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2024-2025学年江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学高一下学期第一次阶段联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.若，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知，且三点共线，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，点在线段上，且若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
8.已知中，，且，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式的值正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象的一条对称轴方程为
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
11.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.如图，，分别是四边形的对角线与的中点，设，，且，不是共线向量，向量 试用基底，表示
14.已知，，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若向量与共线，求实数的值；
若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
16.本小题分
求值：．
在中，已知，求角的大小．
17.本小题分
如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线．
用、表示；
求的值．
18.本小题分
长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度一艘游船从南岸码头出发航行到北岸已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为设和的夹角为，北岸的点在的正北方向．
当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．
当多大时，游船能到达处需要航行多长时间不必近似计算
当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少
19.本小题分
已知函数，且恒成立．
求的值；
设，若，，使得，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，
，
因为向量与共线，
所以，
解得：
由 与的夹角是钝角，
则且与不共线反向，
由 ，
得，
解得，
若与共线，
得，无解，
故与不共线，
所以实数的取值范围是．

16.解：
，
，
原式．
中，已知，
若，则，不合题意；
，，
由已知，，
，，
，．

17.解：因为，则，所以，
因为为的中点，故．
因为、、三点共线，则，，，
所以存在，使得，即，
所以，
又因为，且、不共线，
所以，则
所以，故．

18.解：
由题意可知船在水流方向的分速度，故，故在．
如图，设游船航行小时到达处，向量对应的平行四边形设为．
则，
，
由勾股定理知，所以，解得：．
当时，游船到达处，需航行小时．
由知：垂直方向航行时间为
水平方向航行距离为
游船航行到达北岸的实际航程

19.解：
，其中，
由于，，故，
所以，故，
，解得；
由取，故，
，，使得，
则只需，
其中时，，故，
则，
令，则，
则，
其中，
因为，所以，，
若，此时在上单调递减，
故，故，
若，此时，令，
故，解得，与取交集得，
若，此时在上单调递增，
故，
令，解得，与取交集得，
综上，．
即实数的取值范围为．

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