以，或；
综上所述，若，
则当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．

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